3.2.1古典概型

问题 3 上述试验的共同特点是什么？
答 (1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2) 每个基本事件出现的可能性相等． 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称 古典概型．
例 2
某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有
有限个： 命中 10 环、 命中 9 环、 „„、 命中 5 环和不中环． 你 认为这是古典概型吗？为什么？
1 因此 P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)＝ ， 2 1 即 P(出现正面朝上)＝ 2 “出现正面朝上”所包含的基本事件的个数 ＝ . 基本事件的总数
＝P(必然事件)＝1，
Байду номын сангаас题 2 在抛掷骰子的试验中，如何求出现各个点的概率？
解
出现各个点的概率相等，即 P(“1 点”)＝P(“2 点”)
＝P(“3 点”)＝P(“4 点”)＝P(“5 点”)＝P(“6 点”)，反 复利用概率的加法公式，我们有 P(“1 点”)＋P(“2 点”) ＋P(“3 点”)＋P(“4 点”)＋P(“5 点”)＋P(“6 点”)＝ P(必然事件)＝1.
3.2.1(一)
3.2.1
古典概型
[问题情境]
香港著名电影演员周润发在影片《赌神》中演技
高超，他扮演的赌神在一次聚赌中，曾连续十次抛掷骰子都 出现 6 点，那么如果是你随机地来抛掷骰子，连续 3 次、4 次、„、10 次都是 6 点的概率有多大？本节我们就来探究这 个问题．
探究点一 问题 1
基本事件 抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？连续
个数”/基本事件的总数； P(“出现不小于 2 点”)＝“出现不小于 2 点”所包含的基本 事件的个数”/基本事件的总数．
P(A)＝事件 A 所包含的基本事件的个数/基本事件的总数.
问题 3
从集合的观点分析，如果在一次试验中，等可能出现
的所有 n 个基本事件组成全集 U，事件 A 包含的 m 个基本 事件组成子集 A， 那么事件 A 发生的概率 P(A)等于什么？特 别地，当 A＝U，A＝∅时，P(A)等于什么？
例1
同时掷两个骰子，计算：
(1)一共有多少种不同的结果？ (2)其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种？ (3)向上的点数之和是 5 的概率是多少？
解
(1)掷一个骰子的结果有 6 种， 我们把两个骰子标上记号
1,2 以便区分，由于 1 号骰子的结果都可以与 2 号骰子的任 意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同 时掷两个骰子的一个结果(如表)，其中第一个数表示 1 号骰 子的结果， 第二个数表示 2 号骰子的结果． (可由列表法得到)
2号骰子 1号骰子
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
例 1
从字母 a、b、c、d 中任意取出两个不同字母的试验中,
有哪些基本事件?事件“取到字母 a”是哪些基本事件的和?
解 所求的基本事件有 6 个， A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝
{a，d}, D＝{b，c}，E＝{b，d}，F＝{c，d}; “取到字母 a”是基本事件 A、B、C 的和，即 A＋B＋C.
所以 P(“1 点”)＝P(“2 点”)＝P(“3 点”)＝P(“4 点”) 1 ＝P(“5 点”)＝P(“6 点”)＝ . 6
进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事 件的概率，例如，
P(“出现偶数点”)＝P(“2 点”)＋P(“4 点”)＋P(“6 点”) 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋ ＝ . 6 6 6 2 即 P(“出现偶数点”)＝“出现偶数点”所包含基本事件的
( C )
A．从 6 名同学中，选出 4 人参加数学竞赛，每人被选中的 可能性的大小 B．同时掷两颗骰子，点数和为 7 的概率 C．近三天中有一天降雨的概率 D．10 个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
解析 A、B、D 为古典概型，因为都适合古典概型的两个特
征：有限性和等可能性，而 C 不适合等可能性，故不为古典 概型．
1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小 组，某学生只选报其中的 2 个，则基本事件共有 A．1 个 C．3 个
解析
( C )
B． 2 个 D．4 个
该生选报的所有可能情况：{数学和计算机}，{数学和
航空模型}、{计算机和航空模型}，所以基本事件有 3 个．
2．下列不是古典概型的是
3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( C ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 2 3 3
解析
基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙
甲乙、丙乙甲共六个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲 2 1 乙共 2 个，所以甲站在中间的概率：P＝ ＝ . 6 3
4．用 1,2,3 组成无重复数字的三位数，这些数能被 2 整除的概
解
不是，因为有无数个基本事件.
探究点三 导引
古典概型概率公式
在古典概型下，每一基本事件的概率是多少？随机事件
出现的概率如何计算？
问题 1 在抛掷硬币试验中,如何求正面朝上及反面朝上的概率?
解
出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即 P(“正
面朝上”)＝P(“反面朝上”)． 由概率的加法公式，得 P(“正面朝上”)＋P(“反面朝上”)
1 率是________ ． 3
解析 用 1,2,3 组成的无重复数字的三位数共 6 个，分别为
123,132,213,231,312,321，其中能被 2 整除的有 132,312 这 2 1 个数，故能被 2 整除的概率为 . 3
复习总结
1．古典概型的适用条件： (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ; (2)每个基本事件出现的可能性 相等 .
