基于GARCH模型的波动率预测及应用

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基金项 目: 常州工学院科研基 金项 目( YN13 ) 0 0
作者简介 : 王献东( 9 0 18 一
)男 , , 硕士 , 讲师。
常州 工 学 院学报
21 0 1钲
收盘 价格 , 建立 了股 票 收益 波 动 率 的 G RC 1 A H( , 1模 型 , ) 并利 用 E iw . 件 进行 参 数 估 计 得 ve s 0软 6 到 了波 动率 的方 程 , 对波 动率 进行 预测 , 波 动 并 将 率 预测 值带 人 欧式看 涨期权 定 价公 式得 到期 权 的
定 价
假 设 股 票 的价 格 过 程 满 足 以下 随 机 微 分 方
程:
从而 , 只要 + <l就 有 : ,
2 f一 ) ( 当 f 。 时 一 。 () 7
由此可知 , 由方差方程式 ( ) 4 确定的无条件 方 差为 :

d S ( d +o B ) S = / t - z d
Fo e a to l tlt nd IsA p lc to s Ba e n GARCH o l r c s fVoa i y a t p ia i n s d o i M de
W ANG an— n Xi do g
( co l f c n e ,h n zo ntueo eh ooy, hn zo 102) Sh o i csC a gh uIstt fT cn lg C agh u2 30 oS e i Ab t a t Th p r s lc s dal r d l e p ie d t f Ch n er lu so k fo 2 0・ ・ 5 t s r c : e pa e e e t iy ta e cos rc ae o i a p to e m t c r m 01 - - o 01 1 2 一 — 7 t o tu tGARCH d lo he v a i t o e so k l g r tr By me ns o i ws s f— 01 O1 1 o c nsr c 1 mo e f t olt i l y f t t c o —e u n. a f Ev e o t h wa e, s m ae p r mee sa e b a n t e v ltl y e a o Th n we f rc s oltl y, d o r we e t t a a t r nd t n o t i o a i qu t n. e o e a tt v aii a b— i h h i t i he t n ri e Eu o a alo i n p i e a d t e c lu a o fVa ba e n v a l y f r c s fGARCH de. a n t r p n c l pt rc a c l t n o h e o n h i R s d o olt i o e a to i t mo 1
价 格 。同时 给 出了基 于 GA C R H模 型 预 测波 动率
其 中 表 示资产 在 t 刻 的价 格 。 时 考 虑如 下模 型 J :
『 , 口 Y= + , n ~ 0, ) , N(
一 l
, 、
【 。 0+ I 口 = 口 一 +
其 中 , , , 称 为 均 值方 程 , 是 股 票 Y = +以 被 的期 望收益率 , 为残 差 ; = 。 理 +凹 2 + 一被 称为 方差方程 , 则称 以 服从 G R H( ,) 型 。 , A C 11模 选 取 中国石 油 (08 7 股 票 2 1 6 15 ) 00年 1月 l 5
Ke r s GARCH o e ; oai t ; p o Va y wo d : m d lv lti o t n; R l y i
0 引 言
期权是一种重要的金融衍生产品, 期权定价成 为 金融 数 学 的 核 心 问 题 之 一 。期 权 定 价 的 经 典 BakSh l 模 型假 定股 票 对 数 收益 率 服 从正 态 l —coe c s 分布且波动率为常数 , 但此假设往往与实际市场不 相 符。波动率在 期权交易 中是一 个重 要 的因素 , 它
是标 的资产 收益 率 的条件 方差 , 的一个 特殊 性是 它 不 能被直接观测 到 。在金 融时 间序列 分析 中 , 经常 出现股票 收益率分 布的尖峰 、 尾 和金融 资产 价格 厚 的波动性集 聚现象 。条 件 异方 差 模 型最 初 就是 用 来分 析这 种波 动集 聚现 象 的。 18 92年 E ge首 次 nl 提 出 A C 模型 … , 8 RH 1 6年 B lre 一步 提 出 9 oes v进 l l
收 稿 日期 :0 I0 -2 2 1 _92
了 G R H模 型 , A C 基于 G C R A H模 型计 算 的金融
资产波动率, 为期权定价提供了有力的帮助。随着 全球 金融市场 的迅猛 发展 , 出于避 险 的需要 而产生 的金 融衍生产 品也 有极大 的风 险 , 风险管 理 的核 而 心是对风险进行定量分析和评估 , 即风险度量。风 险度量的准确性直接关系到风险管理 的成功与否, 基于 G C R A H模型计算的金融资产波动率 , 为准确 度量金融风险提供了精确且科学的工具。自从 19 95 年巴塞尔委员会规定了银行使用内部模型计算风险 的 Va V lea Rs) 以来 , 用 V R方 法作 为 R( a t i 值 u k 采 a 金融衍生工具风险管理的手段被广泛使用。 本 文选 取 中 国石 油 (0 87 股 票 2 1 6 15 ) 00年 1 月 1 5日至 2 1 0 1年 1月 1 日共 2 3个 交 易 日的 7 4
格数据为估计样本 , 计算 日收益率并对样本 的 日 收益率 进行 基本 统计 分析 j结果 见 表 1 4, 。
表 1 日对 数 收益 的描 述性 统计
由表 1可 以看 出 , 股 票 收益 率 呈 现 出显 著 该
非 正态 的 “ 峰 厚 尾 ” 布特 征 。在 进 行 时 间序 尖 分
率 27 %, 1 年 1 l .5 2 1 0 月 8日股票 的价格为 1.4 12
元 , 价格为 1 元 , 敲定 1 距离 到期 1T—t ( ) 由 3 =1 年 , 于期权 的剩 余 时 间较 长 , 此 可取 式 ( ) 因 6 中 = 0233来 近 似计 算 欧式 看涨 期 权 的在 2 1 .7 0 1 1年
第2 4卷第 6期 21 0 1 1年 2月
常 州 工 学 院 学 报
J u a fCh n z u I tt e o c no o y o r lo a g ho ns ut fTe h l g n i
VO . 4 No 6 I2 .
De . 0l c2 l
基 于 G R H模 型 的波 动率 预测 及 应 用 A C
() 5
1二_ _— 4_ 0 14 9 1 _ 8
一 一
0 63 8 7 =o. o o8 6 8 5 o 0 3
… … …


