弹性力学空间问题基本理论

Fy 0, Fz 0; (a)
My 0,
Mz 0. (b)
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第七章空间问题的基本理论
No Image
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第七章空间问题的基本理论
平衡微分方程
由x 轴向投影的平衡微分方程 Fx 0 ,
No
得
σ x x y y x z zxfx 0, (x ,y ,z). (c )
No
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σx σ yx zx xy σy σ zy 0,
xz yz σz σ
Image 展开，即得求主应力的方程, σ 3 ( σ x σ y σ z ) σ 2 ( σ y σ z σ z σ x σ x σ y y 2 z z 2 x x 2 y ) σ
(σ x σ y σ z σ xy 2 z σ yz 2 x σ zx 2 y 2yz zx) y0 . ( c )
Image 空间问题的平衡微分方程精确到三阶 微量 (dxdydz)。
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第七章空间问题的基本理论
思考题 z
No 在图中，若点 o的x向正应力分
B
量为 σ x ，试表
Image 示点 A,B 的x向 正应力分量。
dz
dy
y
o dx
A
x
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第七章空间问题的基本理论
斜面应力
§7-2 物体内任一点的应力状态
No
将式(a)改写为：
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(σ x σ)l yxm xyl (σ y σ)m
zx zy
n0, n0,
xzl yzm(σ z σ )n0。
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第七章空间问题的基本理论
求主应力
上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l ,
m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得
第七章空间问题的基本理论
No
第一节 平衡微分方程
第二节 物体内任一点的应力状态
Image
第三节 主应力 最大与最小的应力 第四节 几何方程及物理方程
第五节 轴对称问题的基本方程
例题
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第七章空间问题的基本理论
第七章 空间问题的基本理论
No
在空间问题中，应力、形变和位移等基本
知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。
( lσ x m y x n z x ) s fx,( x ,y ,z ).( 在 S σ 上 )( d )
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第七章空间问题的基本理论
注意:
No
式(b), (c) 用于V内任一点，表示斜面应 力与坐标面应力之间的关系；
Image 式(d)只用于s σ 边界点上，表示边界面 上的面力与坐标面的应力之间的关系，所 以必须将边界面方程代入式(d)。
( x ,y ,z ) . ( a ) No
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第七章空间问题的基本理论
n n
2. 求 p(σn,n)
将 p(px,py,pz)向法向 n 投影，即得
No
σnlpxmypnzp
l 2 σ x m 2 σ y n 2 σ z 2 m n y z 2 n lz x 2 l m x y. ( b )
Image 由 p2px 2p2 ypz 2 σn 2n 2, 得 n 2p x 2 p y 2 p z 2 σ n 2 . (c )
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第七章空间问题的基本理论
n n
No
从式(b)、(c )可见, 当六个坐标面上的 应力分量确定之后，任一斜面上的应力也
就完全确定了。
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第七章空间问题的基本理论
应力主向
3.应力主向
No
设主应力 σ 1 的主向为 l1,m1,n1。代入式 (a)中的前两式，整理后得
第七章空间问题的基本理论
应力边界条件
3. 在 s σ 上的应力边界条件
No 设在 s σ 边界上，给定了面力分量 fx, fy, fz, 则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜 面与边界重合。斜面应力分量 (px, py, pz) 应
Image 代之为面力分量(fx,fy,fz)，从而得出空间 问题的应力边界条件:
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第七章空间问题的基本理论
px py pz
1. 求 p(px,py,pz)
No 取出如图的包含斜面 的微分四面体，斜面面积 为ds, 则x面，y面和z面的
面积分别为lds,mds,nds。
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由四面体的平衡条件 F x 0 (x ,y ,z)，
得出坐标向的应力分量,
p x l σ x m y x n z x,
Image 空间问题的基本方程，边界条件，以及 按位移求解和按应力求解的方法，都是与 平面问题相似的。因此，许多问题可以从
平面问题推广得到。
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第七章空间问题的基本理论
平衡条件
§7-1 平衡微分方程
No
取出微小的平行六面体，dvdxdydz，
考虑其平衡条件:
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Fx 0,
Mx 0,
No
在空间问题中，同样需要解决：由直
Image 角坐标的应力分量
σ
…
x
… yz，来求出斜面
(法线为 ）n上 的应力。
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第七章空间问题的基本理论
斜面应力
斜面的全应力p 可表示为两种分量形式：
No p沿坐标向分量: p(px, py, pz).
Image p沿法向和切向分量: p(σn,n).
第七章空间问题的基本理论
lσx myx nzx lσ,
No
mσy nzy lxy mσ,
nσz
lxz
myz
nσ.
(a)
考虑方向余弦关系式，有
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l2m2n21.
(b)
结论：式(a) , (b)是求主应力及其方
向余弦的方程。
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第七章空间问题的基本理论
求主应力
2. 求主应力 σ
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第七章空间问题的基本理论
斜面应力
§7-3 主应力 最大与最小的应力
No 1.假设 n面 (l , m , n)为主面，则此斜面上 n0, pσnσ . 斜面上沿坐标向的应力分量为：
Image p x l, p y m , p z n.
代入 px, py, pz , 得到：
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Image 因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向， 量纲均为L，所以 x , y , z 坐标具有对等性，
其方程也必然具有对等性。因此，式(a)的
其余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。 No Image
第七章空间问题的基本理论
平衡微分方程
由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，
No
Mx 0，yz zy ， (x, y , z) 。 (d)