基于GARCH模型的波动率预测及应用

＝
般地 有 ：
（） ０ （ ）：ｚ １ ｚ ＝ ＋ ａ＋ ａ（一 ）
ｆ１ ＞
利用递 推 就可 以得 到 向前 ｚ 预测 ， 步 写成 ：
ｏ００ ０ ８ Ｏ１４ ９ａ一＋ ．０ ６６ ＋ ＿１ ４８￣ ０ １ （） ４
０８３８７ ￣ ．６ ５ｇ一 １
）＝
２ 中 国 石 油 股 票 欧 式 看 涨 期 权 的
价格 和风 险值 Ｖ Ｒ 的计 算 。 ａ 关键 词 ： ＡＲ Ｈ模 型 ； Ｇ Ｃ 波动 率 ； 权 ； Ｒ 期 Ｖａ 中图分 类号 ： ２ ２ １ Ｆ ３ ． １ 文 献标 志码 ： Ｏ １ ． ；８ ０ ９ Ａ 文章编 号 ：６ １— ４ ６ ２ １ ）６— ０ ５一 ４ １７ ０ ３ （０ １ ０ ０ ４ ｏ
（） ５
１二＿ ＿— ４＿ ０ １４ ９ １ ＿ ８
一 一
０ ６３ ８ ７ ＝ｏ． ｏ ｏ８ ６ ８ ５ ｏ ０ ３
… … …
●
●
其 中 ， 是 股 票 的期 望 收益 率 ， 盯为 股票 收益 的年 波 动 率 的 标 准 差 ， 测 度 Ｐ 下 的 标 准 Ｂ为
价 格 。同时 给 出了基 于 ＧＡ Ｃ Ｒ Ｈ模 型 预 测波 动率
其 中 表 示资产 在 ｔ 刻 的价 格 。 时 考 虑如 下模 型 Ｊ ：
『 ， 口 Ｙ＝ ＋ ， ｎ ～ ０， ） ， Ｎ（
一 ｌ
， 、ห้องสมุดไป่ตู้
【 。 ０＋ Ｉ 口 ＝ 口 一 ＋
其 中 ， ， ， 称 为 均 值方 程 ， 是 股 票 Ｙ ＝ ＋以 被 的期 望收益率 ， 为残 差 ； ＝ 。 理 ＋凹 ２ ＋ 一被 称为 方差方程 ， 则称 以 服从 Ｇ Ｒ Ｈ（ ，） 型 。 ， Ａ Ｃ １１模 选 取 中国石 油 （０８ ７ 股 票 ２ １ ６ １５ ） ００年 １月 ｌ ５
率 ２７ ％， １ 年 １ ｌ ．５ ２ １ ０ 月 ８日股票 的价格为 １．４ １２
元 ， 价格为 １ 元 ， 敲定 １ 距离 到期 １Ｔ—ｔ （ ） 由 ３ ＝１ 年 ， 于期权 的剩 余 时 间较 长 ， 此 可取 式 （ ） 因 ６ 中 ＝ ０２３３来 近 似计 算 欧式 看涨 期 权 的在 ２ １ ．７ ０ １ １年
收 稿 日期 ：０ Ｉ０ －２ ２ １ ＿９２
了 Ｇ Ｒ Ｈ模 型 ， Ａ Ｃ 基于 Ｇ Ｃ Ｒ Ａ Ｈ模 型计 算 的金融
资产波动率， 为期权定价提供了有力的帮助。随着 全球 金融市场 的迅猛 发展 ， 出于避 险 的需要 而产生 的金 融衍生产 品也 有极大 的风 险 ， 风险管 理 的核 而 心是对风险进行定量分析和评估 ， 即风险度量。风 险度量的准确性直接关系到风险管理 的成功与否， 基于 Ｇ Ｃ Ｒ Ａ Ｈ模型计算的金融资产波动率 ， 为准确 度量金融风险提供了精确且科学的工具。自从 １９ ９５ 年巴塞尔委员会规定了银行使用内部模型计算风险 的 Ｖａ Ｖ ｌｅａ Ｒｓ） 以来 ， 用 Ｖ Ｒ方 法作 为 Ｒ（ ａ ｔ ｉ 值 ｕ ｋ 采 ａ 金融衍生工具风险管理的手段被广泛使用。 本 文选 取 中 国石 油 （０ ８７ 股 票 ２ １ ６ １５ ） ００年 １ 月 １ ５日至 ２ １ ０ １年 １月 １ 日共 ２ ３个 交 易 日的 ７ ４