其 中 , 是 股 票 的期 望 收益 率 , 盯为 股票 收益 的年 波 动 率 的 标 准 差 , 测 度 P 下 的 标 准 B为
价格 和风 险值 V R 的计 算 。 a 关键 词 : AR H模 型 ; G C 波动 率 ; 权 ; R 期 Va 中图分 类号 : 2 2 1 F 3 . 1 文 献标 志码 : O 1 . ;8 0 9 A 文章编 号 :6 1— 4 6 2 1 )6— 0 5一 4 17 0 3 (0 1 0 0 4 o
王 献 东
( 常卅I 工学院理学 院, 江苏 常州 2 3 0 ) 10 2
摘 要 : 中国石 油 ( 0 8 7 股 票 2 1 以 6 15 ) 0 0年 1月 1 日至 2 1 5 0 1年 1月 1 日交 易 日收盘 价 格 的 实 7
际数据为样本 , 建立 了股票对数收益率波动率的 G R H模 型, AC 利用 E i s v w 软件进行参数估计得 e 到 波动率 的方程 , 对 波动 率进行 预 测 , 而得 到基 于 G R H模 型预 测波动 率的欧 式看 涨期 权 的 并 从 A C
G C R A H模型 。
建 立 G R H( ,) 型 , A C 11 模 并得 到 参 数估 计 和
检验结 果见 表 4 。
表 4 日收 益率 的 GA H( ,) RC 1 1 的参数 估计 结 果
第 6期
王 献东 : 基于 G R H模 型 的波 动率 预测 及应 用 A C
日到 2 1 0 1年 1 1 月 7日共 2 3个 交易 日的收 盘 价 4
的风 险值 V R 的计算 。 a
1 G R H 模 型 的 建 立及 参数 估 计 A C
文 中收益 率 均指 对 数 收益 率 , 义 资产 对 数 定 收益 率 为 :
Y =i , nS , nS 一1 () 1
的波 动 , 一个 小 的 波 动后 面 常 常 跟 着 另一 个 小 的
波 动 , 现 出一 定 的 A C 表 R H效 应 。对 均 值 方 程 的
残差 进 行 A H 效应 检验 , 验结果 见 表 3 RC 检 。
列分 析之 前 , 须 先 确 定 其 平 稳 性 , 用 A 必 采 DF单
( )= +(L f 1 2 0 O+ )a ( ) 1

4 7
Hale Waihona Puke 方 差方 程 的系数 在 5 的显 著 性水 平 下 都是 % 显 著 的。 因此 所 建 立 的 GA C 1 1 模 型 能 够 R H( , ) 较好 地 拟合 中国石油 股票 收益 率 的波动率 。 由表
4可 知方 差方 程为 :
B o n运 动 。 rw
转 化为 年波 动率 为 :
丽 丽 : . 7 0 2 33
Bl k与 Sh l a c coe s推导 出 了敲 定 价 格 为 , 到
无 风险利率取 21 年初 的 1 01 年期 整存整 取利
期 日T 的欧式看涨期权在时刻 tt T 的价格 : (< ) c fS ) , d )一K ‘一 Ⅳ( 2 ( , =SN( 1 e d) ’
位根 检验 , 结果 见表 2 。
表 2 AD F单 位根 检验
因此序列在 l 的显著 陛水平下拒 绝原假设 , % 不
存在单位根, 即收益率序列是平稳的。通过对收益 率序列滞后 3 的 自相关 函数 与偏 自相关 函数 的 6阶 分析可知, 建立以下均值方程是合适的, 方程如下: Y =C+ n 口 ~ 0 2 N( , ) () 3
图 1显示 了 日收益 率 的残 差 序 列 图 , 观察 图 1 以发现 , 大 的波动后 面常常跟 着另一个 大 可 一个
图 1 日收 益率残 差序 列 图
表 3 均 值方 程 残差 的 ARC 效应检 验 H
可 见 残 差 序 列 具 有 A C 效 应 , 以建 立 R H 可

般地 有 :
() 0 ( ):z 1 z = + a+ a(一 )
f1 >
利用递 推 就可 以得 到 向前 z 预测 , 步 写成 :
o00 0 8 O14 9a一+ .0 66 + _1 48 ̄ 0 1 () 4
08387  ̄ .6 5g一 1
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2 中 国 石 油 股 票 欧 式 看 涨 期 权 的
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