高数下册期末试题 (1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
一、单选题(共15分,每小题3分)
1.设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ,00(,)y f x y 都存在,则 ( )
A .(,)f x y 在P 连续
B .(,)f x y 在P 可微
C . 0
0lim (,)x x f x y →及 0
0lim (,)y y f x y →都存在 D .
00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y →存在
2.若x y z ln =,则dz 等于( ).
ln ln ln ln .x x y y y y
A x y +
ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x
y y C y
ydx dy x + ln ln ln ln .x x y y y x
D dx dy x y
+
3.设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域,则(),,(=⎰⎰⎰Ω
dxdydz z y x f )
. 21
2
00
cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz
π
θ
θθθ⎰
⎰
⎰
21
2
cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π
θ
θθθ⎰
⎰
⎰
21
2
2
cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz
π
θ
πθθθ-⎰⎰
⎰
21
cos .(cos ,sin ,)x
D d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰
⎰
4. 4.若
1
(1)
n
n n a x ∞
=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( ).
A . 条件收敛
B . 绝对收敛
C . 发散
D . 敛散性不能确定
5.曲线22
2
x y z z x y
-+=⎧⎨
=+⎩在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1)
二、填空题(共15分,每小题3分)
1
.
设
2x y x y z
+-=,则'(
1,1)x z = .
2.交 换ln 1
(,)e x
I dx f x y dy =
⎰⎰
的积分次序后,I =_____________________.
3.设22z xy u -=,则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .
4. 已知
0!
n
x
n x e n ∞
==∑,则
x xe -= .
5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 .
三、解答题(共54分,每小题6--7分)
1.(本小题满分6分)设arctan y z y x =, 求z x ∂∂,z y
∂∂.
2.(本小题满分6分)求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程,并求切点处的法线方程
3. (本小题满分7分)求函数2
2
z x y =+在点(1,2)
处沿向量12l i j = 方向的方向导
数。
4. (本小题满分7分)将x
x f 1
)(=展开成3-x 的幂级数,并求收敛域。
5.(本小题满分7分)求由方程088222
2
2
=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极值。
6.(本小题满分7分)计算二重积分1
,1,1,)(222
=-=--=+⎰⎰y y y x D d y x
D
由曲线σ及2-=x 围成.
7.(本小题满分7分)利用格林公式计算⎰
-L
x y x y xy d d 22,
其中L 是圆周222a y x =+(按逆时针方向).
8.(本小题满分7分)计算
⎰⎰⎰Ω
z y x xy d d d ,其中Ω是由柱面12
2=+y x 及平面
0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域.
.
四、综合题(共16分,每小题8分)
1.(本小题满分8分)设级数1
1
,n n
n n u v
∞
∞
==∑∑都收敛,证明级数
2
1
()n n
n u
v ∞
=+∑收敛。
2.(本小题满分8分)设函数),(y x f 在2
R 内具有一阶连续偏导数,且
2f
x x
∂=∂,
证明曲线积分
2(,)L
xydx f x y dy +⎰
与路径无关.若对任意的t 恒有
(,1)
(1,) (0,0)
(0,0)
2(,)2(,)t t xydx f x y dy xydx f x y dy +=+⎰
⎰
,求),(y x f 的表达式.
参考答案及评分标准
一、单选题(共15分,每小题3分):1.C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题(共15分,每小题3分) 1.-1 2. I =
10
(,)y
e
e dy
f x y dx ⎰⎰
3. →
→
→
-+-k j i 242 4 1
(1)!n n n x n +∞
=-∑ 5. (2,2)
三、解答题(共54分,每小题6--7分)
1.解:2
2
2
y x y x z +-=∂∂; (3分) y
z ∂∂=x y arctan +22y x xy + ( 6分).
2. 解:记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =
满足:
000
23232
x y z ==- ,切点为:(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分),切平面:23299x y z or -+=- ( 4分), 法线方程分别为:112232x y z +-+==-或者112
232
x y z -+-==- ( 6分) 3. 解:(1,2)(2,4)f ∇= ( 3分),
(1,2)
1f l
∂=+∂ ( 7分) 4. 解:)3(31
)(-+=
x x f =)3
3(1131-+⋅x , ( 2分)
因为
∑∞
=+=
-0
11
)1(n n n x
x ,)1,1(-∈x ,所以∑∞
=-⋅-=-+⋅0
)33(31)1()3
3(113
1n n n x x =∑∞=+--0
1)3()31()1(n n n n x ,其中1331<-<-x ,即