高等数学上册第三节 数列的极限

列的极限没有 影响，所以在 选择不等式放 大时，可以对 n值做一些限定。
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例3 证明 数列1,1,1,, 1 n1 ,是发散的.
证 从数列中取所有奇数项组成子数列x2k1,
再取所有偶数项组成子数列x2k ,
显然
lim
k
x2
k
1
1,
lim
k
x2k
1,
xn 的两个子数列虽然分别收敛, 但极限值不相等
数列 xnk 就是数列xn的一个子数列.
xnk 在 xnk 是第k项, xnk 在原数列 xn 中是第nk项.
显然 nk k.
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收敛数列与其子数列的关系:
定理3 如果数列xn收敛于a,那末它的任一子数列也收敛,
并且极限也是a.
证: 设 xnk 是xn的任一子数列.
lim
n
xn
a,
唯一的，N( ) 只是强调其依赖性的一个符号，并不是单值函数
关系，这里N的存在性是重要的，一般不计较其大小。
③ 定义中“当n N 时有 xn a ”是指下标大于N的无穷多项
xn都落在数 a 的 邻域内，即 n N , xn a ,a . 也就是说 在邻域 a , a 以外的只有数列的有限项，因此改变或增减
如数列： 1,1,1,1,,(1)n1 ,
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子数列的概念:
在数列xn中任意抽取无限多项, 并保持这些项在原数列 xn中的先后次序, 这样得到的数列称为原数列xn的子数列.
子数列的表示：
在数列xn 中, 第一次抽取xn1 , 第二次在xn1 后抽取xn2 ,
第三次在xn2 后抽取xn3 ,,
这样无休止地抽取下去,得到：xn1 , xn2 ,, xnk ,,
当
n 4k 时，
a4k
1
1 4k
sin 4k
2
0,
即
lim
k
a
4
k
0;
当 n 4k 1 时，
a4k 1
1
1 sin 4k 1
4k 1
2
1 1 sin 2k 1 1
4k 1 2 4k 1
即
lim
k
a
4k
1
1.
所以 an 极限不存在。
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例5 求
① 0 的任意给定性。 是任意给定的正数，它是任意的，
但一经给出，又可视为固定的，以便依 来求出 N , 由于 0
的任意性，所以定义中的不等式 xn a 可以改为 xn a k (k 0为常数）; xn a 2 ;
xn
a
1 M
（, M为任意正整数）；
xn
a
等等。
② N的相应存在性。N依赖于 ，通常记作 N( ), 但N并不是
由定理3的逆否命题知：
数列1,1,1,, 1 n1 ,是发散的.
注:① 发散数列也可能有收敛的子数列．
② 证明数列发散时，可采用下列两种方法：
I ) 找两个极限不相等的子数列；
II) 找一个发散的子数列。
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例4
设an
1
1 Hale Waihona Puke sin nn 2,
证明数列
an 极限不存在。（记录）
证 设 kZ.
2 3 3 4 n n1
n1
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则称常数a是数列xn的极限, 或者称数列xn 收敛于a,
记作
lim
n
xn
a,
引例 割圆术
或 xn a n .
如果数列没有极限, 就说数列是发散的。
1, 1 , 1 ,...1 ,... 23 n
" N"定义：
0,N
0,当n
N,恒有 xn
a
,
则 lim n
xn
a.
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正确理解数列极限 " N"定义：
德国心理学家艾宾浩斯最早对遗忘进行 了系统研究，遗忘在学习之后立即开始，而 且遗忘的过程最初进行的很快，以后渐趋缓 慢，过了相当时间后就几乎不再遗忘。有所 谓“艾宾浩斯遗忘曲线”
记忆水平
及时复习的遗忘曲线 不能及时复习的遗忘曲线
时间
1
第三节 数列的极限
极限的唯一性（定理1） 收敛数列的有界性（定理2） 数列极限定义 收敛数列的保号性 收敛数列与其子数列的关系（定理3）
x2
x1
x
N
1
x
N
a
3
xN 2
x3 x
7
3. 有关数列收敛的性质 定理1（极限的唯一性）
设x
n
是收
敛数列,
且
lim
n
xn
a , 则 极 限 值a唯 一.
证
用反证法
假设lim n
xn
a, lim n
xn
b, 且a
b.
由lim n
xn
a,
取
ba, 2
存在N1 ,当n
N 1时, 就有
xn
a
ba 2
1
由lim n
xn
b,
对上述 , 存在N2 ,当n N2时,就有
xn
b
b
a 2
2
取N maxN1 , N2, 则当n N,1式及2式同时成立：
由1：xn
a
2
b
,
由2：xn
a
2
b
,
矛盾！命题得证。
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定理2 （收敛数列的有界性）
如果数列x n 收敛, 那末数列x n 一定有界.
