中心极限定理

20 3 n 20 3 n 2 20 3 n 1 P X 1 X n 10 0.90 20 3 n 0.95 ，








查表得 20 3 n 1.645 ，所以 n 443 。 大约 443 个数相加时，误差总和的绝对值小于 10 的概率在 0.90 左右。也就是说， 被加数不超过 443 个时，可以有不小于 0.90 的概率保证取整误差总和的绝对值小 于 10。 **********************************************************
估计每辆车最多可以装98箱，才能保障不超载的概率大于0.977。 ********************************************************** 例 12.2.2（独立和的近似）计算机在进行加法运算时，对每个被加数取整，设所有 的取整误差是相互独立的，且它们都在 ( 0.5, 0.5) 上服从均匀分布，问大约多少个 数相加时，误差总和绝对值小于 10 的概率在 0.90 左右？ 解：设随机变量 X k 表示第 k 个被加数的取整误差，则由题设条件知， X 1 , X 2 , , X n 相互独立，且均服从 ( 0.5, 0.5) 上的均匀分布， 所以期望 E X k 0 ，方差 2 Var X k
P 保险公司1年中获利不小于10000元 P (30000 2000 X 10000) P (0 X 10) X ~ B(3000, 0.001) ， X np np(1 p) X 3000 0.001 3000 0.001(1 0.001) X 3 近似服从 N 0,1 1.7312

b a
1 2
e

x2 2
dx ，即 n 时， X ~ N np, np 1 p 。
考虑 n 个独立的 0 1 随机变量 X k ~ B 1, p ， k 1, , n ，则 X X 1 X 2 X n
E X k p ， Var X k p 1 p ， 所以 X ~ N np, np 1 p
2
第 11 周课中二项分布的正态近似，是最早发现的中心极限定理的结果。棣莫弗-拉 普拉斯定理是一个特殊的中心极限定理。
a b ， 棣莫弗-拉普拉斯定理 若 X ~ B n, p ， 则对任何两个常数 a 和 b ， lim P a n b np 1 p X np
X X 2 X n 50 n 5000 50n 5000 50n P X 1 X 2 X n 5000 P 1 5 n 5 n 5 n
1
5000 50 n 5000 50n 2 n 98.02 。 0.977 5 n 5 n
3
**********************************************************
4
********************************************************** 例12.2.1 一个生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均
重量50kg，标准差为5kg，若用最大载重量5吨的汽车运输产品，试用中心极限定理 估计每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977( 2 0.977 )。 解：设每箱的重量为随机变量 X ，则 E X 50 , Var X 5 2 ； 设一辆车所装各箱产品的重量依次为随机变量 X 1 , X 2 , X n ，则 X 1 , X 2 , X n 相互 独立且与 X 分布相同，所以 X 1 X 2 X n ~ N 50n,25n ,
大 数 定 律
12.2 中心极限定理
大数定律说明平均值与期望之间的偏差小于任意给定正的常数的概率趋于1。如果 有方差有限的条件，有下面更精细的结果。 中心极限定理（林德伯格-勒维Lindeberg-Levy）：设 X n 是独立同分布的随机变 量序列。如果其期望 E X 1 ，方差 Var X 1 2 ,则对每一个固定的 y 有
X 3 10 3 3 从而 P 0 X 10 P 1.7312 1.7312 1.7312 (4.043) (1.733) 1 1 (1.733) 0.96
即保险公司的这个项目 1 年中获利不小于 10000 元的概率大约可达到 0.96。
X X 2 X n n lim P 1 y y n n 1 2

y
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e

t2 2
dt 。
实际上，对独立同分布的随机变量序列 X n ，则
X1 X 2 X n ~ N E X 1 X 2 X n ,Var X 1 X 2 X n
E X 1 X 2 X n n ， Var X 1 X 2 X n n 2
2 X1 X 2 X n ~ N n , n ，标准化即得：


X 1 X 2 X n n n
~ N 0,1


********************************************************** 例 12.2.3 （二项分布的正态逼近） 在某一寿险公司中的一个项目有 3000 个同一年 龄的人参加人寿保险，在 1 年里，这些人的死亡率为 0.1%，参加保险的人在年初交 纳保险费 10 元， 若被保人在 1 年内死亡， 保险受益人可以从保险公司领取 2000 元， 求保险公司的这个项目 1 年中获利不小于 10000 元的概率。 解：设 1 年内死亡的人数为 X ，死亡的概率为 0.001，则 X ~ B(3000, 0.001) 。 保险公司这 1 年的收入为 30000 元，赔付 2000 X 元。
1 。 12
由题意，要确定满足 P X 1 X n 10 0.90 的 n . 由中心极限定理，
X 1 X n n n X1 X n n 1 12
近似服从 N 0,1 ，
10 n 12
X X n 因此， P X 1 X n 10 P 1 n 12