中考数学专题复习10锐角三角函数及其运用(解析版)

锐角三角函数及其运用复习考点攻略

考点一 锐角三角函数

1. 锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中.∠C =90°.AB =c .BC =a .AC =b .

正弦：sin A =

∠的对边=斜边A a

c ；

余弦：cos A =

∠的邻边=斜边A b

c

；

正切：tan

A =

∠的对边=邻边A a

b

．

【注意】根据定义求三角函数值时.一定要根据题目图形来理解.严格按照三角函数的定义求解.有时需要通过辅助线来构造直角三角形.

2

【例2】A ．

B

C

D ．1

【答案】C 【解析】把sin45°

=代入原式得：原式

=2×

．故选C ． 考点三 解直角三角形

1．在直角三角形中.求直角三角形所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中.∠C =90°.则： （1）三边关系：a 2+b 2=c 2； （2）两锐角关系：∠A +∠B =90°； （3）边与角关系：sin A =cos B =a c .cos A =sin B =b c .tan A =a

b

； （4）sin 2A +cos 2A =1．

3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边.正弦、余弦很方便； 已知直边求直边.理所当然用正切； 已知两边求一边.勾股定理最方便； 已知两边求一角.函数关系要记牢； 已知锐角求锐角.互余关系不能少； 已知直边求斜边.用除还需正余弦.

【例3】如图.我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD .DC ∥AB ,BC 长为6米.坡角β为45°.AD 的坡角α为30°.则AD 的长为 ________ 米 （结果保留根号）

2sin 2

22

【答案】

62

【解析】解：过C 作CE ⊥AB 于E.DF ⊥AB 于F.可得矩形CEFD 和Rt △CEB 与Rt △DFA. ∵BC=6.∴CE=2

sin 456322

BC ︒=⨯=.∴DF=CE=32

.∴62sin 30DF AD ==︒.故答案为：62．

【例4】如图.大海中有A 和B 两个岛屿.为测量它们之间的距离.在海岸线PQ 上点E 处测得74AEP =︒∠.30BEQ =︒∠；在点F 处测得60AFP =︒∠.60BFQ =︒∠.1km EF =．

⑴ 判断AB 、AE 的数量关系.并说明理由

⑵ 求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到0.1km ）．（参考数据：3 1.73≈. sin740.96︒≈.cos740.28︒≈.tan74 3.49︒≈.sin760.97︒≈.cos760.24︒≈）

【答案】（1）见解析；（2）3.6km

【解析】（1）相等.证明：∵30BEQ =︒∠.60BFQ =︒∠.∴30EBF =︒∠.

EF BF =．又∵60AFP =︒∠.∴60BFA =︒∠．

在AEF △与ABF △中.EF BF =.AFE AFB =∠∠.AF AF =. ∴AEF ABF △≌∠.∴AB AE =． （2）作AH PQ ⊥.垂足为H .

设AE x =.则sin74AH x =︒.cos74HE x =︒.cos741HF x =︒+．

Rt AHF △中.tan60AH HF =⋅︒.∴()cos74cos741tan 60x x ︒=︒+⋅︒.即

()0.960.281 1.73x x =+⨯. ∴ 3.6x ≈.即 3.6km AB ≈．

考点四 锐角三角函数的应用

1．仰角和俯角：

仰角：在视线与水平线所成的角中.视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中.视线在水平线下方的角叫做俯角． 2．坡度和坡角

坡度：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比）.记作i =h l

． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角.记作α.i =tan α． 坡度越大.α角越大.坡面越陡． 3．方向角（或方位角）

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．

4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

5．解直角三角形实际应用的一般步骤

（1）弄清题中名词、术语.根据题意画出图形.建立数学模型；

（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系.把实际问题转化为解直角三角形问题；

（3）选择合适的边角关系式.使运算简便、准确；

（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义.从而得到问题的解．

6.解直角三角形应用题应注意的问题：

（1）分析题意.根据已知条件画出它的平面或截面示意图.分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；

（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形.但可添加适当的辅助线.

把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；

（3）根据已知条件.选择合适的边角关系式解直角三角形；

（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算.检验是否符合实际.并按题目要求的精确度取近似值.注明单位．

【例5】如图.一名滑雪爱好者先从山脚下A处沿登山步道走到点B处.再沿索道乘坐缆车到达顶部C．已知在点A处观测点C.得仰角为35°.且A.B的水平距离AE＝1000米.索道BC 的坡度i＝1：1.长度为2600米.求山的高度（即点C到AE的距离）（参考数据：sin35°≈0.57.cos35°≈0.82.tan35°≈0.70.≈1.41.结果保留整数）

【答案】1983米

【解析】：如图.作CD⊥AE于点D.BF⊥CD于点F．

又∵BE⊥AD.

∴四边形BEDF是矩形．

在Rt△BCF中.∵BC的坡度i＝1：1.

∴∠CBF＝45°．

∵BC＝2600米.

∴米．

∴米．

∵A.B的水平距离AE＝1000米.