定积分的背景-面积和路程问题

y = f(x) y
A1
A2
Oa
A3
A4
b
x
的如 面何 积求
曲 边 梯 形
y
A1 Oa
y = f(x)
Ai
An
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替
小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
y
不足估计 y
此时，误差都不超过
s2 s2 48.125 35.625 12.5(m)
滑行时间等分的越细，误差越小。当所分隔的小
时间段长度趋于0，则过剩估计值和不足估计值都趋
于汽车滑行路程。
概括
小结
＊ 曲边梯形的定义： 我们把由直线 x = a，x = b (a ≠ b)， y = 0和曲
线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。 ＊ 求曲边梯形面积的步骤：
(4)
分隔的区间长度趋于 0 ，过剩估计值
和不足估计值都趋于曲边梯形面积。
o
1
x
通过下面的演示我们如何做到使误差小于0.01.
输入数字， 点击确定.
问题2 司机猛踩刹车，汽车滑行 5s 后停下，此过 程中汽车的速度 v 是时间 t 的函数：
v(t) t2 10t 25 (0 t 5)
O 12
k
nn
n
O 12 nn
n n
x
k n
n n
x
过剩估计
问题1 图中阴影部分由抛物线 y x2，直线 x 1
及 x 轴围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的 面积 S 。
y
y x2
o
1x
将区间[0，1]平均分成 5 份，如图所示。 y
(1)
S1
o
1x
图 (1) 中，所有小矩形面积之和 S1显然大于所
请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s 。
分析： 将滑行的 5s 平分成 5 份。用 v(0)，v(1) ，v(2)，v(3)
v(4)近似代替汽车在0~1、1~2、2~3、3~4、4~5s内 的平均速度，则滑行距离的过剩估计值为 s1 ：
s1 v(0) v(1) v(2) v(3) v(4)1 55(m)
曲边梯形的定义
y
y f (x)
成的，通常
称这样的平面图形为曲边梯形.
由直线 x = a，x =b (a≠b)， y = 0和曲线y = f (x) 所围成的图形
的如 面何 积求
曲 边 梯 形
y Oa
y = f(x)
A1
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
若将 5 秒平分成10份，则得到过剩估计值为s2：
s2 [v(0) v(0.5) v(1) v(4) v(4.5)] 0.5 48.125(m)
不足估计值为 s2 ：
s2 v(0.5) v(1) v(1.5) v(2) v(5)0.5 35.625(m)
S2 (0.12 0.22 12 ) 0.1 0.385
不足估计值为
s2 (02 0.12 0.22 0.92 ) 0.1 0.285
y
二者的差值为 S2 s2 0.1 ，此时，无
论用 S2 还是s2来表示 S ，误差都不超过 0.1 。
区间分的越细，误差越小。当所
得 A A1.
y Oa
y = f(x)
A1
b
x
的如 y
面何
积求
曲
边
梯
A1
形
Oa
y = f(x)
A2
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y A1
Oa
y = f(x)
A2 bx
的如 y
面何
积求
曲
边
梯
A1
A2
形
Oa
y = f(x)
A3
A4
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
定积分的背景
问题引入：
圆的面积公式s=πr*r如何推导？
小资料：
魏晋时期的数学家刘徽的“割圆术” 刘徽 开创了圆周率研究的新纪元，用他的话说， 就 是：“割之弥细，所失弥少。割之又割， 以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”
也可以从圆内接正多边形和外切正多边形同 时入手，不断增加它们的边数，从里外两个方 面去逼近圆面积。
分割区间
过剩估计值 不足估计值
逼近所求面积 结束
用 v(1)，v(2)，v(3)，v(4) ，v(5) 近似代替汽车在0~1、 1~2、2~3、3~4、4~5s内的平均速度，则滑行距离的 不足估计值为 s1 ：
s1 v(1) v(2) v(3) v(4) v(5)1 30(m)
此时误差不超过： s1 s1 25(m)
y
(2)
s1
o
1x
我们可以用 S1 或 s1 近似表示 S ，但是都存在 误差，二者之差为 S1 s1 0.2，但是无论是用 S1还 是 s1 来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2， 如图(3)所示。
y
(3)
o
1x
为减小误差，我们将区间[0，1] 10等分，则
所求面积的过剩估计值为
求曲边梯形的面积，我们称 S1 为 S 的过剩估计值，
则有
S1 (0.22 0.42 0.62 0.82 12 )0.2 0.44
图 (2) 中，所有小矩形面积之和 s1 显然小于所 求曲边梯形的面积，我们称 s1 为 S 的不足估计值， 则有
s1 (02 0.22 0.42 0.62 0.82 )0.2 0.24