数列知识点和常用解题方法归纳总结

数列知识点及常用解题方法归纳总结
一、 等差数列的定义与性质
() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ⇔=+2
()()前项和n S a a n na
n n d n n =
+=+
-112
12
{}性质：是等差数列a n
（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+
{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232--
（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则
；421
21
a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52
a S an bn a
b n n n ⇔=+
0的二次函数）
{}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2
项，即：
当，，解不等式组可得达到最大值时的值。

a d a a S n n n n 11000
><≥≤⎧⎨
⎩+
当，，由可得达到最小值时的值。

a d a a S n n n n 11
000
0<>≤≥⎧⎨⎩+
{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123
（由，∴a a a a a n n n n n ++=⇒==----12113331
()又·，∴S a a a
a 3132
22
3311
3
=
+===
()()∴·S a a n a a n n
n n n =
+=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-121221312
18 ∴=n 27） 二、等比数列的定义与性质 定义：
（为常数，），a a q q q a a q n n
n n +-=≠=1
110 等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ⇒==±2
()
前项和：（要注意）n S na q a q q
q n n ==--≠⎧⎨⎪
⎩⎪
111111()()!
{}性质：是等比数列a n
（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+= （），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 三、求数列通项公式的常用方法
1、公式法
2、n n a S 求由；（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--12111
3、求差（商）法
{}如：满足
……a a a a n n n n 12121
2251122+++=+<>
解：n a a ==⨯+=11
22151411时，，∴
n a a a n n n ≥+++=-+<>--212121
2
215
212211时，……
<>-<>=12122得：n n a ，∴a n n =+21
，∴a n n n n ==≥⎧⎨⎩
+141221()()
［练习］
{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +=
=++1115
3
4 （注意到代入得：
a S S S S n n n n n
+++=-=111
4 {}又，∴是等比数列，S S S n n n
144==
n a S S n n n n ≥=-==--234
11
时，……·
4、叠乘法
{}例如：数列中，，
，求a a a a n
n a n n n n 1131
==++ 解：
a a a a a a n n a a n
n n n 213211122311
·……·……，∴-=-= 又，∴a a n
n 133
==
5、等差型递推公式
由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()
n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=⎫
⎬⎪
⎪
⎭
⎪⎪-22321321时，…………两边相加，得：()()()
a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() ［练习］
{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 11
1132==+≥--
()
（）a n n
=
-12
31 6、等比型递推公式
()
a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1
()⇒=+--a ca c x n n 11
令，∴()c x d x d c -==-11
∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d
c c n +
-⎧⎨⎩
⎫⎬⎭+-11
1
∴·a d c a d c c n n +
-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111
∴a a d c c d
c n n =+
-⎛⎝
⎫⎭⎪---1111
［练习］
{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+
（）a n n =-⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
+-84311
7、倒数法
例如：，，求a a a a a n n n n 11122==
++ ，由已知得：1
221211a a a a n n n n
+=+=+
∴
111
21
a a n n +-
= ， ∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭
=111121a a n 为等差数列，，公差为 ()()∴
=+-=+11112121a n n n · ，∴a n n =+21
三、 求数列前n 项和的常用方法
1、公式法：等差、等比前n 项和公式
2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

{}
如：是公差为的等差数列，求
a d a a n k k k n
1
1
1+=∑ 解：()()由
·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-⎛⎝ ⎫
⎭
⎪≠
∴11111111a a d a a k k k n
k k k n
+=+=∑∑=-⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤
⎦⎥=-⎛⎝ ⎫⎭
⎪++11111111111223111d a a a a a a d a a n n n ……
［练习］ 求和：…………111211231123+
++++++++++n
（…………，）a S n n n ===-+21
1
3、错位相减法：
{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n
{}和，可由求，其中为的公比。

