用微积分理论证明不等式的方法

用微积分理论证明不等式的方法

江苏省扬中高级中学 卞国文 212200

高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似．

微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式．

一、用导数定义证明不等式法

1．证明方法根据－导数定义

导数定义：设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若极限

x

y x x x x x x f x f ∆∆→∆→=--lim lim

0)

()(0

存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点

0x 的导数，记作)(0x f y '=．

2．证明方法：

(1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究．

3．例

例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数，n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ．

分析：问题中的条件与结论不属于同一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能帮助解决此题，可以看出：)0(221f na a a n '=+++ ．于是问题可以转化为证明

1)0(≤'f ．

证

明

：

因

nx

na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则n

na a a f +++=' 212)0(．

利

用

导

数

的

定

义

得

：

x x f x x f x f x f f x x x )

()(lim 0)0()()0(lim lim

00

→→→==--=

'．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim

=≤'→x

x

f x ．即1221≤+++n na a a ．

4.适用范围

用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的．

二．用可导函数的单调性证明不等式法

1.证明方法根据－可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理

定理一：若函数)(x f 在),(b a 可导，则)(x f 在),(b a 内递增（递减）的充要条件是：

),(),0)((0)(b a x x f x f ∈≤'≥'.

定理二：设函数)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 内可导，如果在),(b a 内0)(>'x f （或

0)(<'x f ），那么)(x f 在],[b a 上严格单调增加（或严格单调减少）.

定理三：设函数)(x f 在),(b a 内可导，若0)(>'x f （或0)(<'x f ），则)(x f 在),(b a 内严格递增（或严格递减）.

上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.

2.证明方法

（1）构造辅助函数)(x f ，取定闭区间],[b a ；

△如何构造辅助函数？

①利用不等式两边之差构造辅助函数（见例2）；

②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数（见例3）；

③若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形（若取对数）将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数（见例4）.

(2)研究)(x f 在],[b a 上的单调性，从而证明不等式. 3.例

例2：证明不等式：)0(1)1ln(122>+>+++x x x x x .

分析：利用差式构造辅助函数),0[,1)1ln(1)(22+∞∈+-+++=x x x x x x f ，则将要证明的结论转化为要证)0(,0)(>>x x f ，而0)0(=f ，因而只要证明

)0(),0()(>>x f x f .

证明：令),0[,1)1ln(1)(22+∞∈+-+++=x x x x x x f ，易知)(x f 在),0[+∞上连续，且有),0(,0)1ln()(2+∞∈>++='x x x x f ，由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加，所以由单调性定义可知)0(,0)0()(>=>x f x f ，即

01)1l n (122>+-+++x x x x .因此 )0(1)1ln(122>+>+++x x x x x .

例3：求证：

b

b a

a b

a b a ++

+≤

+++111.

分析：不等式两边有相同的“形式”:

A A +1：试构造辅助函数)0(,1)(≥+=

x x

x

x f .利用定理二与在)(x f 在),0[+∞上的单调性证明不等式.

证明：设辅助函数)0(,1)(≥+=

x x

x

x f .易知)(x f 在),0[+∞上连续，且有,0)

1(1

)(2

>+=

'x x f )0(>x .则由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加.由b a b a +≤+≤0，有

)()(b a f b a f +≤+，得到

b

b a

a b

a b b

a a b

a b a b

a b a ++

+≤

+++

++=

+++≤

+++111111，所以原不等式成立.