第一章 附张量基础14

求导记号约定：
x i
, i
如
u j xi
uj ,i
ai a1 a2 a3 ai， i xi x1 x2 x3
ij, j
i1 i 2 i 3 x j x1 x2 x3 ij
*若重复出现的标号不求和，应特别声明
S aij xi xj
3 j1
S aij xi x j (a1j x1 x j a2j x2 x j a3j x3 x j )
i 1 j1
S a11 x1 x1 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a21 x2 x1 a22 x2 x2 a23 x2 x3 a31 x1 x1 a32 x1 x2 a33 x1 x3
aibi xi
1.2.3 自由指标
一个表达式中如果出现非重复的标号或一个方程每项中出现非 重复的的指标，称为自由指标。对于自由指标可以从最小数取 到最大数。 例如
xi aij x j
指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。
一个自由指标每次可取整数1, 3, …, n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
于是
S ai xi a j x j ak xk
or
or
* 1、哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）
*2、哑标只能成对出现,否则要加上求和号或特别指出
ai bi xi
双重求和
3 3
是违约的，求和时要保留求和号
a b x
i 1
n
i i i
*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和
矢量的表达形式
北
e北
A
r
x2
e2
r
r 4e东 3e北
x3
e3
u
e东
东
O
e1
x1
r x1e1 x2e2
u u1e1 u2e2 u3e3
x2
称ei 为基矢量， ui 为u在 基矢量 ei 下的坐标分量。
x3 r
3 r r1e1 r2 e2 r3 e3 ri ei
其中 向量、基矢），r1、r2、r3为r在坐标轴的 投影（分量），都有一个下标。
e1 、e2 、e3 为坐标的基矢量（单位
x1
i 1
e3
e e1 2
x2
牛顿力学
矢量力学
F, M
aiki
注意！此式代表 了三个式子：
a1k1 a2k 2 a3k 3
ai1i a111 a212 a313
ai 2i a121 a222 a323 ai 3i a131 a232 a333
aii b jj ?
aij bij ?
aii bjj a11 a22 a33 b11 b22 b33 aijbij a1 j b1 j a2 j b2 j a3 j b3 j
J xz J yz J zz
连续介质力学
xx yx zx
张量力学
(矢量也是张量)
xx yx zx
xy xz yy yz zy zz
xy xz yy yz zy zz
求和约定： 指标重复一次，则在 取值范围内求和。
r x1e1 x2e2 x3e3 v v1e1 v2e2 v3e3
r x1e1 x2e2 x3e3 xi ei
ii 11 22 33
a11b11 a12 b12 a13 b13 a21b21 a22 b22 a23 b23 a31b31 a32 b32 a33 b33


矢量 r r1e1 r2e2 r3e3 ri ei ri ei
S a1 x1 a2 x2 an xn
（4）矩阵记法：
{r },{ri }
3,张量：有大小，并具有多重方向性的量（可描 述更复杂的物理量）。 如应力 、应变。
有些量不能只利用一个方向来确定。如应力： 它与两个方向有关 在 n 方向（ n 为作用面的法矢），应力矢 pn 为 pn ；
. 而在 n 方向，应力矢为 pn
n
这说明应力矢本身有方向，而且还与其 作用面方向有关，必须用两个方向才能 描述应力矢。
xi aij x j
akj xj xk
x j a ji xi
*2若重复出现的标号不求和的表示：
i, j, k , 英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3.