S qS S q b n n n n -
如：……S x x x nx
n n =+++++<>-12341231
()x S x x x x n x nx n n n ·……=+++++-+<>-234122341
()<>-<>-=++++--121121
：……x S x x x
nx n n n ()()
x S x x nx x
n
n
n
≠=---
-11112
时，
()x S n n n n ==++++=
+112312
时，……
4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++⎫⎬⎪
⎭
⎪--121121…………相加
()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-………… ［练习］
已知，则f x x x f f f f f f f ()()()()()=+++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=
22
11212313414
（由f x f x x x x x x x x ()+⎛⎝ ⎫
⎭⎪=
++⎛⎝ ⎫⎭
⎪+⎛⎝ ⎫
⎭
⎪=+++=1111111112
2
2
2222 ∴原式=++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭
⎪⎡⎣⎢⎤⎦
⎥f f f f f f f ()()()()1212313414
=
+++=12111312）
例1设{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则数列{a n }前8项的和为（ ）
A ．128
B ．80
C ．64
D ．56 （卷第3题）
略解：∵ a 2 +a 7= a 1+a 8=16，∴{a n }前8项的和为64，故应选C ．
例2 已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A ．64
B ．81
C ．128
D ．243 （全国Ⅰ卷第7题）
答案：A ．
例3 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ）
A ．30
B ．45
C ．90
D ．186 （卷第7题）
略解：∵a 5-a 2=3d=9，∴ d=3，b 1=26a =，b 5=a 10=30，{}n b 的前5项和等于90，故答案是C ．
例4 记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．7 （卷第4题） 略解：∵422412,3S S S d d --===,故选B. 例5在数列{}n a 中，5
42
n a n =-
，212n a a a an bn +++=+，*n N ∈,其中,a b 为
常数，则ab = ．（卷第15题）
答案：－1．
例6 在数列{}n a 中，12a =， 11
ln(1)n n a a n
+=++，则n a =（ ）
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++（卷第5题） 答案：A ．
例7 设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = ___________．（卷第16题）
此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口．
略解：∵112,1n n a a a n +==++ ∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，
()2331n n a a n --=+-+，
，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+．将以上各式相
加，得()()()123211
n a n n n n =-+-+-+++++⎡⎤⎣⎦()()11112
2
n n n n n -+=++=+，故
应填
(1)
2
n n ++1． 例8 若(x +12x
)n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x 4
项的系数为
( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 (卷第10题) 答案：B ．
使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题．例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．卷第1题，卷第4题，卷第
4题，卷第4题，卷第14题，全国Ⅱ卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习．
例9 已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=11n a +）（n ∈N*）在函数y =x 2
+1
的图象上. (Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式； (Ⅱ)若数列｛b n ｝满足b 1=1，b n +1=b n +2n a
，求证：
b n ·b n +2＜b 2n +1. （卷第20题） 略解：（Ⅰ）由已知，得a n +1-a n =1，又a 1=1,所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n =1+(n -1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，a n =n ，从而b n +1-b n =2n ，b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+…+（b 2-b 1）+b 1=2n -1+2n -2
+…
+2+1=2n
-1．∵. b n •b n +2-b 21+n =(2n
-1)(2n +2
-1)-(2n+1
-1)2
= -2n
＜0, ∴ b n ·b n +2＜b 21+n ．
对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明：
∵ b 2=1,b n ·b n +2- b 21+n =(b n +1-2n
)(b n +1+2n +1
)- b 21+n =2n +1
·b n +1-2n
·b n +1-2n
·2n +1
＝2n
（b n +1-2n +1
）
=2n （b n +2n -2n +1）=2n （b n -2n ）=…=2n （b 1-2）=-2n <0，∴ b n -b n +2<b 2
n +1.
例10 在数列{}n a 中，11a =，122n
n n a a +=+．（Ⅰ）设1
2
n
n n a b -=
．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．（全国Ⅰ卷第19题）
略解：（Ⅰ）1n n b b +-=1122n n n n a a +--=122n n n
a a +-=22n
n =1，则{}n b 为等差数列，11b =， n b n =，12n n a n -=．
（
Ⅱ
）
0121
1222(1)22n n n S n n --=++
+-+，12121222(1)22n n
n S n n -=++
+-+．
两
式
相
减
，
得
01121222221n n n n n S n n -=---
