三角函数及其导数积分公式的六边形记忆法

从俞诗秋的文章修改而来，原来的口诀不太好记

原文：三角函数双曲函数及其导数积分公式的六边形记忆法

三角函数及其导数积分公式的六边形记忆法

2. 三角函数的定义

[三角函数的定义和符号变化] 名称 正弦

余弦

正切 余切

正割 余割

定 义

r

y

==斜边对边αsin

r

x ==斜边邻边αcos

x

y

==

邻边对边αtan

y

x ==对边邻边αcot

x

r ==邻边斜边αsec

y

r ==对边斜边αcsc

符 号 与

增 减 变 化

Ⅰ +↑ +↓ +↑ +↓ +↑ +↓ Ⅱ +↓ -↓ -↑ -↓ -↑ +↑ Ⅲ -↓ -↑ +↑ +↓ -↓ -↑ Ⅳ

-↑

+↑

-↑

-↓

+↓

-↓

1

sinx

cosx

cscx

cotx

secx

tanx

+

-

1. 三角函数的记忆：

●对角线倒数:对角线互为倒数sinx=1/cscx，指在三角函数六边形

中,过中点且连接两个顶点的线段中，两端点处的函数乘积等于中间的数1，即sinxcscx=1, cosxsecx=1, tanxcotx=1.

●倒三角形平方和:指在三角函数六边形中,每个有阴影的三角形下

顶处函数的平方等于上面两个顶处函数平方的和.即sin2x+cos2x=1, tan2x+1=sec2x, cot2x+1=csc2x.

●邻点积:指在三角函数六边形中,任何一个顶处的函数等于相邻两

个顶处函数的乘积.即sinx=tanxcosx, cosx=sinxcotx, cotx=cosxcscx, cscx= cotxsecx, secx=cscxtanx, tanx=secxsinx.

2.三角函数求导数

图中左面“+”号表示六边形左面三个顶角处函数的导数为正值，右面“-”号表示六边形右面三个顶角处函数的导数为负值。

●上互换:指在三角函数求导六边形中，上顶角处函数的导数为另一

上顶角处函数的导数.即:(sinx)’=cosx, (cosx)’=-sinx。

●中下2:指在三角函数求导六边形中,中间顶角处函数的导数为对

应边下顶角处函数导数的平方.即:(tanx)’=sec2x，(cotx)’=-csc2x。

●下中下:指在三角函数求导六边形中,下顶角处函数的导数为对应

边中间顶角处函数的导数与下顶角处函数的导数之乘积。

即:(secx)’=tanxsecx，(cscx)’=-cotxcscx。

3.三角函数求积分

由于积分是导数的逆运算,我们立即可以有求积分记忆口诀:

上互换，下2中，中下下。

注:原函数的符号视其在相应六边形的位置而定。例如:

∫cosxdx=sinx+c

例1求∫secxdx.

步骤:(a)与secx有关的积分口诀是“下2中”,

(b)通过调整以及从六边形中可知,

∫secxdx=∫(secx)2dx

secx =

√1+tan2x

=ln|tanx+√1+tan2x|+c=

ln|tanx+ secx|+c