力学#形心与静矩

Centroid and static moment of section截面的形心和静矩 B.1

在杆件的应力和变形公式中，遇到一些几何量，例如面积、静矩、形心位置、极惯性矩和轴惯性矩

等，这些量只与构件的横截面形状和尺寸有关，而与构件的受力无关，称它们为截面的几何性质截面几何性质的计算在分析杆的强度和刚度时非常重要，首先应明确截面几何性质的定义，并熟练

地掌握其计算方法。形心与静矩1.

C，设截面形心图示任一截面，选任一参考坐标系yoz

，由合力矩定理可知，均质厚dAz，取微截面积的坐标为y和cc坐标系中的坐标为度薄板中面的形心、或该板的重心在yoz

）（B.1-1 ，

式中:，，分别定义为截面对z

轴和y轴的静矩。由公式（B.1-1）可知，当y轴和z轴通过截图B.1-1

面形心时（即y=z=0），则S=S=0；反之，当静矩S=0时，说zzccy明z轴通过截面形心；而当静矩S=0时，说明y轴通过截面形y心。此概念在确定梁的中性轴时十分有用。

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组合截面的形心与静矩2.

在工程实际中，经常遇到形状较为复杂的截面，它们由

。若干简单截面或标准型材组合而成，称为组合截面（图B.1-2）

n个部分，形心坐标为当确定它们的形心时，可将其分割成

（B.1-2）

，的形心在参考系中的坐为Az为分割后的各面积，y和式中A iiii标。图B.1-2

；，称为组合截面的静矩。式中

B.2 极惯性矩 Polar momet of inertia

1. 定义

任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在矢径为处取一微面积dA，定义

截面对原点O的极惯性矩为

（B.2-1）

4），它恒为正。mm次方（ 4极惯性矩的量纲为长度的 B.2-1 图

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2. 圆截面的极惯性矩

），（图图示圆截面，取微面积为一薄壁环，即B.2-2

）的极惯性矩分读者自行证明实心圆、空心圆和薄壁圆截面（图B.2-3 别为：

B.2-2）（

（ B.2-3）图B.2-2

）（B.2-4

式中，d—空心圆内径，D—空心圆外径，R—薄壁圆平均半径。0

图B.2-3

B.3 轴惯性矩 Second Axial moment of area and Parallel Axis Theory

1. 定义word

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），zA 任意形状的截面如图所示，设其面积为，在坐标为（y y，定义截面对dA处取一微面积和z轴的惯性矩为

B.3-1 ）（，4），恒为正。其量纲为长度的四次方（mm

，于是得出极惯性矩和轴惯性矩之间的关系为由于 B.3-1 图

）（B.3-

简单截面的轴惯性矩2.

的矩形，计算矩形截面对形心bh，宽为矩形：如图所示高为?，则的惯性矩。取dA=bdy轴z和y

B.3-3）（

同理得： B.3-2 图

）：B.3-2和z的惯性矩可借助公式（圆形：如计算圆截面对形心轴y?

对于圆截面：，代入上式得：

于是，实心圆、空心圆、薄壁圆截面的轴惯性矩分别为

B.3-4（）

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（）B.3-5

（ B.3-6）

—薄壁圆平均半径。—空心圆内径，D—空心圆外径，R式中，d0

平行轴间惯性矩的移轴公式3.对简单截面而言，它们对自身形心轴的惯性矩很

容易计算，如矩形、圆形、三角形等，并有现成表

为截面的一z所示，设y、格可查附录C，本节研究截面对任一根与形心轴平行之轴的惯性矩。如图B.3-300

和z的惯性矩为：对形心轴，如果截面对形心轴的惯性矩为和，则截面对任一平行于它的轴y

B.3-7）（，a为截面面积，）。式中（Parallel axis theoremA 上式称为惯性轴的移轴公式或称平行轴定理之间的垂直距离。z和z和和b分别为坐标轴yy以及00

：证明如下 z轴的惯性矩的定义，。根据面积对

，代入上式，得轴的垂直距离为距z y=y+b中微面积图B.3-3dA0

式中，故，同理得如为组合截面，则上式表示为

B.3-3 图

B.3-8（），word

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z轴的静矩和惯性矩：读者自行计算下图各截面对

图B.3-4

4. 例题试计算三角形截面对形心轴z的惯性矩。

解：三角形形心位于距底边1/3h处，取，式中可

由如下比例式求出：

，于是，得

图B.3-5图示截面，求对形心轴z和y的惯性矩。

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版．

解：截面对形心轴惯性矩应为矩形截面对形心轴惯性矩和圆形截面对形心轴惯

性矩之差，即：

，

图B.3-6

=z 试求I字形截面对形心轴的惯性矩I？z

图B.3-7

Product of inertia 惯性积B.4

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定义1.

，任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在坐标为（y

z和y，定义截面对z）处取一微面积dA轴的惯性积为

（B.4-1）

显然，惯性积根据截面在坐标系的不同象限有正负之别，其量纲

4)。是长度的四次方（mm B.4-1图

当坐标轴之一为截面的对称轴时，惯性积I=0

yz

图B.4-2 2. 惯性积的移轴公式word

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B.4-3），同样可以推导出它的移轴公式：惯性积和惯性矩一样（图

（B.4-2 ）

y分别为坐标轴a和b式中为截面对形心轴yz的惯性矩，000之间的垂直距离。和z和y以及z0如为组合截面，则上式表示为

图B.4-3

B.4-3）（

例题3.

轴的惯性矩。y、z 试计算图B.4-4所示截面对