理论力学之动力学习题答案 北航
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动力学
（MADE BY 水水）
1－3 解：
运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。
将运动方程对时间求导并将030=θ代入得
34cos cos 22lk lk l y v =
===θθθ
938cos sin 22
3
2lk lk y a =-==θ
θ
1－6
证明：质点做曲线运动，
所以质点的加速度为：n t a a a +=,
设质点的速度为v ，由图可知:
a
a
v v y
n cos ==θ，所以: y v v a a n =
将c v y =，ρ
2
n v
a =
代入上式可得 ρ
c v a 3
=
证毕 1－7
证明：因为n
2
a v =ρ，v a a v a ⨯==θsin n
所以：v
a ⨯=3
v ρ
证毕
1－10
x
y
o
a
n a
v
y v
θ
θ
t
a
y
z
o
a
n a
θ
x
解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度 为s ,则有关系式：
t v L s 0-=，并且 222x l s +=
将上面两式对时间求导得：
0v s -= ，x x s s 22=
由此解得：x
sv x 0
-= （a ） (a)式可写成：s v x x 0-= ，将该式对时间求导得：
2
002v v s x x x
=-=+ (b)
将(a)式代入(b)式可得：32
20220x
l
v x x v x a x -=-== （负号说明滑块A 的加速度向上）
取套筒A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：
g F F a m m N ++=
将该式在y x ,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：
N F F y
m F mg x
m +-=-=θθsin cos
其中：
2
22
2
sin ,cos l x l l
x x +=
+=
θθ0,32
20=-=y
x l v x
将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：
2
3220)(1)(x l
x
l v g m F ++=
1－11
o
v
o
v
F N F
g m
y
θ
A
x
ω
O
θ
A v
A
x
ω
O B v
B
R
解：设B 点是绳子AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以R v B ω=，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A 、B 两点的速度在 A 、B 两点连线上的投影相等，即：
θcos A B v v = （a ） 因为
x R x 2
2cos -=
θ （b ）
将上式代入（a ）式得到A 点速度的大小为：
22R x x
R
v A -=ω （c ）
由于x v A -=，（c ）式可写成：Rx R x x ω=--22 ，将该式两边平方可得：
222222)(x R R x x
ω=-
将上式两边对时间求导可得：
x x R x x R x x
x 2232222)(2ω=--
将上式消去x
2后，可求得： 22242)(R x x
R x
--=ω (d)
由上式可知滑块A 的加速度方向向左，其大小为 2
2242)
(R x x
R a A -=ω
取套筒A 为研究对象，受力如图所示，
根据质点矢量形式的运动微分方程有：
g F F a m m N ++=
将该式在y x ,轴上投影可得直角坐标形式的 运动微分方程：
mg F F y
m F x
m N -+=-=θθsin cos
其中：
x R x x
R
2
2cos ,sin -=
=θθ, 0,)(2
2242=--=y R x x R x ω
将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得
25
2
5)(,
)
(22522
2
242R x x R m mg F R x x R m F N --
=-=
ωω
1－13
解：动点：套筒A ；
动系：OC 杆；
定系：机座；
运动分析：
绝对运动：直线运动；
相对运动：直线运动；
牵连运动：定轴转动。
根据速度合成定理
r e a v v v +=
有：e a cos v v =ϕ，因为AB 杆平动，所以v v =a ，
由此可得：e cos v v =ϕ，OC 杆的角速度为OA
v e =ω，ϕcos l
OA =，所以 l v ϕω2cos =
当0
45=ϕ时，OC 杆上C 点速度的大小为： l
av
l av a v C 245cos 02=
==ω
1－15
解：动点：销子M
动系1：圆盘
动系2：OA 杆
定系：机座；
运动分析：
a
v
e
v
r v
e1
v e2
v
r2v
r1v
x