王 献 东
（ 常卅Ｉ 工学院理学 院， 江苏 常州 ２ ３ ０ ） １０ ２
摘 要 ： 中国石 油 （ ０ ８ ７ 股 票 ２ １ 以 ６ １５ ） ０ ０年 １月 １ 日至 ２ １ ５ ０ １年 １月 １ 日交 易 日收盘 价 格 的 实 ７
际数据为样本 ， 建立 了股票对数收益率波动率的 Ｇ Ｒ Ｈ模 型， ＡＣ 利用 Ｅ ｉ ｓ ｖ ｗ 软件进行参数估计得 ｅ 到 波动率 的方程 ， 对 波动 率进行 预 测 ， 而得 到基 于 Ｇ Ｒ Ｈ模 型预 测波动 率的欧 式看 涨期 权 的 并 从 Ａ Ｃ
Ｆｏ ｅ ａ ｔｏ ｌ ｔｌｔ ｎｄ ＩｓＡ ｐ ｌｃ ｔｏ ｓ Ｂａ ｅ ｎ ＧＡＲＣＨ ｏ ｌ ｒ ｃ ｓ ｆＶｏａ ｉ ｙ ａ ｔ ｐ ｉａ ｉ ｎ ｓ ｄ ｏ ｉ Ｍ ｄｅ
Ｗ ＡＮＧ ａｎ— ｎ Ｘｉ ｄｏ ｇ
（ ｃｏ ｌ ｆ ｃ ｎ ｅ ，ｈ ｎ ｚｏ ｎｔｕｅｏ ｅｈ ｏｏｙ， ｈｎ ｚｏ １０２） Ｓｈ ｏ ｉ ｃｓＣ ａ ｇｈ ｕＩｓｔｔ ｆＴ ｃｎ ｌｇ Ｃ ａｇｈ ｕ２ ３０ ｏＳ ｅ ｉ Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈ ｐ ｒ ｓ ｌｃ ｓ ｄａｌ ｒ ｄ ｌ ｅ ｐ ｉｅ ｄ ｔ ｆ Ｃｈ ｎ ｅｒ ｌｕ ｓｏ ｋ ｆｏ ２ ０・ ・ ５ ｔ ｓ ｒ ｃ ： ｅ ｐａ ｅ ｅ ｅ ｔ ｉｙ ｔａ ｅ ｃｏｓ ｒｃ ａｅ ｏ ｉ ａ ｐ ｔｏ ｅ ｍ ｔ ｃ ｒ ｍ ０１ － － ｏ ０１ １ ２ 一 — ７ ｔ ｏ ｔｕ ｔＧＡＲＣＨ ｄ ｌｏ ｈｅ ｖ ａ ｉ ｔ ｏ ｅ ｓｏ ｋ ｌ ｇ ｒ ｔｒ Ｂｙ ｍｅ ｎｓ ｏ ｉ ｗｓ ｓ ｆ— ０１ Ｏ１ １ ｏ ｃ ｎｓｒ ｃ １ ｍｏ ｅ ｆ ｔ ｏｌｔ ｉ ｌ ｙ ｆ ｔ ｔ ｃ ｏ —ｅ ｕ ｎ． ａ ｆ Ｅｖ ｅ ｏ ｔ ｈ ｗａ ｅ， ｓ ｍ ａｅ ｐ ｒ ｍｅｅ ｓａ ｅ ｂ ａ ｎ ｔ ｅ ｖ ｌｔｌ ｙ ｅ ａ ｏ Ｔｈ ｎ ｗｅ ｆ ｒｃ ｓ ｏｌｔｌ ｙ， ｄ ｏ ｒ ｗｅ ｅ ｔ ｔ ａ ａ ｔ ｒ ｎｄ ｔ ｎ ｏ ｔ ｉ ｏ ａ ｉ ｑｕ ｔ ｎ． ｅ ｏ ｅ ａ ｔｔ ｖ ａｉｉ ａ ｂ— ｉ ｈ ｈ ｉ ｔ ｉ ｈｅ ｔ ｎ ｒｉ ｅ Ｅｕ ｏ ａ ａｌｏ ｉ ｎ ｐ ｉ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｃ ｌｕ ａ ｏ ｆＶａ ｂａ ｅ ｎ ｖ ａ ｌ ｙ ｆ ｒ ｃ ｓ ｆＧＡＲＣＨ ｄｅ． ａ ｎ ｔ ｒ ｐ ｎ ｃ ｌ ｐｔ ｒｃ ａ ｃ ｌ ｔ ｎ ｏ ｈ ｅ ｏ ｎ ｈ ｉ Ｒ ｓ ｄ ｏ ｏｌｔ ｉ ｏ ｅ ａ ｔｏ ｉ ｔ ｍｏ １
