《高等数学》下册习题参考答案(天津科学技术出版社)

习题答案与提示

习题7.1

1.2()f x x x =-，2()2z x y y =-+.

2.2

1(,)1y

f x y x y

-=+. 3.2(,)(,)f tx ty t f x y =.

4.（1）{(,)x y y ≤22}x ； （2）{}

{}(,)0,1(,)0,1x y x y x x y x x y x >>+<<<+；

（3）{(,)0,0x y x >≤222,y x x y <+≤2}； （4）{(,)x y y x >，22x y +≤1,x ≥0}； （5）22222{(,,),x y z z x y x y z >+++≤1}； （6）222{(,,)1x y z x y z <++≤2}. 5. 提示：利用1

sin

xy

≤1.

6.（1）1； （2）1；（3）0；（4）0；（5）k e ；（6）14

-. 8. (,)f x y 在点(0,0)处不连续. 9.（1）0y x +=；（2）22(1,3,5)2

k x y k π

+=

=⋅⋅⋅. 习题7.2

1.（1）

43z

x y x ∂=-∂，

32z x y y ∂=--∂； （2）22sin z x x y y ∂=∂， 222sin

z x x y y y

∂=-∂；

（3）

z x ∂=∂， z y ∂=∂； （4）

21cos cos sin sin z x y y x y

x y y x y x x ∂=+∂， 21cos cos sin sin z x x y x y y y x x y x y

∂=--∂； （5） sin 2cos y

x z y y

e x x x

∂=-∂，sin 1cos y x z y e y x x ∂=∂；

（6）

21(1)y z

y xy x

-∂=+∂，(1)[ln(1)]1y z xy xy xy y xy ∂=+++∂+； （7）12()1()z z u z x y x x y -∂-=∂+-，12()1()z z u z x y y x y -∂-=-∂+-，2()ln()

1()z z

u x y x y z x y ∂--=-∂+-； （8）

1z z y u y x x -∂=∂，1ln z y z u zx y x y -∂=∂，ln ln z z y u

y x x y z

∂=∂. 2. (,1)2x f x x =. 5. 6

π

θ=

.

6.（1）222sin z

y y x x ∂=-∂，

22sin cos z x y x x y ∂=-+∂∂，22cos z x y y ∂=-∂；

（2）2

2z x

∂=∂，2z x y ∂=

∂∂22z y ∂=∂ （3）2222

2(1)z x x x ∂=-∂+，20z x y ∂=∂∂，2222

2(1)z y

y y ∂=-∂+； （4）2221()z x x y ∂=-∂+，221()y z e x y x y ∂=-∂∂+，222

1()y

z xe y x y ∂=-∂+. 7. (0,0,1)2xx f =，(1,0,2)2xz f =，(0,1,0)0yz f -=，(2,0,1)0zzx f =.

10. 322[2sin()cos()]y

z e x y x y x y ∂=-+++∂∂，322

[3cos()4sin()]y z e x y x y x y

∂=+-+∂∂. 习题7.3

1. 0.72z ∆=，0.7dz =.

2. 47dz dx dy =+.

3. 11

|(2ln 21)x y dz dx dy ===++.

4.（1）2

2(4sin )dz y dx xy y dy =+-； （2）1()y x y

dz e dx dy x x

=--；

（3）3

2

22

()()

x dz ydx xdy x y =-

-+； （4

）)dz =

； （5）21

cos cos sin y x du xydx xydy xydz z z z

=

+-； （6）1ln ln yz yz yz du yzx dx zx xdy yx xdz -=++.

习题7.4

1.

33cos 23(sin )t t dz

e t t dt

-=+

. 2.

dz dx = 3. 22

[(cos )sin ]ax

du e a y z x b x dx a b =++-+.

4.

[sin()cos()]xy z

e y x y x y x

∂=+++∂，[sin()cos()]xy z e x x y x y y ∂=+++∂. 5. 22222[tan()sec ()]tan ()z x y xy xy x x y xy ∂+=∂++，22222[tan()sec ()]

tan ()

z y x xy xy y x y xy ∂+=∂++.

8. （1）122''u

xf yf x

∂=+∂，122''u yf xf y ∂=+∂； （2） 122''xy u

xf ye f x

∂=+∂，122''xy u yf xe f y ∂=-+∂； （3）

11'u f x y ∂=∂，1221''u x f f y z y ∂=-+∂，22'u y

f z z

∂=-∂； （4） 1123'cos ''y y z

u y f x e f x f x z -∂=++∂，231'ln 'y y z u xe f x xf y z ∂=+∂，32ln 'y z u y x xf z z

∂=-∂. 10.（1）224

1112222''2''''z f y f y f x

∂=++∂，

231112222''(2)''2'2''z f y x y f yf xy f x y ∂=---++∂∂，