高考复习第九章 解析几何 曲线与方程

§9.8曲线与方程

1.曲线与方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫

做方程的曲线.

2.求动点的轨迹方程的一般步骤

(1)建系——建立适当的坐标系.

(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y).

(3)列式——列出动点P所满足的关系式.

(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并

化简.

(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

3.两曲线的交点

(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲

线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.

(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点

问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件. (√)

(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线. (×)

(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2. (×)

(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线. (×) 2.方程(x2＋y2－4)x＋y＋1＝0的曲线形状是()

答案 C

解析 由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2＋y 2－4＝0，

x ＋y ＋1≥0，

它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分.

3.已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是

( )

A.2x ＋y ＋1＝0

B.2x －y －5＝0

C.2x －y －1＝0

D.2x －y ＋5＝0

答案 D

解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.

4.已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →

＝x 2－6，则点P 的轨迹方程是__________.

答案 y 2＝x

解析 PB →＝(3－x ，－y )，P A →

＝(－2－x ，－y )，

∴P A →·PB →＝(3－x )(－2－x )＋y 2＝x 2－x －6＋y 2＝x 2－6，∴y 2＝x .

5.已知两定点A (－2,0)、B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________. 答案 4π

解析 设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |， 得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， ∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆. 即轨迹所包围的面积等于4π.

题型一 定义法求轨迹方程

例1 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线. 思维启迪 利用两圆内、外切的充要条件找出点M 满足的几何条件，结合双曲线的定义求解. 解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系. 由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)、O 2(2,0).设动圆M 的半径为r ，则由动 圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1； 由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝3.

∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支. ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74

.

∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－3

2

).

思维升华 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量.

已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－1

4

，点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是

( ) A.双曲线 B.椭圆 C.圆

D.抛物线

答案 D

解析 由已知得，|MF |＝|MB |.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线.

题型二 相关点法求轨迹方程

例2 设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程.

思维启迪 设△ABC 的重心坐标为G (x ，y )，利用重心坐标公式建立x ，y 与△ABC 的顶点C 的关系，再将点C 的坐标(用x ，y 表示)代入抛物线方程即得所求.

解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，

点C 的坐标为C (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).

由方程组：⎩

⎪⎨⎪⎧

x －y ＝4a ，

y 2＝4ax

消去y 并整理得：x 2－12ax ＋16a 2＝0. ∴x 1＋x 2＝12a ，

y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a . 由于G (x ，y )为△ABC 的重心， ∴⎩⎨⎧

x ＝x 0

＋x 1

＋x 2

3＝x 0

＋12a

3

，y ＝y 0

＋y 1

＋y 2

3＝y 0

＋4a

3

，∴⎩

⎪⎨⎪⎧

x 0＝3x －12a ，

y 0＝3y －4a . 又点C (x 0，y 0)在抛物线上，

∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得： (3y －4a )2＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a

3

(x －4a ).

又点C 与A ，B 不重合，∴x ≠(6±25)a ，

∴△ABC 的重心的轨迹方程为(y －4a 3)2＝4a

3(x －4a )(x ≠(6±25)a ).

思维升华 “相关点法”的基本步骤：

(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；

(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩

⎪⎨⎪⎧

x 1＝f (x ，y )，

y 1＝g (x ，y )；

(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.