新人教A版数学选修1-1《3.2.1几个常用函数的导数》导学案

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.2.1几个常用函数的导数学

案 新人教A 版选修1-1

【学习目标】

1.应用由定义求导数推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =

的导数公式； 2．掌握并能运用几个基本初等函数的求导公式正确求函数的导数．

【重点难点】四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x

=的导数公式及应用 【学习内容】

一．问题提出 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．

二．新课学习

1．函数()y f x c ==的导数

根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x

∆+∆--===∆∆∆ 所以00

lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 函数 导数 y c = 0y '=

0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数()y f x x ==的导数

因为()()1y f x x f x x x x x x x

∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00

lim lim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 函数 导数

y x = 1y '=

1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的

函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数2()y f x x ==的导数 因为22

()()()y f x x f x x x x x x x

∆+∆-+∆-==∆∆∆ 222

2()2x x x x x x x x

+∆+∆-==+∆∆ 所以00

lim lim (2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 函数 导数

2y x = 2y x '=

2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 4．函数1()y f x x

==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x

-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x

-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim ()x x y y x x x x x

∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆ 函数 导数

1y x =

21y x '=- （2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=

（3）基本初等函数的导数公式表：为方便，下列公式可直接应用

基本初等函数的导数公式

c x f =)( ()0'=x f

αx x f =)(（*Q ∈α） ()1'-=ααx x f

x x f sin )(= ()x x f cos '=

x x f cos )(= ()x x f sin '-=

x a x f =)( a a x f x ln )('= （0>a ）

x e x f =)( x e x f =)('

()x x f a log = ()a x x f ln 1

'=(0>a 且1≠a )

()x x f ln = ()x x f 1

'=

三、典例分析

例1． 求 (1)(x 3)′ (2)(21

x )′

例2．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为(

) A ． (－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1)

C ．(2,8) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1

2，－1

8

题后反思：导数的几何意义是：

例3．质点运动方程是51

t s =, 求质点在2=t 时的速度．

四、课堂练习

1.求下列函数的导数：

(1)y =31

x

(2)y =3x

2.质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s )，求质点在t =3时的速度.

3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )

A.1e B ．－1e C ．－e D ．e

.

【课堂小结与反思】

【课后作业与练习】

1求下列函数的导数

（1）2log y x = （2）y =e x

（3）y =x 5 （4）y=sin x

（5）y =ln x （6）y =a x

2.已知圆面积公式2S r π=，求()r S '。

3求描述气球膨胀状态的函数()343πV V r =的导数。

4．曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π

6，32处的切线方程为___________．

5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为(

) A.12523 B.110523

C.25523

D.110523