非线性作业

非线性系统作业

姓名：董志存

学号：11S004017

作业（11月7号）

利用算子T 表示一个系统。当系统的输入为r(t)时，系统的输出为y(t)，则 记为y = T(r)。系统的叠加性是指对于任意的输入r1,r2均有

T(r1 + r2 ) = T(r1 ) +T(r2 )

齐次性是指对于任意的输入 r 和常数a ∈F （F 为数域，如实数域R 或复数域C ）， 均有

T(ar) = aT(r)

满足齐次性和叠加性的系统称为线性系统。

问题：系统的齐次性和叠加性是不是独立的两个性质？如果一个系统具有叠加性，是否 可以推断出该系统一定满足齐次性？写出你对该问题的理解。

解答：假设已知系统严格满足叠加性，根据a 的不同取值情况进行讨论：

1. a 为实数时

（1） 当a >0且为整数时，T (ar )= T(1

a

i r =∑)=1

()a

i T r =∑=a ?T(r),故齐次性必然成立；

（2） a =0时，输入信号a ?r =0，有叠加性可知T(r+0)= T(r)+ T(0)，进而可知T(0)=0，

即对于满足叠加性的系统，其零输入的（零状态）响应一定为零，所以T (0?r )=

T(0)=0=0? T(r),齐次性也满足。

（3） a 为负整数时的情况：1a =-，根据上面的结论，零输入必有零响应

T(0)= T(r+（-r ）)= T(r)+ T(-r)=0,故T(-r)= -T(r)，齐次性成立。再用（1）的结论可证明对于a ∈负整数，该命题均成立。 有（1）（2）（3）可知a ∈整数都成立。 （4） a 为有理数，可以设/a Q P =-，则()(

)((

))()Q r r T a r T r T Q Q T P

P

P ?=?==?,因

为1()(

)(

)(

)()P r r T r T r P T T T r P

P P P

=?=??=

，所以()()()Q T a r T r a T r P

?==?，

命题成立。

（5） a 为无理数。此时a 可以表示成为一个无限不循环小数，其整数部分为

0,(1,2,)i a s i = 为a 的第i 位小数和数字乘以10i

-。显然，i s 是一个有理数，且可

以证明001

()i i a s a a a ∞

=+=∑为的整数部分。所以

00

00

1

1

1

1

01

()(())()(())()()()()

()()()

i

i i

i

i i i i i i T a r T a s r T a

r T s r a T r s r a

T r s

T r a s T r a T r ∞∞

∞∞

====∞

=?=+

?=+?=?+

=?+

?=+

?=?∑∑∑∑∑综上所述，只要系统满足1212()()()T r r T r T r +=+，则()()T a r a T r ?=?对于一切实数成立。不妨称这种齐次性为实齐次性，则结论为：如果系统满足叠加性，则它一定满足实齐次性，则此系统一定是实线性系统。

2.a为复数时此命题未必成立。

作业（11月11号）

1.下面为文献[1]中分别给出的Lyapunov稳定性和Lagrange稳定性的定义：

It

问题：写出你对两种稳定性的理解（如含义、区别、联系等）。

解答：Lyapunov稳定性是假设系统正常工作时处于平衡点的位置，当系统受到扰动，状态

偏离平衡点时仍然维持在平衡点附近而不发撒，以保证系统的正常工作。

Lagrange稳定性是指系统的初值一致有界，且系统受到扰动后的，动态微分方程解也都是一致有界的。

两者的区别在于李雅普诺夫稳定性讨论的是平衡点附近的稳定性，且对初值由要求；而拉格朗日稳定性是对所有初值满足一致有界的条件且运动的方程的解也是一致有界的。

联系是两者对系统初值有要求，稳定性是系统最首要的条件，都是讨论系统受到扰动后是否满足一定要求而定义的稳定性，并且都是有实际意义的。

2、在讨论稳定性时一般要求系统的解对初值具有连续依赖性。显然，系统的平衡点是系统的一个平凡解。假设平衡点不稳定，这时不稳定性和解对初值的连续依赖性之间是否存在矛盾？为什么？

解答：不矛盾。

不稳定性是指对于某个实数0ε>任一个实数0δ>，不管这两个实数有多么小，在

()S δ内总存在着一个状态0x ，使得由这一状态出发的轨迹超出()S ε，稳定性分析就是针

对由微分方程组描述的系统的解进行讨论的，讨论非线性系统假设其解存在且满足解对初值的连续依赖性，进而根据其解是否满足稳定性要求再进一步得出系统的不稳定性，也就是即使系统是不稳定的，系统的微分方程的解也满足解对初值的连续依赖性。

