小概率事件原理

小概率事件原理在生活中的应用

一、摘 要：

概率是研究随机现象的数量规律的科学，它的理论的方法已成为研究国民经济和技术不可缺少的工具，概率最早起源于对赌博问题的研究。十七世纪就出现了概率论，随着社会的发展，概率论在工农生产、国民经济、现代科学技术等方面具有广泛的应用。这既是近年来我国数学课程改革的成果之一，也是实现教育内容现代化的一个重要举措。高中数学的许多知识与概率有着密切的联系，特别是所学的排列、组合等知识在概率中得到了较为充分的应用，同时已经学习了的概率论与数理统计等内容也都以概率初步知识为基础。

小概率事件概率论是研究随机现象统计好规律的科学。在概率论与数理统计已获得当今社会的广泛应用、概率已成为日常生活的普通常识的今天，对现实生活中的概率问题进行研究就更显得十分重要，小概率事件原理是概率论中实用价值较高，应用范围较广的基本理论，下面我们略举一些实例介绍其在其他生活领域的应用。

关 键 词：概率，骗局，抽签，质量检查，商场管理，相遇问题，假设检验，经济效益，

二、小概率事件的认识：

在n 次独立的重复试验中，事件A 发生的次数设为n μ，P 为事件A 发生的概率。则对ε? ＞0，有 0}P -n {lim n n =≥∞→εμP 或 1}{lim =≤-∞→εμP n P n n

根据伯努力大数定律，在大量重复试验中事件出现的频率接近于概率。假设事件A 发生的概率为0.001，则在1000次试验中，事件A 发生的次数大体为1次。但不管其概率是多么小，其值总是一个确定的正数。该事件随着试验次数的不断增加，迟早会发生的概率趋近于1。事实上，假如在某个随机试验中，事件A 的概率为

P （A ）=ε，ε是一个充分小的正数，则不论ε如何小，只要不断独立地重复这一试验，事件A 总是会发生的（即A 发生的概率为1）。

设以A k 表示事件A 于第k 次试验中发生这一事件，则P （A k ）=ε。

从而在前n次试验中，A都不发生的概率为：

故在前n次试验中，A至少发生一次的概率为：

当n→∞时，由于0＜ε＜1，有limn→∞p n=1

这就说明了虽然事件A在一次试验中发生的概率很小，但在不断地重复独立试验中，A总会发生。因此，我们可以认为概率很小的事件在一次试验中实际上是大不可能出现，这就是小概率事件原理。它是统计假设检验中拒绝还是接受原假设的依据，也是人们在实践中总结出来而被广泛应用的一个原理。

小概率事件原理的推断方法是概率性质的反证法，指的是人们首先根据问题提出假设，然后根据一次试验的结果进行计算，最后按照一定的概率标准做出鉴别。若小概率事件出现了，则拒绝假设；若小概率事件没发生，则不拒绝假设。

小概率事件，在概率论的基础理论研究中，大量随机现象具有某种稳定的性质，例如频率的稳定性，平均结果的稳定性等等，它反映了偶然性与必然性之间的辩证关系。为了揭示这种实际上的必然性或实际上的不可能性，我们对概率接近于1或0的事件的研究，具有重大的意义。概率论的基本问题之一，就是要建立概率接近于1或0的规律。特别是对大量独立或弱相关因素的累积结果所发生的规律的研究，将导致“依概率收剑”和“依概率1收剑”等概念的产生，与此同时，相应的（弱）大数定律和强大数定律的研究也应运而生。

三、概率事件在生活的应用：

1、数学骗局

我们经常见到街头免费摸奖的骗局，为什么说它是骗局呢？我们在此用一个常见的例子分析一下：某厂商为了推销某种水货商品，特设立免费摸奖游戏，规则是：一个袋子中装有20个球，标有5分值和10分值的各10个，摸奖者从袋中任意摸出10个球，这10个球的分值之和若分别是50，55，60，90，95，100者便可获取奖品一个，若得其它分值，则必须掏钱购买厂商的商品一件。由于不花钱摸奖，很多人都驻足一试，然而得奖的人几乎没有，而大多数人则不得不花钱购买商品回家，这是为什么呢？