Ｂ ｏ ｎ运 动 。 ｒｗ
转 化为 年波 动率 为 ：
丽 丽 ： ． ７ ０ ２ ３３
Ｂｌ ｋ与 Ｓｈ ｌ ａ ｃ ｃｏｅ ｓ推导 出 了敲 定 价 格 为 ， 到
无 风险利率取 ２１ 年初 的 １ ０１ 年期 整存整 取利
期 日Ｔ 的欧式看涨期权在时刻 ｔｔ Ｔ 的价格 ： （＜ ） ｃ ｆＳ ） ， ｄ ）一Ｋ ‘一 Ⅳ（ ２ （ ， ＝ＳＮ（ １ ｅ ｄ） ’
是标 的资产 收益 率 的条件 方差 ， 的一个 特殊 性是 它 不 能被直接观测 到 。在金 融时 间序列 分析 中 ， 经常 出现股票 收益率分 布的尖峰 、 尾 和金融 资产 价格 厚 的波动性集 聚现象 。条 件 异方 差 模 型最 初 就是 用 来分 析这 种波 动集 聚现 象 的。 １８ ９２年 Ｅ ｇｅ首 次 ｎｌ 提 出 Ａ Ｃ 模型 … ， ８ ＲＨ １ ６年 Ｂ ｌｒｅ 一步 提 出 ９ ｏｅｓ ｖ进 ｌ ｌ
日到 ２ １ ０ １年 １ １ 月 ７日共 ２ ３个 交易 日的收 盘 价 ４
的风 险值 Ｖ Ｒ 的计算 。 ａ
１ Ｇ Ｒ Ｈ 模 型 的 建 立及 参数 估 计 Ａ Ｃ
文 中收益 率 均指 对 数 收益 率 ， 义 资产 对 数 定 收益 率 为 ：
Ｙ ＝ｉ ， ｎＳ ， ｎＳ 一１ （） １
的波 动 ， 一个 小 的 波 动后 面 常 常 跟 着 另一 个 小 的
波 动 ， 现 出一 定 的 Ａ Ｃ 表 Ｒ Ｈ效 应 。对 均 值 方 程 的
残差 进 行 Ａ Ｈ 效应 检验 ， 验结果 见 表 ３ ＲＣ 检 。
列分 析之 前 ， 须 先 确 定 其 平 稳 性 ， 用 Ａ 必 采 ＤＦ单
基金项 目： 常州工学院科研基 金项 目（ ＹＮ１３ ） ０ ０
作者简介 ： 王献东（ ９ ０ １８ 一
）男 ， ， 硕士 ， 讲师。
常州 工 学 院学报
２１ ０ １钲
收盘 价格 ， 建立 了股 票 收益 波 动 率 的 Ｇ ＲＣ １ Ａ Ｈ（ ， １模 型 ， ） 并利 用 Ｅ ｉｗ ． 件 进行 参 数 估 计 得 ｖｅ ｓ ０软 ６ 到 了波 动率 的方 程 ， 对波 动率 进行 预测 ， 波 动 并 将 率 预测 值带 人 欧式看 涨期权 定 价公 式得 到期 权 的
位根 检验 ， 结果 见表 ２ 。
表 ２ ＡＤ Ｆ单 位根 检验
因此序列在 ｌ 的显著 陛水平下拒 绝原假设 ， ％ 不
