等差数列前n项和的最值求解方法

等差数列前n 项和的最值求解方法

例1 设等差数列{n

a }的前n 项和为n s ，已知3

a =12，12

s >0,13

0s <,

(1)求公差d 的取值范围；

（2）指出1

s ，2

s ，…，12

s 中哪一个值最大，并说明理由.

解析 （1）由3

a =12，得：

1

a +2d=12,即1

a =12-2d, 由12

s >0，得：121

a +12*1102

d >，所以d>-247

, 由130

s

<,得：131

a +13*1202

d <，所以d<-3,

因此，d 的取值范围为（-247,-3）. (2)解法一：1

(1)n

a a n d =+-

=12-2d+(n-1)d =12+(n-3)d

令0

n

a

>，得：n<3-12d

, 由（1）知：247

-

372d

<-<，

又*n N ∈,故由等差数列的单调性可知：当6n ≤时，0n

a >；

当n>6时，0n

a <，因此，6

s 最大.

解法二：由题意可得：

n

S =n 1

a +

(1)

2

n n d -=n(12-2d)+

22

n n

d -

=2

5(12)2

2

d n

d n

+-

显然d ≠0, n

S 是关于自变量n 的二次函数， 由（1）知：d<0,

二次函数的图像抛物线的对称轴为n=512

2d

-, 由（1）知：2437

d -<<-， 所以6<5122d -<132

, 又因为n *

N ∈,

故当n=6时，n

S 最大， 即6

s 最大.

例 2 已知等差数列{n a },*

n a N ∈,n S =2

12)8

n

a +（.若1

302

n n b a =

-，求数列 {n

b }的前n 项和的最小值.

分析：①由n

S 与n

a 的关系，可写出1

1

n n s a ++与之间的关系，两式作差，即可得出1

n a +与n

a 间的关

系；

②{n

b }的前n 项和最小，估计{n

b }的前n 项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最小.

解

1

n a +=1

n s +-n

S =2

112)

8

n a

++（-2

12)8

n a +（， 即81

n a +=（1

n a ++22

）-（n

a +22

），

所以（1n a +-22

）-（n

a +22

）=0， 即（1n a ++n a ）（1n a +-n

a -4）=0，

因为*

n a N ∈，所以1n a ++n a ≠0，即1n a +-n

a -4=0， 所以1n a +-n

a =4，

因此等差数列{n

a }的公差大于0.

1

a =1

s =2

112)8

a +（,解得1

a =2. 所以n

a =4n-2,则1

302

n

n b

a =

-=2n-31.

即数列{n

b }也为等差数列且公差为2. 由

23102(1)310{n n -≤+-≥，解得

293122

n ≤≤， 因为n *

N ∈，所以n=15, 故{n

b }的前15项为负值， 因此15s 最小， 可知1

b =-29，d=2,

所以数列 {n

b }的前n 项和的最小值为

15

s =

1529215312

-+⨯-（）

=-225.

小结：若{n

a }是等差数列，求前n 项和的最值时：

① 若1

a >0,d<0,当满足100

{

n n a a +≥≤时，前n 项和n

S

最大；

② 若1

a <0,d>0,当满足1

00{n

n a a +≤≥时，前n 项和n

S

最小；

除以上方法外，还可将{n

a }的前n 项和的最值问题看作n

S 关于n 的二次函数问题，利用二次函数的图象或配方法求解，另外还可利用n

S 与n 的函数关系，进行求导数求最值.