-=-+=(1)21n n -+．
对于例10第（Ⅰ）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数．可以用迭代法，但不可由b 2-b 1=1，b 3-b 2=1等有限个的验证归纳得到{}n b 为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误．第（Ⅱ）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很
高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n 项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示．
例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有卷第18题，卷第19题，卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主．
例11 等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，
{}n b 为等比数列, 11b =，且2264,b S =33960b S =．(Ⅰ)求n a 与n b ； (Ⅱ)求和：
12
11
1n
S S S +++
．（卷第19题） 略解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，依题意有222
33(6)64,
(93)960.
S b d q S b d q =+=⎧⎨=+=⎩解之，得2,8;d q =⎧⎨=⎩或6,
540.
3d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(舍去，为什么？)故132(1)21,8n n n
a n n
b -=+-=+=．
（
Ⅱ
）
35(21)(2)
n S n n n =++
++=+，∴
12
11
11111132435
(2)n S S S n n +++
=++++
⨯⨯⨯+111111(1232435
=-+-+-+11)2n n +-+1111
(1)2212
n n =+--++32342(1)(2)n n n +=-
++． “裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法．
使用解答题形式考查数列的试题，其容还往往是一般数列的容，其方法是研究数列通项及前n 项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度．数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用．
例12 设数列{}n a 的前n 项和为22n
n n S a =-，（Ⅰ）求14,a a ；（Ⅱ）证明： {}
12n n a a +-是等比数列；（Ⅲ）求{}n a 的通项公式．（卷第21题）
略解：（Ⅰ）∵1111,22a S a S ==+，所以112,2a S ==．由22n n n a S =+知，
1
1122n n n a S +++=+
1
12n n n a S ++=++得，
1
12n n n a S ++=+ ①∴
222122226,8a S S =+=+==，
3332328216,24
a S S =+=+==，
443240a S =+=．
（Ⅱ）由题设和①式知，()()
11222n n n n n n a a S S ++-=+-+122n n +=-2n =，∴
{}12n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅲ）
()()()21112211222222n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-+()112n n -=+⋅
此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等．推移脚标，两式相减是解决含有n S 的递推公式的重要手段，使其转化为不含n S 的递推公式，从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．
例13 数列{}n a 满足,2,021==a a 2
22(1cos
)4sin ,1,2,3,,
22
n n n n a a n ππ+=++=（I ）求43,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；（II ）设1321k k S a a a -=++
+，
242k k T a a a =++
+， 2(2k
k k
S W k T =
∈+)N *，求使1k W >的所有k 的值，并说明理由．（卷第20题）
略解：（I ）
2
2
311(1cos )4sin 44,
2
2
a a a π
π
=++=+=22422(1cos )4sin 24,
a a a ππ=++==一般地, 当21()n k k N *
-∈=时，
2
2212121(21)(21)[1cos
]4sin 4,22
k k k k k a a a ππ
+----=++=+即2121 4.k k a a +--= 所以数列{}21k a -是首项为0、公差为4的等差数列，因此214(1).k a k -=-当
2()n k k N *∈=时，2
2222222(1cos )4sin 2,22
k k k k k a a a ππ
+=++=所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k
k a =故数列{}n a 的通项公式为
22(1),21(),2,2().
n n n n k k N a n k k N **⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩
（II ）由（I ）知，
1321
k k S a a a -=+++=
044(1)2(1),
k k k +++-=-242k k
T a a a =+++2122222,k k +++
=-1
2(1)
.22
k k k k S k k W T --=
=+ 于是，10,W =21,W =33,2W =
43,2W =55,4W =61516
W =. 下面证明: 当6k ≥时， 1.k W <事实上, 当6k ≥时，
11(1)(1)(3)0,222k k k k k
k k k k k k W W +-+---=
-=<即1.k k W W +<又61,W <所以当6k ≥时，1.k W <故满足1k W >的所有k 的值为3,4,5.
数列知识点回顾
第一部分：数列的基本概念 1．理解数列定义的四个要点
⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．
⑵在数列中同一个数可以重复出现．
⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．
⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．
2．数列的通项公式
一个数列{ a n }的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系，如果用一个公式a n =)(n f 来表示，就把这个公式叫做数列{ a n }的通项公式。

