复数的运算(一)..

2.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1, x2, 求x14+x24的值. 解: x1,2 1 i , 4 4 x1 x2 (1 i )4 (1 i )4 (2i )2 (2i )2 8. 注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用. 3.已知复数 x 2 x 2 ( x 2 3 x 2)i ( x R ) 是 4 20i
例2
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 .
复数的乘法与多项 解:原式= (6 4i 3i 2i )(1 3i ) 式的乘法是类似的. = (8 i )(1 3i ) 我们知道多项式的乘法用 2 乘法公式可迅速展开, 运算, 8 24 i i 3 i = 类似地,复数的乘法也可大胆 = 5 25i 例3.计算(a+bi)(a-bi) 运用乘法公式来展开运算. 解:原式= a 2 (bi )2 = a 2 b 2 一步到位! 注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点.
例1、计算(1－3i )+(2+5i) +(-4+9i)
解:原式= (1 2 4) (3 5 9)i = 1 11i
(a bi )(c di ) ac adi bci bdi
（ac bd ) (bc ad )i
2.复数的乘法法则：
2
3- i
有两种方法考虑 : 法一 :直接代入计算 . 2 法二 :由 x 1 2i 得 x 2 x 5 0
整体代入妙!
a bi (a bi ) (c di ) x yi ,那么 x ? , y ? c di 除法法则: a bi ac bd bc ad (a bi ) (c di ) 2 2 i 2 2 c di c d c d
的共轭复数，求x的值．
解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i ，根据复数相等的定义， 可得 x 2 x 2 4, x 3或x 2 解得 2 x 3或x 6 x 3 x 2 20. 所以 x 3 ．
练习 2:
1.计算:(1+2 i )2
1 3 6.已知 z i ,求 2 z 3 3 z 2 3 z 9 的值. 2 2
7.在复数集C内，你能将 x 2
3
y 分解因式吗？ (x+yi)(x-yi)
2
8
练习 3: 1.计算 (2 3i )(2 3i )
13
2. 已知 f ( x) x 3 2 x 2 5 x 2 ,则 f (1 2i ) =_____.2 3. 已知 (3 i ) z 10 ,则 z _____.
2
例2.计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i)
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.
复数 z=a+bi 的共轭复数记作
z, 即 z a bi
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么 z z
? zz ?
练习1 1.计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004; 解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-20022003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i.
2x 2x x 1 3 又如计算 = i x 1 2 2
3 2
选做作业: 1 3 1. ( i ) 的虚部是( A ) i (A) 8 (B) 8i (C) 8 (D)0 1 i 2007 ) ______ . 2.计算: ( 1 i (1 i )2 3(1 i ) 3.已知复数 z , 且 z 2 az b 1 i 2 i 1 (a、 b R ),则 a+b=_____.
由刚才的求商过程可以形式上写成(体会其中的过程):
a bi (a bi )(c di ) (a bi ) (c di ) c di (c di )(c di ) ac bd (bc ad )i ac bd bc ad i 2 2 2 2 2 2 c d c d c d
3 4i
2.计算(i-2)(1-2i)(3+4i) -20+15i 3.计算 (1 i )3 -2+2i 3- i . 4.若 z C 且 (3 z )i 1 ,则 z _____ 3 3 . m R 5.已知 且 (m Baidu Nhomakorabea i ) R ,则 m _____
分母实数化
例 1.计算 (1 2i ) (3 4i ) 先写成分式形式 解: (1 2i ) (3 4i ) 1 2i 然后分母实数化 3 4i 即可运算.(一般分子 (1 2i )(3 4i ) 分母同时乘以分母的 (3 4i )(3 4i ) 3 6i 4i 8i 2 共轭复数) 2 2 3 4 化简成代数形式 5 10i 1 2 i 就得结果. 25 5 5 练习.计算 1 i 2 1 1 ) ⑴ (7 i ) (3 4i ) ⑵( ⑶ 1 i 3 2i 3 2 i
练习
练习.1.计算 ⑴ (7 i ) (3 4i )
1 i 2 ) ⑵( 1 i 1 1 ⑶ 3 2i 3 2 i
1- i
-1
4 i 13
1 1 3 - 1 (整体代入法妙) _____. 2.若 x i ,则 2 x x 2 2
注 :复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、 化简等 .
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在 运算过程中把 i 2 换成－1，然后实、虚部分别合并. (3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律
即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z1 z2 z2 z1
,
( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ),