凸轮机构的设计

何振俊
基于 MATLAB的高次多项式凸轮型线优化设计
何振俊 1, 2 , 李雪峰2
(1 西北工业大学 自动化学院 , 西安 710072;2江苏南通市广播电视大学 , 南通 226006)
摘 要 :动力凸轮型线的设计十分重要 , 以高次多项式凸轮型线为例 , 在基于丰满系数和磨损设计 多目标函数情况下 , 利用 MATLAB及其优化工具箱 (optimizationtoolbox)对目标函数数学模型进行 优化求解 。 应用 MATLAB的优化函数提供的强大计算功能 , 确定了凸轮型线高次五项式函数中的 系数 , 并能快速找到目标函数的优化值 。 显著提高了型线优化设计的速度和精度 , 还可根据实际情 况灵活地调整权重系数 W1 和 W2 的值的大小 , 计算方便快捷 。 在与传统设计方法比较结果表明 , 经优化设计 , 提高了动力凸轮的丰满系数 , 降低了凸轮型线的磨损 。 关 键 词 :优化设计 ;MATLAB;高次多项式 ;凸轮型线 中图分类号 :TK402 文献标识码 :A 文章编号 :1003-8728(2008)10-1141-04
Abstract:Takingthefullnesscoefficientandweardesignasmulti-objectives, westudytheoptimizationofthecam profileofahigh-orderpolynomialusingMATLABanditsoptimizationtoolbox.MATLABprovidespowerfulcomputingcapabilitiestosignificantlyimprovethespeedandaccuracyofdesignforthecamprofilebydeterminingthecoefficientsinahigh-orderfive-term functionandfindingtheoptimalvalueoftheobjectivefunctionquicklyinneed. Inaddition, theweightingcoefficientsW1 andW2 canbeadjustedaccordingtotheactualconditionsduringthecalculation.Comparedwiththetraditionalmethodsofdesign, theoptimizationdesigniseffectiveinpromotingthefullnesscoefficientandloweringthewearing-awayofthecammechanism. Keywords:optimizationdesign;MATLAB;high-orderpolynomial;cam profile
第 10期
何振俊等 :基于 MATLAB的高次多项式凸轮型线优化设计
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4 MATLAB程序计算实例 凸轮机构的设计参数如下 :凸轮基圆半径 r0 =
21 mm, 最大升程 hmax =13 mm, 转速 n=1800 r/min, 工作段半包角 αB=62 ℃, 阀门落座速度 vg=0.2 m/s, 权重系数 W1 、W2 取等值 0.5, 权重系数也可根据具体 情况进行权重调整 。 4.1 目标函数 objfun.m文件中的程序 functionf=objfun(x, W1 , W2 ) hmax =13;n=1800;ω=2＊pi＊ n/60;αB =62;vg = 0.2;[ rmin] =4.5;r0 =21 p=2;q=2＊x(1);r=2＊x(1)+2＊x(2); s=2＊x(1)+4＊x(2) v=vg＊αB /ω C0 =hmax Cp =((-C0 )＊q＊r＊s+v＊(q＊r+q＊s+r＊s-q -r-s+1))/(q-2 )/(r-2 )/(s-2 ) Cq =((-C0 )＊p＊r＊s+v＊(p＊r+p＊s+r＊s-p -r-s+1))/(p-q)/(r-q)/(s-q) Cr =((-C0 )＊p＊q＊s+v＊(p＊q+p＊s+q＊s-p -q-s+1))/(p-r)/(q-r)/(s-r) Cs =((-C0 )＊p＊q＊r+v＊(p＊q+p＊r+q＊r-p -q-r+1))/(p-s)/(q-s)/(r-s) ξ=1/C0 ＊(C0 +Cp/(1 +p)+Cq/(1 +q)+Cr/(1 + r)+Cs/(1 +s)) a=2＊Cp＊ω2 /α2B p1 =2;q1 =2＊20;r1 =2＊20 +2＊20;s1 =2＊20 +4 ＊20 Cp1 =((-C0 )＊q1 ＊r1 ＊s1 +v＊(q1 ＊r1 +q1 ＊s1 + r1 ＊s1 -q1 -r1 -s1 +1))/(q1 -2)/(r1 -2)/(s1 2) … K1 =1 /C0 ＊(C0 +Cp1 /(1 +p)+Cq1 /(1 +q1 )+Cr1 / (1 +r1 )+Cs1 /(1 +s1 )) p2 =2;q2 =2＊3;r2 =2＊3 +2＊1;s2 =2＊3 +4＊1 Cp2 =((-C0 )＊q2 ＊r2 ＊s2 +v＊(q2 ＊r2 +q2 ＊s2 + r2 ＊s2 -q2 -r2 -s2 +1))/(q2 -2)/(r2 -2)/(s2 2) … K2 =abs(2＊((-C0 )＊q2 ＊r2 ＊s2 +v＊(q2 ＊r2 +q2 ＊s2 +r2 ＊s2 -q2 -r2 -s2 +1))/(q2 -2)/(r2 -2)/ (s2 -2))＊w2 /α2B
OptimizationDesignoftheCam ProfileofaHigh-order PolynomialUsingMATLAB
HeZhenjun1, 2 , LiXuefeng2
(1 SchoolofAutomation, NorthwesternPolytechnicUniversity, Xi′an710072; 2 JiangsuNantongRadioandTelevisionUniversity, Nantong226006)
C0 =hmax(最大升程 )
(5)
Cp
=
-C0 qrs+v(qr+qs+rs-q-r-s+1) (q-p)(r-p)(s-p)
(6)
Cq
=
-C0 prs+v(pr+ps+rs-p-r-s+1) (p-q)(r-q)(s-q)
(7)
Cr
=
-C0 pqs+v(pq+ps+qs-p-q-s+1) (p-r)(q-r)(s-r)
第 27卷
计的关键位置桃尖而言 , 因 α=αB, β =(1 -α/αB) =0, 高次多项式项数的增加不起作用 , 磨损与 hα″有 关 , hα″=pCpω2 /α2B[ 2] 。 故对一般内燃机配气机构的 凸轮 , 在以丰满系数和磨损为目标函数来说 , 为设计 计算方便 , 取五项即可满足设计要求 。 高次五项式 作为气门升程曲线可表达为[ 3]
minF(x) =W1 (-ξ)+W2 (h″ α) minF(x) =
(3)
W1
-C10
C0
+1
C+pp+1
C+qq+1
C+rr+1
Cs +s
+
W2 (pCαp2Bω2 )
(4)
式中 :W1、W2 分别为第一 、第二目标函数权重 ;系数
C0 、Cp、Cq、Cr、Cs为含有 n、m变量的系数 。所以 x= [ x1 , x2 ] T =[ n, m] T, 目标函数 F(x)为含有 n、m变 量的函数 。
[ rmin] -r0 -C0 -(ω/a5m7in.3)2 ≤ 0 式中 :amin =pCpω2 /α2B;rmin为凸轮外形最小曲率半 径 , mm;[ rmin] 许用最小曲率半径 。
(3)最大加速度约束 本应对最大加速度进行约束 , 但由于在以磨损 设计作为第二目标函数时 , 其数学推导结果 , 实际上 是对加速度进行间接限制 , 故不再在约束条件中对 加速度重复约束 。 经分析以上式 (4)的数学模型 , 可知是一个多 目标约束非线性的最小化问题 , 应用 MATLABOptimizationToolbox中 fmincon函数 [ 1] , 编写 m代码 , 实 现上述优化数学模型的求解 , 通过给定条件参数 , 由 MATLAB计算出幂指数 p、q、r、s, 及相应的系数 Cp、 Cq、Cr、Cs, 从而实现凸轮高次五项式型线幂指数和 系数的确定 。
所围的面积与最大升程和基本工作段包角所围面积
之比 。它反映配气 机构的气体通过能力 , 丰满系数
大 , 进排气效率高 , 动力性能好 。第一目标函数是建
立以丰满系数为最大目标的函数 。 对高次五项式方程推导 , 得丰满系数为[ 5]
ξ=
1 C0
C0
+1
C+pp+1
C+qq+1
C+r r+1
Cs +s
(8)
Cs
=
-C0 pqr+v(pq+pr+qr-p-q-r+1) (p-s)(q-s)(r-s)
(9)
式中 :v=vgωαB, vg为阀门落座速度 ;αB 为工作段半
包角 ;ω为凸轮角速度 。
3 优化函数约束条件 (1)边界约束 s.t. g1 (X)=[ 3 -x1 ] ≤ 0 g2 (X)=[ x1 -20] ≤ 0 g3 (X)=[ 1 -x2 ] ≤ 0 g4 (X)=[ x2 -20] ≤ 0 (2)最小曲率半径约束 [ 6] g5 (X)=[ rmin] -rmin =
DOI :10 .13433 /j .cnk i .1003 -8728 .2008 .10 .013 2008年 10月
机械科学与技 术
第 27卷 第 10期
MechanicalScienceandTechnologyforAerospaceEngineering
October 2008 Vol.27 No.10
(2)
第二目标函数的建立要求凸轮型线磨损量为最
小 , 对第二目标函数磨损设计的求解 , 实际上演化为
对高次五项式 2阶求导 , hα″=pCpω2 /α2B, 其物理含义 为 :表示与高次曲线形状 、初始条件等因素相关的在
桃尖处的垂直加速度大小 。第二目标函数是建立以
磨损量为最小目标的函数 。 凸轮型线多目标函数合成为[ 2]
收稿日期 :2008-03-26 作者简介 :何振俊 (1963 -), 副教 授 , 硕士 研究生 , 研究 方向为 机构
运动分析与计算 、机械优化设计等, nthzj@163.com
标函数情况下凸轮型线优化设计问题 。 通过 MATLAB强大的计算功能 , 确定了凸轮型线高次五项式 函数中的系数 , 利用其优化工具箱寻找了以丰满系 数和磨损设计为数学模型的最优值 。
2 凸轮型线优化设计目标函数
凸轮型线对系统的工作质量有着重要的影响 ,
所以配气凸轮的优化设计 , 在很大程度上能提高内 燃机的工作性能 [ 4] 。 为使配气机构具备良好的充 、
排气性能要求凸轮型线具有较大的丰满系数 。
∫2αBh(α)dα
ξ=
0
2αBhmax
式中 :hmax为凸轮的最大升程 ;ξ表示凸轮型线的丰 满系数 , 其物理意义为高次曲线和基本工作段包角
1 高次五项式凸轮型线 凸轮曲线采用高次多项式型线 , 多项式项位向
右影响渐弱 , 通常高次多项式取五项至七项 。 第六 项以后对动力性能指标的影响力已很小 , 随着高次 多项式项数的增加 , 凸轮丰满系数减小 , 加速度的绝 对值变大 , 凸轮机构工作性能下降 。而对于磨损设
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机械科学与技术
ຫໍສະໝຸດ Baidu
随着工程技术的发展和最优化 技术的广泛应 用 , 科学技术领域中需要求解很多优化问题 。 而工 程中的最优化问题 , 绝大多数是有约束的 , 且多属于 非线性规划问题 [ 1] 。 内燃机配气系 统中凸轮型线 的设计就是这么一种有约束非线性规划问题 。 由于 各种限制条件的复杂性 , 传统凸轮曲线设计方法难 以找到合适的曲线参数 , 本文讨论此类情况下 , 利用 MATLAB优化工具箱 (optimizationtoolbox)解决多目
h(α) =C0 +Cpβp +Cqβq +Crβr +Csβs (1) 式中 :h(α)表示气门升程 , 简写为 hα;α表示凸轮转
角 , 将基本段始点取作 α=0;β =(1 -α/αB), αB为 基本段半包角 ;C0 , Cp, Cq, Cr, Cs表示待定系数 ;p, q, r, s表示幂指数 ;取 p=2, q=2n, r=2n+2m, s= 2n+4m, 式中一般取 n为 3至 20之间的实数 ;m为 1 至 20之间的实数 。