若给出数列{ a n }的通项公式，则这个数列是已知的。

若数列{ a n }的前n 项和记为S n ，则S n 与
a n 的关系是：a n =⎩⎨⎧≥-=-2.1,
11n S S n S n n。

第二部分：等差数列
1．等差数列定义的几个特点：
⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = a n －a 1-n (n ≥2)或d = a 1+n －a n (n ∈N +)．
⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意n ∈N +，a n －a 1-n = d (n ≥2)或d = a 1+n －a n 都成立．一般采用的形式为：
① 当n ≥2时，有a n －a 1-n = d (d 为常数)． ②当n +∈N 时，有a 1+n －a n = d (d 为常数)． ③当n ≥2时，有a 1+n －a n = a n －a 1-n 成立．
若判断数列{ a n }不是等差数列，只需有a 3－a 2≠a 2－a 1即可． 2．等差中项
若a 、A 、b 成等差数列，即A=
2b a +，则A 是a 与b 的等差中项；若A=2b
a +，则a 、A 、
b 成等差数列，故A=2
b
a +是a 、A 、
b 成等差数列，的充要条件。

由于
a n =
2
1
1-++n n a a ，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。

3．等差数列的基本性质 ⑴公差为d 的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d ．
⑵公差为d 的等差数列，各项同乘以常数k 所得数列仍是等差数列，其公差为kd ．
⑶若{ a n }、{ b n }为等差数列，则{ a n ±b n }与{ka n ＋b}(k 、b 为非零常数)也是等差数列．
⑷对任何m 、n +∈N ，在等差数列{ a n }中有：a n = a m + (n －m)d ，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
⑸、一般地，如果l ，k ，p ，…，m ，n ，r ，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a n }为等差数列时，有：a l + a k + a p + … = a m + a n + a p + … ．
⑹公差为d 的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k 为取出项数之差)．
⑺如果{ a n }是等差数列，公差为d ，那么，a n ，a 1-n ，…，a 2、a 1也是等差数列，其公差为－d ；在等差数列{ a n }中，a l m +－a l = a k m +－a k = md ．(其中m 、k 、l ∈+N )
⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
⑼当公差d ＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d ＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d ＝0时，等差数列中的数等于一个常数．
⑽设a l ，a m ，a n 为等差数列中的三项，且a l 与a m ，a m 与a n 的项距差之比
n m m
l --=λ（λ≠－1），则a m =λ
λ++1n l a a ． 4．等差数列前n 项和公式S n =
2)(1n a a n +与S n = na 1＋
d n n 2
)
1(-的比较
5．等差数列前n 项和公式S n 的基本性质
⑴数列{ a n }为等差数列的充要条件是：数列{ a n }的前n 项和S n 可以写成S n = an 2+ bn 的形式(其中a 、b 为常数)．
⑵在等差数列{ a n }中，当项数为2n (n ∈N *)时，S 偶－S 奇= nd ，
偶
奇S S =
1
+n n
a a ；当项数为(2n －1) (n +∈N )时，S 偶－S 奇= a n ，
偶
奇S S =
1
-n n
． ⑶若数列{ a n }为等差数列，则S n ，S n 2－S n ，S n 3－S n 2，…仍然成等差数列，公差为d n 2．
⑷若两个等差数列{ a n }、{ b n }的前n 项和分别是S n 、T n (n 为奇数)，则
n n
T S =2
1
21
++n n b a ． ⑸在等差数列{ a n }中，S n = a ，S m = b (n ＞m)，则S n m +=m
n m
n -+(a －b)． ⑹等差数列{a n }中，n S n 是n 的一次函数，且点（n ，n S n ）均在直线y =2
d x + (a 1－
2
d
)上． ⑺记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．①若a 1＞0，公差d ＜0，则当a n ≥0且a 1+n ≤0时，S n 最大；②若a 1＜0 ，公差d ＞0，则当a n ≤0且a 1+n ≥0时，S n 最小．
第三部分：等比数列
1．正确理解等比数列的含义
⑴q 是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q =
n
n a a 1+ (n +∈N )
或q =
1
-n n
a a (n ≥2)．
⑵由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q 也不为0．
⑶要证明一个数列是等比数列，必须对任意n +∈N ，n n a a 1+= q ；或1
-n n a a
= q (n
≥2)都成立．
2．等比中项与等差中项的主要区别
如果G 是a 与b 的等比中项，那么a G =G
b
，即G 2= ab ，G =±ab ．所以，
只要两个同号．．
的数才有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果A 是a 与b 的等差中项，那么等差中项A 唯一地表示为A=
2
b
a +，其中，a 与
b 没有同号．．
的限制．在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同．
3．等比数列的基本性质
⑴公比为q 的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q m ( m 为等距离的项数之差)．
⑵对任何m 、n +∈N ，在等比数列{ a n }中有：a n = a m · q m n -，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．
⑶一般地，如果t ，k ，p ，…，m ，n ，r ，…皆为自然数，且t + k ，p ，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a n }为等比数列时，有：a t ．a k ．a p ．… = a m ．a n ．a p ．… ．．
⑷若{ a n }是公比为q 的等比数列，则{| a n |}、{a 2n }、{ka n }、{
n
a 1
}也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q 2}、{q}、{
q
1