在这个摸奖游戏中厂商到底是赢还是亏呢？我们这样来看：设Ak事件表示摸出的10个球中有k个5分值的，那么10分值的就有10-k个，则Ak事件代表的分值就为5k+10(10-k)=100-5k。又由中奖的分值分别为50，55，60，90，95，100即100-5k等于50，55，60，90，95，100这6个分值中的一个则中奖，因此k的值分别为10，9，

8，2，1，0，所以中奖的情况有以下6种：10个全是5分球，或9个5分球，1个10分球，或8个5分球，2个10分球，或2个5分球，8个10分球，或1个5分球，9个10分球，或10个全是10分球，且它们两两互不相容，又由排列组合可知上述6种中奖事件发生的概率分别为：10101020C C 、9110101020C C C 、8210101020C C C 、2810101020C C C 、1910101020

C C C 、10101020C C 。因此用A 表示中奖事件，那么中奖事件的概率P(A)= 10101020C C +9110101020C C C +8210101020C C C +2810101020C C C +1910101020

C C C +10101020C C =0.000767. 由此可见，这是一个小概率事件，发生的概率只有0.000767，也可以说中奖几乎不可能，厂商肯定会赚钱，所以厂商才会选择和我们玩这样一种所谓的“免费”摸奖游戏，其实质是一场让玩游戏的人自己掏腰包买水货回家骗局。

其实生活中我们会遇到很多这样的“骗局”，我们必须正确认识小概率事件，才不会“上当受骗”。

2、抽签先后是否公平

生活中，我们有时要用抽签的方法来决定一件事情。在高中我们就学过这样一个例子：我校去年举行庆祝五·四诗歌大赛，各班派出10名代表参加，为使人人参与，学校规定全校同学都作准备，赛前由各班用抽签方法决定参赛的人选，很多同学们对抽签之事展开讨论，有的同学说先抽的人抽到的机会比较大，也有同学持不同意见，那么，抽签有先有后(后抽人不知先抽人抽出的结果)，对各人真的公平吗？

我们现在就来研究一下，从概率的方面来说明抽签次序是否影响抽签结果？不失一般性，第一，不妨考察5个签中有一个彩签的情况，显然，对第1个抽签者来说，他从5个签中任抽一个，得到彩签的概率5

11=P ，为了求得第2个抽签者抽到彩签的概率，我们把前2人抽签的情况作一整体分析，从5个签中先后抽出2个，可以看成从5

个元素中抽出2个进行排列，它的种数是25A ，而其中第2人抽到彩签的情况有14A ，因

此，第1人未抽到彩签，而第2人抽到彩签的概率为5

125142==A A P ，通过类似的分析，可知第3人抽到彩签，则有35A 种排列，而第一二人没有抽到签的情况有24A 种，所以第

3个抽签的概率为513

5

24

3==A A P ，同理：第4个、第5个分别为5145344==A A P ，5

155445==A A P 。一般地，如果在n 个签中有1个彩签，n 个人依次从中各抽1个，且后抽人不知先抽人抽出的结果，那么第i 个抽签者(i=1,2,…,n)抽到彩签的概率为

n A A P i n

i n i 111==--，即每个抽签者抽到彩签的概率都是n 1，也就是说，抽到彩签的概率与抽签的顺序无关。

通过对上述简单问题的分析，我们看到在抽签时顺序虽然有先有后，但只要不让后抽人知道先抽人抽出的结果，那么各个抽签者中签的概率是相等的，也就是说，并未因为抽签的顺序不同而影响到其公平性。所以通过抽签来决定事情是公平的。

3 、产品质量检查

对某工厂的产品进行质量检查，现从一批产品中重复抽样，共取200件样品，结果发现其中有4件次品，问我们能否相信此工厂生产的产品的次品率不超过0.005？

我们可以这样来分析：首先，我们假设该工厂生产的产品的次品率为0.005，即200件产品中有4件次品。而抽出一件产品有两种可能结果，即要么是次品要么不是次品，因此我们可以把取200件产品看成是200次独立重复试验，也就是已经学过的伯努利试验，所以抽到的200件产品中出现4件次品的概率为

P=4200

C 40.005196(10.005)-≈0.015。由此可知，200件产品中出现4件次品的概率很小。根据小概率原理可知，概率很小的事件在一次试验中发生的可能性很小，可以说不可能发生，但是，题目中共取200件样品中就有4件次品，所以我们不能相信此工厂生产的产品的次品率不超过0.005。

