导数公式大全

( x 2 + 1) − 2 x ( x − 1) 2 x − x 2 + 1 . = = 2 2 2 2 ( x + 1) ( x + 1)
教材P32 例2 求下列函数的导数： 教材P32 求下列函数的导数：
(1) y = x − cos x
3
(2) y = x 2 e x
x (3) y = 2 1− x
tan x
3) y = ln cos x; 5) y = 2
3
−x
;
解： 函数可以分解为y = u 3 ( x), u ( x) = 3 x 2 + 1, (1) y ' = [u ( x)]' = 3u ( x) ⋅ u ( x) ' = 3(3 x + 1) ⋅ (3 x + 1) '
2 2 2 2
= 3(3 x + 1) ⋅ 6 x = 18 x(3 x + 1)
2 2 2
2
(2) 把
x − 2当 作 中 间 变 量 ，
y ' = cos( x − 2) ⋅ ( x − 2) ' 1 = cos( x − 2) ⋅ 2 x cos( x − 2) = 2 x
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(3)把 cos x当作中间变量， 1 sin x y'= ⋅ (cos x) ' = − = − tan x cos x cos x
[cos(3 + 2 x 2 )]' − sin(3 + 2 x 2 ) (4) y ' = = ⋅ (3 + 2 x 2 ) ' = −4 x tan(3 + 2 x 2 ) cos(3 + 2 x 2 ) cos(3 + 2 x 2 )
例5：求下列函数的导数
y （1） =
cos x
2
（2）y = e
x x '(1 − x 2 ) − x(1 − x 2 ) ' 1 − x 2 − x(−2 x) (3) y ' = ( )' = = 2 2 2 2 2 1− x 2 (1 − x ) (1 − x ) 1+ x = (1 − x 2 ) 2
(4) y ' = (2 x 3 ) '+ (3x sin x) '+ (e 2 ) '= 2( x 3 )'−3( x sin x)'+0 2 = 6 x − 3(sin x + x cos x)
数记为
y(4)，y(5)，· · ·，y(n) ，
f ′(x) 称为 f (x) 的一阶导数. 的一阶导数
d4 y dn y 或 , ··· ， n , 4 dx dx
而把
例3 求下列函数的二阶导数
(1) y = x cos x
解：
(2) y = arctan x
(1) y ' = cos x + x ( − sin x) = cos x − x sin x
x 2 −3 x − 2
（3）y = ln ln ln x
（4）y = ln( x +
x + 1)
2
.2.5 隐函数的导数
y与x的关系由方程F x，y）＝0确定，未解出因变量的 （ 方程F x，y）=0所确定的函数y = y ( x)称为隐函数 （
dy 例6 设函数y = y ( x)由方程y = 1 + xe 所确定，求 . dx
2 2 x − 1 ( x + 1)( x − 1)′ − ( x + 1)′( x − 1) y′ = 2 = x +1 ( x 2 + 1) 2
′
( x 2 + 1)[( x )′ − (1)′] − [( x 2 )′ + (1)′]( x − 1) = ( x 2 + 1) 2
乘法法则的推广： 乘法法则的推广：
(uvw) ' = u ' vw + uv ' w + uvw '
补充例题： 求下列函数的导数： 补充例题： 求下列函数的导数： 例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 ， f ′(x) 及 f ′(0). 解 根据推论 1 可得 (3x4)′ = 3(x4)′， ′ ′ (5cos x)′ = 5(cos x)′， (x4)′ = 4x3，(cos x)′ = - sin x， ′ ′ 又 ′ ， ′ (ex)′ = ex， (1)′ = 0， ′ ′ ， 故 f ′(x) = (3x4 − ex + 5cos x − 1) ′ = (3x4) ′ −(ex )′ + (5cos x) ′ − (1)′ ′ = 12x3 − ex − 5sin x . f ′(0) = (12x3 − ex − 5sin x)|x=0 = − 1
导数的基本公式与运算法则 基本初等函数的导数公式
c = 0 (c为任意常数)
'
(xα )′ = αxα -1 . ′ (ax)′ = ax lna . ′
(ex)′ = ex. ′
1 1 (log a x )′ = . (ln x )′ = . x x ln a
(sin x)′ = cos x. ′ (tan x)′ = sec2x . ′ (sec x)′ = sec x tan x . ′
′ y′x = y′ ⋅ uv ⋅ v ′x . u
以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合 以上法则说明： 函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.
例4.求下列函数的导数： 1 y = (3x + 1) ; ）
2 3
2) y = sin( x − 2); 4) y = e
导数的四则运算
处可导， 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导， 、 ( ) v( x ) 则它们的和、 ( u( x ) ≠ 0 ) 则它们的和、差、积与商 u( x ) 处也可导， 在 x 处也可导， 且 定理2. 定理2. 1 (u(x) ± v(x))′ = u′(x) ± v ′(x); ′ ′ (u(x)v(x))′ = u(x)v′(x) + u′(x)v(x); ′ ′ ′
dy 例7 设函数y = y ( x)由方程y − cos( x + y ) = x所确定，求 . dx
2 2
解：方程两边分别对x求导，得 x ' = y '+ sin( x 2 + y 2 ) ⋅ ( x 2 + y 2 ) '
2 2
⇒ 1 = y '+ sin( x + y ) ⋅ (2 x + 2 yy ') ⇒ 1 = y '+ 2 x sin( x + y ) + 2 y sin( x + y ) ⋅ y '
y
解：上式两边对x求导，则有y '＝(1) '+ ( xe ) ', 即
y
y ' = e + x ⋅ (e ) = e + x ⋅ e ⋅ y '
y y y y
⇒ (1 − xe ) y ' = e
y
y
e ⇒ y'= y 1 − xe
y
隐函数的求导步骤： （）方程两边对x求导，求导过程中把y视为中间变量， 1 得到一个含有y '的等式; （2）从所得等式中解出y '.