存在单位根， 即收益率序列是平稳的。通过对收益 率序列滞后 ３ 的 自相关 函数 与偏 自相关 函数 的 ６阶 分析可知， 建立以下均值方程是合适的， 方程如下： Ｙ ＝Ｃ＋ ｎ 口 ～ ０ ２ Ｎ（ ， ） （） ３
Ｇ Ｃ Ｒ Ａ Ｈ模型 。
建 立 Ｇ Ｒ Ｈ（ ，） 型 ， Ａ Ｃ １１ 模 并得 到 参 数估 计 和
检验结 果见 表 ４ 。
表 ４ 日收 益率 的 ＧＡ Ｈ（ ，） ＲＣ １ １ 的参数 估计 结 果
第 ６期
王 献东 ： 基于 Ｇ Ｒ Ｈ模 型 的波 动率 预测 及应 用 Ａ Ｃ
（ ）＝ ＋（Ｌ ｆ １ ２ ０ Ｏ＋ ）ａ （ ） １
一
４ ７
方 差方 程 的系数 在 ５ 的显 著 性水 平 下 都是 ％ 显 著 的。 因此 所 建 立 的 ＧＡ Ｃ １ １ 模 型 能 够 Ｒ Ｈ（ ， ） 较好 地 拟合 中国石油 股票 收益 率 的波动率 。 由表
４可 知方 差方 程为 ：
格数据为估计样本 ， 计算 日收益率并对样本 的 日 收益率 进行 基本 统计 分析 ｊ结果 见 表 １ ４， 。
表 １ 日对 数 收益 的描 述性 统计
由表 １可 以看 出 ， 股 票 收益 率 呈 现 出显 著 该
非 正态 的 “ 峰 厚 尾 ” 布特 征 。在 进 行 时 间序 尖 分
定 价
假 设 股 票 的价 格 过 程 满 足 以下 随 机 微 分 方
程：
从而 ， 只要 ＋ ＜ｌ就 有 ： ，
２ ｆ一 ） （ 当 ｆ 。 时 一 。 （） ７
由此可知 ， 由方差方程式 （ ） ４ 确定的无条件 方 差为 ：
—
ｄ Ｓ （ ｄ ＋ｏ Ｂ ） Ｓ ＝ ／ ｔ － ｚ ｄ
Ｋｅ ｒ ｓ ＧＡＲＣＨ ｏ ｅ ； ｏａｉ ｔ ； ｐ ｏ Ｖａ ｙ ｗｏ ｄ ： ｍ ｄ ｌｖ ｌｔｉ ｏ ｔ ｎ； Ｒ ｌ ｙ ｉ
０ 引 言
期权是一种重要的金融衍生产品， 期权定价成 为 金融 数 学 的 核 心 问 题 之 一 。期 权 定 价 的 经 典 ＢａｋＳｈ ｌ 模 型假 定股 票 对 数 收益 率 服 从正 态 ｌ —ｃｏｅ ｃ ｓ 分布且波动率为常数 ， 但此假设往往与实际市场不 相 符。波动率在 期权交易 中是一 个重 要 的因素 ， 它
第２ ４卷第 ６期 ２１ ０ １ １年 ２月
常 州 工 学 院 学 报
Ｊ ｕ ａ ｆＣｈ ｎ ｚ ｕ Ｉ ｔｔ ｅ ｏ ｃ ｎｏ ｏ ｙ ｏ ｒ ｌｏ ａ ｇ ｈｏ ｎｓ ｕｔ ｆＴｅ ｈ ｌ ｇ ｎ ｉ
ＶＯ ． ４ Ｎｏ ６ Ｉ２ ．
Ｄｅ ． ０ｌ ｃ２ ｌ
基 于 Ｇ Ｒ Ｈ模 型 的波 动率 预测 及 应 用 Ａ Ｃ
图 １显示 了 日收益 率 的残 差 序 列 图 ， 观察 图 １ 以发现 ， 大 的波动后 面常常跟 着另一个 大 可 一个
图 １ 日收 益率残 差序 列 图
表 ３ 均 值方 程 残差 的 ＡＲＣ 效应检 验 Ｈ
可 见 残 差 序 列 具 有 Ａ Ｃ 效 应 ， 以建 立 Ｒ Ｈ 可