泛函中四大空间

泛函中四大空间的认识

第一部分我们将讨论线性空间，在线性空间的基础上引入长度和距离的概念，进而建立了赋范线性空间和度量空间。

在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即赋范线性空间，完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。范数可以看出长度，赋范线性空间相当于定义了长度的空间，所有的赋范线性空间都是距离空间。

在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。赋范线性空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。

赋范线性空间是其中每个向量赋予了范数的线性空间，而且由范数诱导出的拓扑结构与代数结构具有自然的联系。完备的赋范线性空间是Banach 空间。赋范线性空间的性质类似于熟悉的n R ，但相比于距离空间，赋范线性空间在结构上更接近于n R 。

赋范线性空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。

在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。任何内积空间都赋范线性空间，但赋范线性空间未必是内积空间。

距离空间和赋范线性空间在不同程度上都具有类似于n R 的空间结构。事实上，n R 上还具有向量的内积，利用内积可以定义向量的模和向量的正交。但是在一般的赋范线性空间中没有定义内积，因此不能定义向量的正交。内积空间实际上是定义了内积的线性空间。在内积空间上不仅可以利用内积导出一个范数，还可以利用内积定义向量的正交，从而讨论诸如正交投影、正交系等与正交相关的性质。Hilbert 空间是完备的内积空间。与一般的Banach 空间相比较，Hilbert 空间上的理论更加丰富、更加细致。

1 线性空间

（1）定义：设X 是非空集合，K 是数域，X 称为数域上K 上的线性空间，若,x y X ∀∈，都有唯一的一个元素z X ∈与之对应，称为x y 与的和，记作

z x y =+

,x X K α∀∈∈，都会有唯一的一个元素u X ∈与之对应，称为x α与的积，记作

u x α=

且,,x y z X ∀∈，,K αβ∈，上述的加法与数乘运算，满足下列8条运算规律：

10 x y y x +=+

20 ()()x y z x y z ++=++

30 在X 中存在零元素θ，使得x X ∀∈，有x x θ+=

40 x X ∀∈，存在负元素x X ∀-∈，使得()x x θ+-=

50 1x x ⋅=

60 ()()x x αβαβ=

70 ()+x x x αβαβ+=

80 ()x y x y ααα+=+

当K R =时，称X 为实线性空间；当K C =时，称X 为复线性空间

（2）维数：

10 设X 为线性空间，12,,,n x x x X ∈若不存在全为0的数12,,,n K ααα∈，

使得

11220n n x x x ααα++

+= 则称向量组12,,,n x x x 是线性相关的，否则称为线性无关。

20 设x X ∀∈，若12,,

,n K ααα∈，12,,

,n x x x X ∈使得 1122n n x x x x ααα=+++ 则称x 可由向量组12,,,n x x x 线性表示。

30 设X 为线性空间，若在X 中存在X 个线性无关的向量，使得X 中任一向量可有n 个向量线性表示，则称其为X 的一个基，称n 为X 的维数。

2 距离空间

设X 是非空集合，若存在一个映射:d X X R ⨯→，使得,,x y z X ∀∈，下列距离公理成立：

10 非负性(,)0,(,)=0d x y d x y x y ≥⇔=

20 对称性(,)(,)d x y d y x =

30 三角不等式(,)(,(,)d x y d x z d z y ≤+

则称(,)d x y 为x y 与的距离，X 为以d 的距离空间，记作(,)X d 。

3 赋范线性空间

设X 称为数域上K 上的线性空间，若x X ∀∈，都有一个实数x 与之对应，使得,,x y X K α∀∈∈，下列范数公理成立：

10 正定性0,00x x x ≥=⇔=

20 绝对齐次性x x αα=

30 三角不等式x y x y +≤+ 则称x 为x 上的范数，X 为K 上的赋范空间。

已知完备的距离空间中任一Cauchy 列均收敛，而赋范线性空间作为一类特殊的距离空间，同样可以讨论它的完备性。只是这里的距离是由范数诱导的距离。在范数的语言下，点列{}n x 为Cauchy 列的定义改写为

0,,N N ε∀>∃∈N 使当m,n>时，有m n x x ε-<

完备的赋范线性空间称为Banach 空间。

4 内积空间

设X 称为数域上K 上的线性空间，若存在映射,<⋅⋅>：X X K ⨯→，使得

,,x y z X ∀∈，,K αβ∈，

，下列内积公理成立： 对第一变元的线性,,,x y z x z y z αβαβ<+>=<>+<> 共轭对称性,,x y y x <>=<>

正定性,0x x <>≥且,00x x x <>=⇔=

则称,<⋅⋅>为X 上的内积，X 为K 上的内积空间。

由于完备性的概念是建立在距离定义的基础上的，故等价的说，一个内积空

间称为Hilbert空间，若其按由内积导出的范数是完备的距离空间。

在由内积导出的范数下，内积空间X成为一个赋范空间，它具有一般赋范空间的所有性质。