通过这个例子我们可以了解到，生活中其实还有很多类似的小概率事件，虽然看似很简单，但如果我们不细心推断，就会被“欺骗”。所以掌握小概率事件的原理对于日常生活是很有实用价值的。

4、小概率原理在商场管理中的应用

商场某电器部门有12台电器，由于种种原因，每台电器优势需要开，有时需要关，每台电器的开或关时相互独立的。由以往的统计数据，每台电器在一个工作日内关闭的概率为P=1/3，为了了解该部门的用电情况，需要计算其在一天之内恰有k 台电器处于关闭状态的概率时多大。

x-y=15

x-y=-15 这是一个简单的Bernoulli 模型问题，每个工作日内处于关闭状态的电器X 服从参数为n=12，p=1/3的二项分布，容易算出X 的分布列，见表

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 pk 0.007707 0.046244 0.127171 0.211952 0.238466 0.190757 0.111275 0.047689

0.014903 0.003312 0.000497 0.000045 0.0

000

02

由表可以得出关闭的台数不超过1台的概率为：

P （0）+P （1）=0.053951

P （8）+P （9）+…P （12）=0.018759

由此可见，若取小概率标准为0.05，则“停车台数不超过1台”和“停车台数超过7台”均属于小概率事件。根据小概率原理，可以认为在一个工作日内处于停车的床台数在2～7台之间，进而可计算实际用电量。反之，还可以利用小概率原理，通过实际观察来检验原先对一台电器在一个工作日内关闭概率的估计值P=1/3是否正确。

如果在某个工作日内发现关闭的台数不超过1台或超过7台，则表明上述两个小概率事件竟然发生了，因此可以认为这是不正常的。如果没有其他原因，就可以认为将关闭的概率估计为1/3是不正确的。

像上例这种类型的问题在商场管理中是经常遇见的。又如仍有12台电器，每台电器出现故障需要维修的概率是p=0.05，可以认为各台电器是否出现故障是相互独立的，而且一名维修工人每次只能维修一台电器。那么，为了减少因等待维修而影响生产，商场应配备几名维修工人？

这也是二项分布问题，其中同一天内出现故障的车床台数X ～b （12，0

05）。不难算出：P （0）=0.541，P （1）=0.341于是至少2台出现故障的概率P=1-P(0)-P(1)=0.118.据此，可以考虑只配备1名维修工，因为超过1台出现故障的概率是小概率。

5、相遇问题

一位丈夫和他的妻子要上街购物，他们决定在上午10：00到11：00之间到某一街角的一家商店门口相会，他们约定当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则离去。试问这对夫妻能够相遇的概率为多大？假定他们到达约定地点的时间是随机的且都在约定的一小时之内。

问题主要涉及到丈夫和妻子到达商店门口的时间这两个变量，若用x 和y 表示 上午10：00以后丈夫和妻子分别到达约定地点的时间(以分钟计算)，

则他们所有可能的到达时间都可由有序对(x,y)来表示，其中

0

为了使丈夫和妻子相遇，他们到达时间必须在相距15分钟的

间隔之内，也就是说满足|x-y|<15,此范围表示的区域即为事件A

(这对夫妻能够相遇)发生的区域，如图中正方形内两条线段所夹阴影部分所示。因此，

75.4316760

4560)(222==-==正阴

S S A P %。 当然，上面只是海洋中的几朵小小的浪花，只要大家都来做有心人，你会发现它还有很多有意思的例子，例如在军事上，在赌博上等等。由以上几个问题我们可从中领悟到概率论的确如英国的逻辑学家的经济学家杰文斯（Jevons,1835-1882）说的那样，它是“生活真正的停路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为”。

6、小概率事件在假设检验中的应用

在概率统计中，为了研究随机现象，必须计算种种随机事件的概率，由于随机现象的多样性，我们不得不研究各种数学模型，并对每一种模型进行具体分析。

问题：某保健品检验标准中要求，保健品中某项元素的不合格品率p 不超过3％，现从一批产品中随机抽取50瓶进行检验，发现2瓶不合格，问该批产品能否投入市场？

按照一般的习惯性思维：50瓶中有2瓶不合格品，不合格品率就是4％，超过了原来设置的3％的不合格品率，因此不能投放市场。

但假如根据假设检验的理论，在α=0.05的显著性水平下，该批产品就可以投放市场。解法如下：

假设 H 0：p ≤p 0=0.03；H 1:p ＞p 0=0.03若把p 0看作是n=1的二项分布b （1，p ）中成功的而概率，则可在大样本场合（一般n ≥25）获得参数p 的近似μ的检验，得样本统计量：n p p p X )1(000

--=μ，近似服从标准正态分布N （0，1）。其中X =2／

50=0.04,p 0=0.03,n=50,显著水平为α，常取α=0.05.

