曲线积分和曲面积分的计算

曲线积分和曲面积分的计算

第21章 曲线积分和曲面积分的计算

教学目的：

教学重点和难点：

§1 第一类曲线积分的计算

设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续，l 的方程为

()()()

()0x x t y y t t t T z z t =⎧⎪

=≤≤⎨⎪

=⎩

则()()()()

,,,,T

l

t f x y z ds f x t y t z t =⎡⎣⎰⎰

。

特别地，如果曲线l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为()y x ϕ=，()a x b

≤≤，那么有

((,) , ()b

l

a

f x y ds f x x ϕ=⎰

⎰。

例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==,

π

≤≤t 0。求22()l

x

y ds

+⎰。

例：设l 是曲线x y 42

=上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第

一类曲线积分l

yds ⎰。

例：计算积分2l

x ds ⎰，其中l 是球面2

222

a z y x

=++被平面0=++z y x 截

例：求()l

I x y ds =+⎰，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直

§2 第一类曲面积分的计算

一 曲面的面积

（1）设有一曲面块S ，它的方程为

()

,z f x y =。(),f x y 具有对x

和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy

σ为可求面积的。则该曲面块的面积为

xy

S σ=⎰⎰。

（2）若曲面的方程为

()

()()

,,,x x u v y y u v z z u v =⎧⎪

=⎨⎪

=⎩, 令

222

u u u

E x y z =++，

u v u v u v

F x x y y z z =++，2

22

v v v G x

y z =++，

则该曲面块的面积为

S ∑

=。

例：求球面2

222x y z a ++=含在柱面()2

20x y ax a +=>内部的面积。 例：求球面2222

x y z a ++=含在柱面()

2

20x

y ax a +=>内部的面积。

二 化第一类曲面积分为二重积分

（1）设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。曲面S 的方程为(),z f x y =。(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy

σ为可求面积的。则

()(

),,,,,xy

S

x y z dS x y f x y σφφ=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰。

（2）设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。若曲面的方程为

()()()

,,,x x u v y y u v z z u v =⎧⎪

=⎨⎪

=⎩ 令

222

u u u

E x y z =++，u v

u v u v

F x x

y y z z =++，2

22

v v v G x

y z =++， 则 ()()()(

),,,,,,,S

x y z dS x u v y u v z u v φφ∑

=⎡⎣⎰⎰⎰⎰。

例：计算()S

x y z dS ++⎰⎰，S 是球面2

222

x

y z a ++=，0z ≥。

例：计算S

zdS ⎰⎰，其中

S

为螺旋面的一部分：

()cos sin 0,02x u v

y u v u a v z v π=⎧⎪

=≤≤≤≤⎨⎪=⎩

。

注：第一类曲面积分通过一个二重积分来定义，这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因。 例：

I=S

，S 是球面，球心在原点，半径为R 。

§3 第二类曲线积分

一 变力做功和第二类曲线积分的定义

1.力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功。先用微元法，再用定义积分的方法讨论这一问题，得

»AB

W F ds =⋅⎰u r u u r

。

2. 第二型曲线积分的定义

定义1 设L 是一条光滑或逐段光滑曲线，且设(),,f x y z 是定义在L 上的有界函数，将L 沿确定方向从起点A 开始用分点

()

,,i i i i A x y z 分成n 个有向弧段¼1

i i A A +，直至终点B 。且设1

i

i i

x x

x +∆=-。

在每一弧段

¼1

i i A A + 上任取一点(),,i

i

i

i

P ξηζ，作和式：

()()1

1

,,n

n

i i i i i i i i f P x f x σξηζ===∆=∆∑∑。

其中()1

1

1

1

,,A x y z 为起点A ，()

1

1

11,,n n n n A x

y z ++++为终点B 。设{}1

max i i i

A A λ--------+=，

这里

1

i i A A --------

+表示有向线段

1

i i A A --------

+的长度。若当0λ→时，和σ有极

限I ，且它与L 的分法无关，也与点i

P 的选择无关，则称I 为

(),,f x y z dx

沿曲线L 按所述方向的第二类曲线积分，记作(),,L

I f x y z dx

=⎰ 或 ()»,,AB

I f x y z dx

=⎰

。

注：如果向量()()()()(),,,,,,,,,,f x y z P x y z Q x y z R x y z =，则向量沿曲线L

按一定方向的第二类曲线积分为 ()()(),,,,,,L

I P x y z dx Q x y z dy R x y z dz =++⎰。

注：第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。这是第二

类曲线积分的一个很重要性质，也是它区别于第一类曲线积分的一个特征。

注：在平面情况下，若一人立在平面上沿闭路循一方向作

环行时，如闭路所围成的区域靠近这人的部分总在他的左方，则这个方向就算作正向，否则就算作负向。这时只要方向不变，曲线积分的值是与起点的位置无关的。

二 第二类曲线积分的计算