跟踪训练 3 某种饮料每箱装 6 听，如果其中有 2 听不合格， 质检人员依次不放回从某箱中随机抽出 2 听，求检测出不合 格产品的概率． 解 只要检测的 2 听中有 1 听不合格，就表示查出了不合格 产品．分为两种情况， 1 听不合格和 2 听都不合格.1 听不合格：A1＝{第一次抽出不 合格产品}，A2＝{第二次抽出不合格产品} 2 听都不合格：A12＝{两次抽出不合格产品} .而 A1、A2、A12 是互斥事件， 用 A 表示“抽出的 2 听饮料中有不合格产品”， 则 A＝A1∪A2∪A12，从而 P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)，因 为 A1 中的基本事件的个数为 8， A2 中的基本事件的个数为 8， A12 中的基本事件的个数为 2，全部基本事件的总数为 30， 8 8 2 所以 P(A)＝ ＋ ＋ ＝0.6. 30 30 30
答 这是因为猜对的概率更小,由概率公式可知,分子上的数还是 1,因正确答案是唯一的,而分母上的数即基本事件的总数增多了 , 有(A), (B),(C),(D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D) , (A,B,C), 1 1 (A,B,D),(A,C,D),(B,C,D),(A,B,C,D)共 15 个,所以所求概率为 < . 15 4
2．古典概型的解题步骤：(1)求出总的基本事件 数；(2)求出事 件 A 所包含的 基本事件 数，然后利用公式 P(A)＝
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
.
探究点 问题 1
与顺序有关的古典概型 在标准化的考试中既有单选题又有多选题,多选题是从
A、B、C、D 四个选项中选出所有正确答案,同学们可能有一 种感觉,如果不知道正确答案,多选题更难猜对,这是为什么?
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
由表中可知同时掷两个骰子的结果共有 36 种． (2)在上面的结果中，向上的点数之和为 5 的结果有 4 种，分 别为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)． (3)由于所有 36 种结果是等可能的，其中向上点数之和为 5 的结果(记为事件 A)有 4 种，因此，由古典概型的概率计算
由于考生随机地选择一个答案，所以他选择 A，B，C，
D 哪一个选项都有可能，因此基本事件总数为 4，设答对为 随机事件 A，由于正确答案是唯一的，所以事件 A 只包含一 1 个基本事件，所以 P(A)＝ . 4 小结 解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出
所求的随机事件，要写出所有的基本事件及个数，写出随机 事件所包含的基本事件及个数，然后应用公式求出．
答 m P(A)＝ n ；当 A＝U 时，P(A)＝1；当 A＝∅时，P(A)＝0.
例3
单选题是标准化考试中常用的题型， 一般是从 A， B， C，
D 四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内 容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机 地选择一个答案，则他答对的概率是多少？
解
解 不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有 7 个，而
命中 10 环、命中 9 环、„„、命中 5 环和不中环的出现不 是等可能的(为什么？)，即不满足古典概型的第二个条件.
小结
判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限
性；二是等可能性．
跟踪训练 2
从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个
整数”是古典概型吗？
答 由于任何两种结果都不可能同时发生，所以它们的关系 是互斥关系．
问题 3
在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件
“出现两次正面和一次反面”，“至少出现两次正面”分别 由哪些基本事件组成？
答
(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)；(正，正，
正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
小结 基本事件有如下两个特点：
(1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
跟踪训练 1 把一枚骰子抛 6 次，设正面出现的点数为 x. (1)求出 x 的可能取值情况； (2)下列事件由哪些基本事件组成． ①x 的取值为 2 的倍数(记为事件 A)； ②x 的取值大于 3(记为事件 B)； ③x 的取值为不超过 2(记为事件 C)．
性相等吗？
答
基本事件有两个， 正面朝上和正面朝下， 由于质地均匀，
因此基本事件出现的可能性是相等的． 问题 2 抛掷一枚质地均匀的骰子，有哪些基本事件？每个基
本事件出现的可能性相等吗？
答 这个试验的基本事件有 6 个，正面出现的点数为
1,2,3,4,5,6，由于质地均匀，因此基本事件出现的可能性是相 等的．
A所包含的基本事件的个数 4 1 公式可得 P(A)＝ ＝ ＝ . 36 9 基本事件的总数
问题 2
为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现
什么情况？若用古典概型公式，所求的概率是多少？
答
如果不标上记号， 类似于(1,2)和(2,1)的结果将没有区别，
这时，所有可能的结果将是(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,2) (2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,4)(4,5)(4,6)(5,5)(5,6)(6, 6)共有 21 种，和是 5 的结果有 2 个，它们是(1,4)(2,3)，所求 A所包含的基本事件的个数 2 的概率为 P(A)＝ ＝ . 21 基本事件的总数
解 (1)由于 1 到 6 个点都有可能出现，所以 x 的可能的取值 为 1,2,3,4,5,6.
(2)①事件 A 包括 x 的取值为 2,4,6.
②事件 B 包括 x 的取值为 4,5,6.
③事件 C 包括 x 的取值为 1,2.
探究点二 问题 1
古典概型
抛掷一枚质地均匀的硬币，每个基本事件出现的可能
抛掷三枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？
答 (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)；(正，正，正)， (正，正，反), (正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)， (反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反).
问题 2 上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类
事件称为基本事件．在一次试验中，任何两个基本事件是什 么关系？