曲率半径与曲率(20200511214341)

曲率半径

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词条定义

____ 曲率半径解析

遵］编辑本段

词条定义

曲率的倒数就是曲率半径。

曲线的曲率。平面曲线的曲率就是是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

K=lim| △ a / △ s| △ s趋向于0的时候，定义k就是曲率。

曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度特殊的

如：一个圆上任一圆弧的曲率半径恰好等于圆的半径，也许可以这样理解：就是把那一段曲线尽可能的微分，直到最后近似一个圆弧，这个圆弧对应的半径吧，个人理解

比如说

曲率/曲率半径应用题

一飞机沿抛物线路径y=(xT)/10000 (y轴铅直向上，单位为m)作俯

冲飞行，在

坐标原点0处飞机的速度为v=200m/s。飞行员体重G=70kg。求飞机俯冲至最低点即原点0处时座椅对飞行员的反力。

解：

y=x A2/10000

y'=2x/10000=x/5000 y"=1/5000

要求飞机俯冲至原点0处座椅对飞行员的反力，令x=0,则：

y'=0

y"=1/5000

代入曲率半径公式p =1/k=[(1+y'A2)A(3/2)]/ I y" I =5000 米

所以飞行员所受的向心力F=mvA2/ p =70*200八2/5000=560 牛

得飞机俯冲至原点O处座椅对飞行员的反力

R=F+mg=560+70*9.8=1246N

编辑本段

曲率半径解析

在曲线上某一点找到一个和它内切的半径最大的圆，这个圆的半径就定义为曲率半径。

比如说：直线上每一点随便都能找个圆与它相切，那么称直线上的曲率半径无意义(或称无穷大)

而在圆上，每一点与它内切的圆就是其本身，故其曲率半径为其本身

的半径。

抛物线顶点曲率半径为焦距两倍

则椭圆曲率半径等于2mn/(m+n)cos a ,m,n分别为两焦距,a为入射角双曲线曲率

半径等于2mn/(m-n)cos a ,m,n分别为两焦距,a为入射角抛物线率半径等于

2n/cos a ,n为焦距或到准线距离，a为入射角

对于y=f(x),求导得y=g(x),再求导得y=h(x),(x 。，f(x。))对应的曲率半径等于(g(x)A2+1)A1.5/h(x)

曲率的倒数就是曲率半径。

曲线的曲率。平面曲线的曲率就是是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

K=lim| Aa / △ s|趋向于0的时候，定义k就是曲率。

曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度特殊的如：一个圆上任一圆弧

的曲率半径恰好等于圆的半径，也许可以这样理解：就是把那一段曲线尽可能的微分，直到

最后近似一个圆弧，这个圆弧对应的半径吧，个人理解

比如说

曲率/曲率半径应用题

一飞机沿抛物线路径y=(xA2)/10000 (y轴铅直向上，单位为m)作俯冲飞行，在

坐标原点0处飞机的速度为v=200m/s。飞行员体重G=70kg。求飞机俯冲至最

低点即原点O处时座椅对飞行员的反力。

解：

y=xA2/10000

y'=1/2x/10000=x/5000

y"=1/5000

要求飞机俯冲至原点0处座椅对飞行员的反力，令x=0,则：

y'=0

y"=1/5000

代入曲率半径公式p =1/k=[(1+y'A2)A(3/2)]/ I y" I =5000 米

所以飞行员所受的向心力F=mvA2/ p =70*200人2/5000=560 牛

得飞机俯冲至原点O处座椅对飞行员的反力

R=F+mg=560+70*9.8=1246N

曲率

科技名词定义

中文名称：

曲率

英文名称：

tortuosity

定义：

土壤孔隙的弯曲度。

所属学科：

土壤学（一级学科）；土壤物理（二级学科）

本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布

曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通

过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。

K=lim| △ a / △ s| , △ s趋向于0的时候，定义K就是曲率。

曲率的倒数就是曲率半径。

圆弧的曲率半径，就是以这段圆弧为一个圆的一部分时，所成的圆的半径。曲率半径越大，圆弧越平缓，曲率半径越小，圆弧越陡。曲率半径

的倒数就是曲率。曲率k =（转过的角度/对应的弧长）。当角度和弧长

同时趋近于0时，就是关于任意形状的光滑曲线的曲率的标准定义。而对于圆，曲率不随位置变化。

在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时便会产生曲率。这是由于时空扭曲造成的。结合广义相对论的等效原理，变速运动

的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。

曲率二4

弧微分公式*亦二J1 +严必其中h二增氐

平均曲率辰彳等卜处从M点到M点切线斜率的倾角变化墨As：磁弧长。皿点

的曲率：^=ljm M=M = -=^L.

山呵Aff | |^| ^（i+y3）3

直线’ K =fit

半径为拆的圆* K二丄，

上图已是实际尺寸

1 Itt念

来源：为了平衡曲线的弯曲程度。

平垓曲率F ■若，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。其卫△声表示曲线段AB上切线变化的角度，加为AB弧长。

例，对于圆，I等■签T 所叽圆周的曲率为召是常数。

而宜线上"・°,所以E・o,即直线“不弯曲”。

对于一个点，如A点.为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令即定义

疋他等曲护器为了方便使用，-般令曲率为正数,叭T気

2计算公式的推导：

由于上-|魁，所以要推导必'与ds的表示法，ds称为曲线弧长的傲分（T5-2& P218）

因太阿）2.心+$2,所以（警卜i +任卜

令W,同时用“代替丽得律「1 + （計

所以ds2 - dx2 + 矽或ds ■ 士 + ■ ±』（却 +（和）'

具体表示;

1、^=/U）时，ds = ±$+ 广（x）dx

2、兀=£心）,尹=久（）时，必=±』卅（0 +沪Q）dt

3、a，心时，ds ■士+ 02（国&护（令x ■ “cos

再推导〃，因为W所以妙"砂，两边对X求导，得奢着,推岀“=石如下面将"与ds代入上彳帥公式中：

Jl + ”Ux『3，即为曲率的计算公式。

（i*y2）5