证
设 lim n
① 0, 要使 xn a 经一系列放大 xn a f n ; ②解不等式 f n , 得n g ; 设 ，构造 ，放大
③取N g , 当 n N 时，有 xn a .
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例2 （记录） 用定义证明
lim n 0. 2 n n
证 0, 要使 n 0 n
2n
2n
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例7设xn
记录
1
1 1
2
1
1 2
3
...
1
2
1 3
...
n
求 lim xn n
解：
1 2 3 ... n n(n 1)
2
而 1 1 1 n(n 1) n n 1
22
2
从而 xn 1 2 3 3 4 ... n(n 1)
1(1 1 1 1 ... 1 1 )2 2 2
注:其逆反定理用于 证明数列的发散
0,N ,当n N时,就有 xn a 成立.
取K N, 则当k K时,
nk k K N
对上面的 , K , 当k K时,恒有
xnk a ,
lim
k
x nk
a.
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问题：
1.
若
an
是任意数列，lim n
bn
0,
2对于某一正问数是否0 一如定果有存lni在m正anb整n 数0N 使得当nN时 有| xn a| 0 是否有 xn a (n )
数列的有限项不影响数列的收敛性。
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数列极限的几何解释：
0,N,当n N, xn a a xn a 即N以后的所有项x：N 1 , x N 2 , x N 3 ,, xn ,
都落在邻域a ,a 内, 而只有有限（项至多只有N项)
落在这个邻域以外。
…. a…. .. …2• ....a… . … .
lim ( n 1)(1)n
n
n
（06年考研题 数学三）
lim lim 解：
( n 1)(1)n
(1 1 )(1)n
n
n
n
n
=1
例6（记录） 已知 xn 1 1 1 1 1
求 lim xn n
解： x2k1 1, x2k 0 （k=1,2,3,…)
{ xn }当n 时极限不存在。
则称数列xn 是单调增加的；
若数列xn 满足：x1 x2 x3 xn xn1 ,
则称数列xn 是单调减少的。
单调增加的或单调减少的数列统称为单调数列。
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2.数列极限的定义
定义：对于任意给定的正数 不论它多么小,总存在正整数N,
使得对于n N时的一切xn ,不等式：xn a 都成立,
xn
a,
根据定义：对 1, 存在正整数N，
当n N ,就有 xn a 1成立。当n N时,
xn xn a a xn a a 1 a .
取M max x1 , x2 ,, xN ,1 a ,
都有 xn M n. xn 有界.
注: 有界数列不一定收敛. 无界数列必发散.
这样的限制对数列极限的
显然当n 2时,
存在是否有影响？
n 2n
n
1 1n
1n
n
nn 1
2！
1
n
nn 1
2
2 n1
因此只要 2 即可,
n1
即 n1 2
由于改变数列 的有限项对数
取N 1
1
2
,
再取N max2, N1,
则当n N时,就有 n 0 恒成立.
2n lim n 0
n 2n
2
一、定义与定理
1.数列的有界性和单调性：
(1)有界性:若对数列xn:M 0，使得： xn M n 1,2,3，
则称数列xn 是有界的；否则称数列xn 是无界的。
M 0, 总能找到 n0 , 使得 xn0 M . { xn } 无界。
例如：数列
xn
n n1
n 1,2,3,是有界的，
取M 1, 对n N ,恒有 xn 1成立。
3如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界
发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?
4 数列的子数列如果发散 原数列是否发散?
数列的两个子数列收敛 但其极限不同 原数列的
收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？
5 如何判断数列 1 1 1 1 1N 1 是发散的？
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二、例题
例1
用定义（ N
数列xn (1)n 2n n 1,2,3,是无界的，
M 0, 要使 xn (1)n 2n 2n M , 只要n log 2 M，
故 取n0 log 2 M 1 , 就有 xn0 M , xn 无界。
3
(2)单调性:
若数列xn 满足：x1 x2 x3 xn xn1 ,
）证明 lim n! n n n
0.
证明 0, 要使
n! 0 n! 1 2 n
nn
nn n n n
只须： 1 2 n 1 nn1 1 , 即n 1 .
n n n n nn1 n
取N
1
,
则当
n
N
时，有
n! 0 .
nn
所以 lim n! 0. n n n
注：用定义证明数列极限存在的步骤（寻找正整数N的方法）