(cos x)′ = − sin x. ′ (cot x)′ = - csc2x . ′ (csc x)′ = - csc x cot x . ′
另外还有反三角函数的导数公式： 另外还有反三角函数的导数公式：
(arcsin x )′ =
(arccos x )′ =
1 1 − x2 −1
,
,
1 − x2 1 (arctan x )′ = , 2 1+ x −1 (arc cot x )′ = . 2 1+ x
解：
3
(4) y = 2 x + 3x sin x + e
3
3 2
2
(1) y ' = ( x − cos x) ' = ( x ) '− (cos x) ' = 3 x + sin x
(2) y ' = ( x 2 e x ) ' = ( x 2 ) ' e x + x 2 (e x ) ' = 2 xe x + x 2 e x = ( x + 2) xe x
2 2 2 2
⇒ [1 + 2 y sin( x + y )] y ' = 1 − 2 x sin( x + y )
2 2 2 2
1 − 2 x sin( x 2 + y 2 ) ⇒ y' = 2 2 1 + 2 y sin( x + y )
dy 练习：设函数y = y ( x)由方程xy + y = 2 x所确定，求 . dx
2
解：两边分别对x求导，得 ( xy ) '+ ( y ) ' = 2
2
⇒ y + x ⋅ y '+ 2 y ⋅ y ' = 2 ⇒ ( x + 2 y) ⋅ y ' = 2 − y 2− y ⇒ y'= x + 2y
二元函数的偏导数的求法
求 z = f ( x, y ) 对自变量 x (或 y )的偏导数时,只须将另一 自变量 y (或 x )看作常数,直接利用一元函数求导公式和 四则运算法则进行计算. 例1 设函数 f ( x, y ) = x 3 − 2 x 2 y + 3 y 4 , f x′ ( x, y ), f y′ ( x, y ), f x′ (1,1), f y′ (1, −1), 求
练习：求下列函数的导数(课堂练习) （）y = ( −1 + x 2 )3 ; 1 (2) y = cos 3x ； (3) y = x 2 − 3x + 2； （4） cos(3 + 2 x 2 ) lg
解: (1) y ' = 6 x(−1 + x 2 ) 2 (2) y ' = −3x ln 3 ⋅ sin 3x (3) y ' = 2x − 3 2 x 2 − 3x + 2
v( x ) u( x )v ′( x ) − u′( x )v ( x ) . 2 u( x ) = [ u( x )] ′
推论 1 推论 2
(cu(x))′ = cu′(x) (c 为常数 ′ 为常数). ′
1 u′( x ) u( x ) = − u 2 ( x ) . ′
例2
设 y = xlnx ， 求 y ′.
根据乘法公式， 解 根据乘法公式，有
y′ = (xlnx)′ = x (lnx)′ + (x)′lnx ′ ′ ′ ′
1 = x ⋅ + 1 ⋅ ln x x
= 1 + ln x .
例3
x −1 设 y = 2 , 求 y ′. x +1
根据除法公式， 解 根据除法公式，有
高阶导数
再求导， 如果可以对函数 f(x) 的导函数 f ′(x) 再求导， 所得到的一个新函数， 所得到的一个新函数， 的二阶导数， 称为函数 y = f(x) 的二阶导数，
d 2 y 如对二阶导数再求导，则 . 如对二阶导数再求导， 记作 f ″(x) 或 y″ 或 ″ 2 dx d3 y 称三阶导数， 称三阶导数， ′″(x) 记作 f ′″ 或 3 . 四阶或四阶以上导 dx
(4) 把 tan x 当作中间变量， y ' = (e
tan x
)' = e
tan x
⋅ (tan x)' = sec xe
2
tan x
(5) 把 − x 当作中间变量， y ' = (2− x )' = 2− x ln 2 ⋅ (−x)' = −2− x ln 2
求导方法小结： 求导方法小结： 先将要求导的函数分解成基本初等函数,或 先将要求导的函数分解成基本初等函数 或 常数与基本初等函数的和、 常数与基本初等函数的和、差、积、商. 任何初等函数的导数都可以按常数和基本 初等函数的求导公式和上述复合函数的求导 法则求出. 法则求出 复合函数求导的关键: 复合函数求导的关键 正确分解初等函数 的复合结构. 的复合结构
y" = − sin x − (sin x + x cos x ) = −2 sin x − x cos x
1 2x (2) y ' = =− 2 2 2 1+ x (1 + x ) 2 (1 + x )' y" = − 2 2 (1 + x )
二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算 二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算
2.4 复合函数的求导法则
定理2.2 若函数u = u ( x)在点x可导，函数y＝f (u ) 在点u处可导，则复合函数y = f (u ( x)) dy dy du 在点x可导，且 = ⋅ dx du dx dy 或记作： = f '(u ) ⋅ u '( x) dx
推论 设 y = f (u) ， u = ϕ (v)， v = ψ (x) 均 ， 可导， 也可导， 可导，则复合函数 y = f [ϕ (ψ (x))] 也可导，