根据α=0.05及备择假设知道拒绝域W 为：{05.0μμ>}={>μ 1.645}。 由样本观测值，求样本统计量：50)03.01(03.003

.004.0--=μ=0.415＜1.645.

因此，我们认为：在α=0.05时，样本观测值未落在拒绝域，所以，不能拒绝原假设，应允许这批产品投放市场。

由以上讨论可知，用抽样样本的质量水平来判别产品整体的质量水平，存在抽样风险。结合例题，假设这批产品共有100000瓶，里面有40瓶不合格品，不合格品率

远低于3％的标准。随机抽样50瓶，如果在50瓶中抽到了2瓶甚至更多的不合格品，简单地用抽到的不合格品除以50来作为整批产品的不合格品率来判断，那么，就会对整批产品质量水平造成错误判断。因此，以小概率事件原理为基础的假设检验就应运而生。

从上面的叙述看到，假设检验的基本方法就是从抽样的样本值出发，通过观察一个“小概率事件”在一次抽样中是否发生来判断原来对总体X的某种“看法”（原假设

H

0是否正确。具体做法是：为了检验某个假设H

是否成立，首先假设H

成立，如果由

此导出了一个小概率（小于某个数α

α，即为显著水平，常取α=0.05，0.01等）事件

发生，则认为是矛盾，从而应否定H

，否则接受H0。）

假设检验中可能会产生两类错误：第一类错误是当H

实际上成立的条件下，被我们判断为不成立，即犯了“弃真”的错误。显然，犯“弃真”错误的概率就是显著水

平；第二类错误就是当H

实际上不成立时，反而被我们判断为成立，即犯了“纳伪”的错误。就我们的而主观愿望来说，自然是希望犯这两类错误的概率都尽可能的小，即二者都是小概率事件，然而，可以证明，当样本容量确定后，犯两类错误的概率不可能同时减少，减少其中一个，另一个往往就会增大。若要它们同时减少，只有增加样本容量。在实际问题中，因人们常把“弃真”看得比“纳伪”更重要些，一般总是控制犯第一类错误的概率，这就是数理统计中的“显著性检验”。

7、经济效益

有时从经济效益的角度来考虑，利用概率的知识可使得有些问题变得更简单又经济，省钱又省力。例如：为防止某突发事件发生，在甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P)和所需费用如下：

预防措施甲乙丙丁

P 0.9 0.8 0.7 0.6

费用(万元) 90 60 30 10

预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施。在总费用不超过120万元的前提下，我们应该采用哪一种预防方案，可使得此突发事件不发生的概率最大？

我们现在就来研究在总费用不超过120万元的前提下采用哪一种相对比较好。方

案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元。由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9。方案2：联合采用两种预防措施费用不超过120万元。由表可知，联合甲、丙两种措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97。方案3：联合采用三种预防措施费用不超过120万元。故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时，突发事件不发生的概率为：1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6)=1-0.024=0.976。综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合乙、丙、丁三种预防措施可合突发事件不发生的概率最大，其概率为0.976。

结论

小概率事件在我们的生活中到处可见，它涉及到生活的各个方面，掌握它很有现实意义。虽然它发生的概率很小，但它迟早会发生。虽然小概率事件有好有坏，但我们只要掌握了小概率事件的原理，在生活中就可以趋利避害，科学的选择好的小概率事件，避开不好的小概率事件。既然我们学习了数理统计和概率论，就应该学以致用，把学到的充分运用到生活中。

参考文献:

Ⅰ人民教育出版社高中数学课本（试验修订本必修）, 数学课本第二册（下B）

Ⅱ中学数学杂志（高中）（2001.1）

Ⅲ中学数学杂志（高中）（2002.3）

Ⅳ魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2001.

Ⅴ马文.概率应用及思维方法[M].重庆：重庆大学出版社，1989.

1 安国玲.浅谈小概率事件的原理及应用（河南机电高等专科学校学报），2010