圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习

圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习
1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

若∠AOB=∠A ＇OB ＇，则 AB ⌒ = A'B' ⌒ ，AB=A ＇B ＇，AM=A ＇M ＇
2、推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
特别提示：①弧、弦、圆心角、弦心距之间的等量转化的前提是在同圆或等圆中；
②同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。

③“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”， 这里说的相等是指角的度数与弧的度数
相等。

而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“∠=⋂
AOB AB ”之类的错误。

因为角与弧是
两个不能比较变量的概念。

相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧；④在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。

当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。

⑤在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立；但不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。

3、应用
（1）在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答； （2）有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距。

（3）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。

（4）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：
（I ）连过弧中点的半径；（II ）连等弧对的弦；（III ）作等弧所对的圆心角。

例：如图，为⊙的弦，，、交于、。

CD O AC BD OA OB CD F E ⋂=⋂
求证：OE ＝OF
∴≅∆∆OFN OEN ∴=OF OE
练习
一、选择题
1、下列说法中正确的是（ ）
A 、相等的圆心角所对的弧相等
B 、相等的弧所对的圆心角相等
C 、相等的弦所对的弦心距相等
D 、弦心距相等，则弦相等 2、半径为4cm ，120°的圆心角所对的弦长为（ ）
A. 5cm
B. 43cm
C. 6cm
D. 33cm
3、在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA 等于另一个圆心角∠COD 的2倍，则下列式子中能成立的是（ ）
A. AB CD =2
B. AB CD ⋂>⋂2
C. AB CD ⋂<⋂2
D. AB CD ⋂=⋂2
4. 在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ） A. 42 B. 82 C. 24 D. 16
5. 在⊙O 中，两弦AB ＜CD ，OM 、ON 分别为这两条弦的弦心距，则OM 、ON 的关系是（ ）
A. OM ON >
B. OM ON =
C. OM ON <
D. 无法确定
6、如图1，ABC ∆内接于⊙O ，445==∠，AB C
则⊙O 的半径为（ ）. A ．22
B ．4
C ．32
D ．5
7、如图2，在⊙O 中，点C 是AB 的中点，
40=∠A ，则BOC ∠等于（ ）.
A ． 40
B ． 50
C ． 70
D ．
80
如图 4 如图5
如图6 8、如图3，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠=︒BAC 20，AD CD ⋂=⋂
，则∠
DAC 的度数是（ ）
A. 70°
B. 45°
C. 35°
D. 30°
D
A
O
B
C
二、填空题
1、如图3，A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点，且D 是AB 的中点，CD 交OB 于E ，
55,100=∠=∠OBC AOB ，OEC ∠= 度.
2、如图4，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点， 130=∠D ，则BAC ∠的度数是 .
3、如图5，AB 是半圆O 的直径，E 是BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，已知BC=8cm,DE=2cm ，则AD 的长为 cm.
4、 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为____________。

5、一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为____________。

6、在半径为R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于____________。

4. 在⊙O 中，弦CD 与直径AB 相交于E ，且∠AEC ＝30°，AE ＝1cm ，BE ＝5cm ，那么弦CD 的弦心距OF ＝_______cm ，弦CD 的长为________cm 。

7、 已知⊙O 的半径为5cm ，过⊙O 内一已知点P 的最短的弦长为8cm ，则OP ＝_______。

8‘已知A 、B 、C 为⊙O 上三点，若AB BC CA ⋂⋂⋂
、、度数之比为1：2：3，则∠AOB ＝_______，
∠BOC ＝________，∠COA ＝________。

9、 已知⊙O 中，直径为10cm ，AB ⋂
是⊙O 的1
4，则弦AB ＝_______，AB 的弦心距＝______。

三、解答题
1. 如图1：已知，OA 为⊙O 的半径，AC 是弦，OB ⊥OA 并交AC 延长线于B 点，OA ＝6，OB ＝8，求AC 的长。

2. 如图2，∆ABC 中，∠=︒A 70，⊙O 在∆ABC 的三边上所截得的弦长都相等，求∠BOC 的度数。

3、如图3，C 是⊙O 直径AB 上一点，过点C 作弦DE ，使CD ＝CO ，使AD ⋂
的度数40°，
如图3 如图2 1
求BE ⋂
的度数。

O
A
C
B O
A
B
C
O
C A
B
D
E
四、证明题
1、已知：如图1，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。

求证：AE=BF=CD 。

O C
B
A
D N
M O
A C E
B
D
2、如图：已知，⊙O 中，AB BC CD ⋂=⋂=⋂
，OB 、OC 分别交AC 、DB 于M 、N 。

求证：∆OMN 是等腰三角形。

3、 如图，⊙O 中弦AB ＝CD ，且AB 与CD 交于E 。

求证：DE ＝AE 。

1
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2
2
3
3。