n阶张量可表示为
ai1i2i3 ...in (i1 1,2,3;i2 1,2,3; ;in 1,2,3)
ai1i2i3 ...in
指标符号
指标： 用xi表示(x1, x2… xn)中任意一个变量
即 xi xi
n n n i 1 j1
i 1
3
ai xi a j x j ak xk
k 1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。
为简化表达式，引入Einstein求和约定：
每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。
a11 x1 a12 x2 a13 x3 x1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 x2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 x3
哑标与自由标 在同一项内，只出现一次的称为自由标，有一 次重复的称为哑标。
aiki
aij b jkl
*1、自由指标仅表示为轮流取值，因此也可以换标， 但必须整个表达式换标 ；
O
x1
e1
e2
记法：
（1）实体记法： r
（或黑体字母） r
（2）分解式记法：同时写出矢量的分量和相应 分解分量的基。
3 r r1e1 r2 e2 r3 e3 ri ei i 1
（3）分量记法： 将矢量用其全部分量的集合 来表示
r（ r1、r2、r3 )
来自百度文库n
p n
常用的应力单元体也是如此：
每一个应力分量也必须用两个方向才能描述，第一个 方向为应力作用面的方向，第二个方向为应力作用的 方向。 于是引入二阶基：
e1 e2 e1e2
每个分量用一个标量 （具有两个下标）与两 个并在一起基矢量（并 矢）表示，称为二阶张 量。
xye1 e 2
xz e1 e 3
材料参数也 构成张量
某人从A点出发,向东走了四公里,向北走 了三公里,问此人到了什么位置? 答曰：到了离A点五公里的地方。
？
北
e北
A
r
r 4e东 3e北
e东
东
×
5公 里
北
矢量
r
r 、u、b
矢量和:
A
东
r
a
r ab
b
A
u1 , u2 , u3 ui (i 1,2,3) v1 , v2 , v3 vi (i 1,2,3)
应力（张量）： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11 , 22 , 33 , 12 , 21 , 23 , 32 , 31 , 13
ij ij i1 i1 i 2 i 2 i 3 i 3
1111 1212 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
含偏导数项的下标记号表示法：
ij (i, j 1,2,3)
应变张量： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11, 22 , 33 , 12 , 21, 23 , 32 , 31, 13
ij (i, j 1,2,3)
其中i 1,2, n
xx 用 ij 表示 yx zx
xy xz yy yz 中任意一个 zy zz
注： 1)把 x, y , z 轴，记为x1, x2, x3, 通常可简记为 xi ;
2)各轴的基矢记为e1,e2,e3,可简记为ei ; 3)在此坐标系中的矢量v的分量记为v1, v2, v3, 可 简记为vi ; 4)应力分量记为可简记为σij .
展开式（9项）
S aijk xi x j xk aijk xi x j xk
i 1 j1 k 1
3
3
3
三重求和（27项）
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。 例题：
ai xi a1 x1 a2 x2 a3 x3
ii 11 22 33
1.2.2求和约定 （ Einstein求和约定） 矢量的点积 一个矢量和另一个矢量的点积可以决 定一个标量，用指标符号可记为
3
W = f· s= f 1s1+f 2s2+f 3s3 = ∑ f is i
Einstein求和约定：
i=1
最后一个等式在符号∑ 下fi si有两个 同样的指标i。 约定凡在一项中有一对相同的指标， 就认为是对这一指标全程求和，求和符号 略去不写：w = fi si 求和所得到的结果，不再含有这一指标， 这一指标换为其它的指标也不会影响其结果， 这一指标称为哑标。 哑标：在表达式的某项中，若某指标重复出现两次， 则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和。该重复 指标称为“哑标”或“伪标”。
微分符号：
f f f f , , f ,i x1 x2 x3 xi ( i f ) (i 1,2,3)
2 f 2 f 2 f 2 f , 2, 2, 2 x1 x2 x3 x1x2
f f ,ij xix j
(i, j 1,2,3)
约定： 在该约定 下，上述简写表达式后的说明 (i 1,2,3) 或 (i, j 1,2,3)在以后的 写法中将被略去。
u, v , a ,
p mv , I
lo r mv
其中 F Fx i Fy j Fz k
用矩阵表示:
F , F , F
x y z
在刚体动力学中也有张量:
J xx J yx J zx
J xy J yy J zy
xx e1 e1
3 3 11 e1e1 12 e1e2 ...... 33 e3 e3 ij ei e j i 1 j 1
从数学上说，可引入 e1 e2 个基矢。
en
n 阶基， n阶基中有3n
与
n
阶基相关连的量称为
附：
1.1 基本概念
张量基本知识
1.指标记法、求和约定、哑指标
1. 标量：只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选 择无关。用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量 无下标。
2. 矢量：有大小，又有方向性的物理量。 如矢径 r （或黑
体）、位移
u 、力 F
等。矢量可用一个方向来确定。
n 阶张量。
n 1 时为矢量；n 2 时为二阶张量（简 n 0 时为标量；
称张量）。
故矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。标量由1个分量 组成，矢量由3个分量组成，二阶张量由9个分量组成； 三阶张量由27个分量组成，n阶张量由3n个分量组成。
1.2 张量表示
1.2.1.下标记号法——张量的最简洁的一种表示方法 点的坐标(x,y,z) （矢径） x1 , x2 , x3 xi (i 1,2,3) 点的位移(u,v,w) 点的速度 v x , v y , v z