注：解对初值的连续依赖性是指对于非线性系统(,)x f t x =

，假设()y t 为定义在01[,]t t 上的唯一解，满足初始条件00()y t y =，对于任意给定的0ε>，存在0δ>，使得对于00{|}n

z x R x y δ?∈∈-<，上述方程在01[,]t t 上满足初始条件00()z t z =的唯一解

()z t ，且01()(),[,]z t y t t t t ε-≤?∈

作业（2011年11月16日）： 1. 针对如下系统

分别确定其平衡点，利用二次性候选 Lyapunov 函数证明原点是渐近稳定的平衡点。判断原点是否为全局渐近稳定。

解：（1）系统的平衡点为(0,0)，取Lyapunov 函数22

12()V x x x =+，

则..

22

1122111222122

()222()2()2(1)2V x x x x x x x x x x x x x x =+=-+?+-=---

在平衡点（0,0）附近，显然有

()

V x

负定，故平衡点是渐近稳定的，又因为

()V x 是径向无

界的，故原点是全局渐近稳定的！

（2）系统的平衡点为(0,0)，22

12()V x x x =+，

则...

24

112222()2222V x x x x x x x =+=-+，在0平衡点附近，低次项起主导作用，.

()V x 是负定的，所以原点是渐近稳定的。又因为()V x 是径向无界的，所以原点是渐近稳定的！ 其他平衡点121,x x R =±∈，根据系统解的存在性与唯一性，其他平衡点是不稳定的。

2.考虑如下非线性系统.

(),x f x x R =∈其中3

()f x x x =+。为求该系统的平衡点，令

()0f x =，可得2

(1)0x x +=，该方程的根为1230,,x x j x j ===-。是否可以说123

,,x x x 为系统的三个平衡点？

解答：不可以。本题为自治系统，我们一般假设n R 空间中的原点为平衡点，即

*0,(0)0x f ==，这样的假设不失一般性，如果*0,x ≠则作变量变换*

y x x =-，可得

..

*

()()()y x f x f y x g y ===+ ，其中(0)0g =，显然作变量变换后（状态变量y ）的平

衡点为原点。这样经过平衡点变换，可以将非零平衡点变换到原点。所以一般我们讨论零平衡点的稳定性。

证明：对于线性定常系统，只存在稳定和渐近稳定。对于一般系统，指数稳定可以推出一

致渐近稳定，由此可得对于线性定常系统指数稳定和渐近稳定等价。

充分性：由于()f x 连续可导，根据微分中值定理，存在介于0和x 的n z R ∈，使得

0()()()i i f z f x f x x x

?-=

?

由于(0)0i f =，故

()(0)()(0)()(

),1,2,,i i i i i f z f f z f f x x x i n x

x

x

x

????=

=+-=???????

因而

()()f x Ax g x =+，

其中0(0)|x f A x

=?=

?，()12()(),(),...,()T

n g x g x g x g x =，()(0)()(

)i i i f z f g x x x

x

??=-

??，

显然()(0)()(

)i i i f z f g x x x x

x

??≤-

??，因而由连续性可知

()0,0g x x x

→→

由于R e ()0,1,2,...,,i A i n λ<=所以系统（2）是渐近稳定的，则Lyapunov 方程

0,T

A P PA Q ++=其中Q 是对称正定矩阵，有正定对称解P 。取Lyapunov 函数为

()T

V x x Px =

则2

min ()2()()2()T T

V x x Qx x Pg x Q x

x P g x λ?

=-+≤-+

对于给定的0,γ>存在0k >，使得x k <时，

()g x x

γ<，则有()g x x γ<，

可得2

min ()(()2)V x Q P x λγ?

≤-+，取m in ()2Q P

λγ<

，

则()0,0,V x x ?

000

()()(()),0t

t

At

A t At

A x t e x e

g d e x e

g d t ττ

ττττ--=+

=+

≥?

?

；所以

00

()(()),0,t At

A x t e

x e

g d t τ

ττ-≤+

≥?

所以系统（1）指数稳定。

必要性：

因为系统（1）是指数稳定的，则其一定是渐近稳定的，则存在()V x 正定，()V x ?

负定。故可取取Lyapunov 函数为

()T

V x x Px =（P 是正定对称的）

因为其线性近似为x Ax =

，所以()()0T T T

V x x A P PA x x Q x ?

=+=-<，所以由则Lyapunov 方程0,T

A P PA Q ++=其中Q 是对称正定矩阵，有正定对称解P ，线性定常系统（2）是渐近稳定的。

综上可知，系统（1）指数稳定的充分必要条件是系统（2）是指数稳定的。