}． ⑸如果{ a n }是等比数列，公比为q ，那么，a 1，a 3，a 5，…，a 12-n ，…是以q 2为公比的等比数列．
⑹如果{ a n }是等比数列，那么对任意在n +∈N ，都有a n ·a 2+n = a 2n ·q
2
＞0．
⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．
⑻当q ＞1且a 1＞0或0＜q ＜1且a 1＜0时，等比数列为递增数列；当a 1＞
0且0＜q＜1或a
1
＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列．
4．等比数列前n项和公式S
n
的基本性质
⑴如果数列{a
n
}是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是
S
n =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠
-
-
=
.
1
,
1
)
1(
,
1
,
1
1
时
当
时
当
q
q
q
a
q
na
n
也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函
数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q≠1进行讨论．
⑵当已知a
1，q，n时，用公式S
n
=
q
q
a n
-
-
1
)
1(
1；当已知a
1
，q，a
n
时，用
公式S
n =
q
q
a
a
n
-
-
1
1．
⑶若S
n 是以q为公比的等比数列，则有S
m
n+
= S
m
＋qS
n
．⑵
⑷若数列{ a
n }为等比数列，则S
n
，S
n2
－S
n
，S
n3
－S
n2
，…仍然成等比数
列．
⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S
1与T
1
，次
n项和与次n项积分别为S
2与T
2
，最后n项和与n项积分别为S
3
与T
3
，则S
1
，
S
2，S
3
成等比数列，T
1
，T
2
，T
3
亦成等比数列．
二、难点突破
1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一
定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．
3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{ a
n }与a
n
是不同的，前者表示
数列a
1，a
2
，…，a
n
，…，而后者仅表示这个数列的第n项；⑵数列a
1
，a
2
，…，
a
n ，…，与集合{ a
1
，a
2
，…，a
n
，…，}不同，差别有两点：数列是一列有序
排布的数，而集合是一个有确定围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．
4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：
⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S ，则通常设…，aq 2-， aq 1-， a ，aq ，aq 2，…；
⑵对连续偶数个项同号．．的等比数列，若已知其积为S ，则通常设…，aq 3-， aq 1-， aq ，aq 3，…．
5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a n ≠0，因为当a n = 0时，虽有a 2n = a 1-n · a 1+n 成立，但{a n }不是等比数列，即“b 2= a · c ”是a 、b 、 c 成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{a n }，“2b = a + c ”是a 、b 、 c 成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．
6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n 项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q ≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．
数列基础知识定时练习题
（满分为100分+附加题20分，共120分；定时练习时间120分钟）
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列四个数中，哪一个是数列{)1(+n n }中的一项 （ ）
（A ）380 （B ）39 （C ）35 （D ）23 2．在等差数列}{n a 中，公差1=d ，8174=+a a ，则20642a a a a ++++ 的值为（ ） （A ）40 （B ）45 （C ）50 （D ）55 3．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套
书的年份是（ ）
（A ）1997 （B ）1999 （C ）2001 （D ）2003 4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且
中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ）
（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6 5．已知1是2a 与2b 的等比中项，又是
a 1与
b 1的等差中项，则22b
a b
a ++的值是（ ） （A ）1或2
1 （B ）1或2
1- （C ）1或31 （D ）1或3
1- 6．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d 的取值围是（ ）
（A ）3
8
>d （B ）3<d （C ）3
8≤3<d （D ）d <3
8≤3 7．如果-1，a,b,c ,-9成等比数列，那么（ ）
（A ）b =3,ac =9
(B)b =-3,ac =9 (C)b =3,ac =-9 (D)b =-3,ac =-9
8．在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于（ ） A.40 B.42 C.43 D.45
9．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A.5
B.4
C. 3
D. 2
10．若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a =（ ）
A ．4
B ．2
C ．－2
D ．－4
11．在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 = （ ） A. 81 B. 27527 C. 3 D. 243 12． 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ）
(A)1
2
2n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -
【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。

13．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=
（ ）
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75 14．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
15．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6
S 12
＝ （ ）
（A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）1
9
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上） 1．在数列}{n a 中，1
1++=
n n a n ，且9=n S ，则=n ．
2．等比数列}{n a 的前三项为x ，22+x ，33+x ，则=4a
3． 若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21 . 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，S 10－7S ＝30，则S 9＝ . 5．在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 。

三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 1．已知{}n a 为等比数列，32420
2,3
a a a =+=
，求{}n a 的通项式。

2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，481,17,?n S S a ===求通项公式
3． 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2
+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n .
4．数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T
本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。

满分12分。

1. A
2.B
3.D
4.C
5.D
6.D
7.B
解：由等比数列的性质可得ac ＝（－1）×（－9）＝9，b ×b ＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3，选B 8.B
解：在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=∴ d=3，a 5=14，456a a a ++=3a 5=42，选B. 9.C 解：330
25515
20511=⇒⎩⎨
⎧=+=+d d a d a ，故选C. 10. D
解：由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 11.A 解：因为数列｛a n ｝是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝ （a 2a 9）（a 3a 8）（a 4a 7）（a 5a 6）＝（a 1a 10）4
＝34
＝81，故选A 12.C
【解析】因数列{}n a 为等比，则1
2n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，
则
22121122212
(1)(1)(1)22(12)01
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=
即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。

13.B
【解析】{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则2
5a =，
13(5)(5)16a a d d =-+=，∴ d=3，1221035a a d =+=，111213a a a ++=105，选
B.
14. D
【解析】n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若74735,S a == ∴ 4a =5，选 D. 15.A
解析:由等差数列的求和公式可得
31161331,26153
S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以
6112161527312669010
S a d d S a d d +===+,故选A 二、填空题 1. 99 2. 2
27-
3. 解：数列{}n a 满足：111,2, 1n n a a a n +===，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，
∴ =
+++n a a a 2121
2121
n n -=--. 4.解：设等差数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，由题意得,142
)
14(441=-+
d a 30]2)17(77[]2)110(1010[11=-+--+d a d a ，联立解得a 1=2,d=1，所以S 9＝5412
)
19(929=⋅-+⨯
5.解：由12(1)n n a a n +=+≥可得数列{}n a 为公差为2的等差数列，又11a =，所以n a =2n －1 三、解答题
1.解: 设等比数列{a n }的公比为q, 则q≠0, a 2=a 3q = 2
q , a 4=a 3q=2q
所以 2q + 2q=203 , 解得q 1=1
3
, q 2= 3,
当q 1=13, a 1=18.所以 a n =18×(13)n －1=183
n －1 = 2×33－n
.
当q=3时, a 1= 29 , 所以a n =29
×3n－1=2×3n －3
.
2.解：设{}n a 的公比为q ，由481,171S S q ==≠知，所以得
41(1)
11a q q -=-…① 81(1)171a q q -=-……②由①、②式得整理得841
171
q q -=-解得416q =
所以 q ＝2或q ＝－2
将q ＝2代入①式得1115a =，所以1215
n a -=
将q ＝－2代入①式得115a =-，所以1
(1)25
n n n a --⨯=
3.解析：解: ∵10S n =a n 2
+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12
+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3． 又10S n －1=a n －12
+5a n －1+6(n ≥2)，②
由①－②得 10a n =(a n 2
－a n －12
)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)．
当a 1=3时，a 3=13，a 15=73． a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时，a 3=12， a 15=72， 有a 32
=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3．
附加题 解: 引入字母,转化为递归数列模型.
设第n 次去健身房的人数为a n ，去娱乐室的人数为b n ，则150=+n n b a .
3010
7
30107)150(102109102109111111+=+=-+=+=
∴------n n n n n n n n a a a a a b a a 即. )100(1071001-=
-∴-n n a a ，于是11)10
7
)(100(100--=-n n a a 即 )100()10
7(10011-⋅+=-a a n n .
100lim =∴∞
→n n a .故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.
4.解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得
()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥
又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列
∴1
3n n a -=
（Ⅱ）设{}n b 的公差为d
由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+
又1231,3,9a a a ===
由题意可得()()()2
515953d d -+++=+ 解得122,10d d ==
∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴()213222n n n T n n n -=+⨯=+。