一只特立独行的猪王小波

r1
F2
r2
F2 (dr2 dr1 ) F2 d ( r2 r1 ) F2 dr21
25
A F2 dr21
结论：AB两质点的内力作的总功等于其中一个质点受到的 F1
Fi 内力与这个质点相对于另一质点的相对位移的乘积。 f1i f i1 m1 2.质点系动能定理 f1n mi 对mi： fn1 fin f 1 1 2 2 ni m Ai Ai内 Ai外 mi i mi i 0 n 2 2 Fn

0
Fx=-m2x Fy=-m 2y

A
F dx
a x
0
b
0
1 Fy dy m 2 ( a 2 b 2 ) 2
合外力的功也可由动能定理直接求出：
dr a sinti b cos tj dt
r a cos ti b sintj
或F E p
E p Fx x E p Fy y E p Fz z
A保 F保 dr E pa E pb ( E pb E pa )

b
a
24
F1
Fi
三.质点系动能定理
1 内力做功 内力：施力物体和受力物体都在系统内； 外力：施力物体在系统外，受力物体在 Fn m1
I的方向: x轴正方向。
7
例题3.3 质点(m=0.4kg)静止, 受力 f =2t i(N), 求前2s内合外力的功。 解 A

?
?
2 I fdt m m o
0
1 1 2 Fx dx m m o 2 2 2

A
2
0
?
2ti dt m
10i
?
1 1 2 2 Fx dx m m o =20J 2 2
8
例题3.4 质点m位矢 r acosti bsintj (SI),式中a、b、是正值常数，且a>b。求： t=0到t=/(2)合外力的功及分力Fx、Fy的功。
解 合外力: F ma m 2 r =-m2(xi+yj )

b
f dr

b


b



合外力对质点所作的功等于质点动能的增量。
4
1 1 2 2 A mb m a 2 2
1、动能是状态量。
1 Ek m 2 2
2、动能定理将过程量和状态量联系起来，因此可用它求过 程量功的值。
3、动能定理中，A是合外力所做的功。只有A大于零时，质 点的动能才增加，A小于零时，质点的动能减少。 4、动能定理只在惯性系中才成立。
5
例题3.1 开始，弹簧原长，物体m触地。将弹 簧缓慢提起，到物体m刚能脱离地面时止，求此过 程中弹力作的功。
解 将弹簧缓慢地提起的过程中： fx=kx 。
A

b
F
a
f x dx
x
x
物体m脱离地面的条件是什么？ (原长) o kxomg
A

x0
0
( mg )2 kx dx 2k
m
6
例题3.2 质点(m=4kg)沿x轴作直线运动, fx=(2x+5) (SI), 初速 o =5i (m/s); 求从x=0运动到 x=10(m)力的冲量。
从a到b，力f 的总功:
b
?
dr
L a

b
A
理解

a
f dr
f
1、功是过程量。 2、功是标量，但有正负。 3、功的单位：
N m( J )
2
4、功是相对量,其大小随所选参考系的不同而不同。 m 例： 重力对m的功:
5、功率:
dA f fcos P dt
Epa是系统在位置a的势能; Epb是系统在位置b的势能。
1 2 弹力势能 EP kx 2
P
G
Mm r
定义：这种与位置有关的能量为势能，用EP表示。
A保 F保 dr E pa E pb ( E pb E pa )

b
a
19
A保 F保 dr E pa E pb ( E pb E pa )

L
F保 dr 0
上式表明：保守力的环流(沿任意闭合路径L的线积分)为零。
18
重力势能 EP mgh 3.势能的定义 重力的功 弹性力的功 引力的功
Aab mgha mghb 引力势能 E 1 1 2 2 Aab kxa kxb 2 2 1 1 Aab GMm( ) ra rb
质点系动能定理：
A内+A外 = Ek- Ek0
A外+A非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0)
定义系统的机械能E=Ek+Ep。
系统外力和非保守内力的功之和等于系统机 械能的增量。功能原理

b
a
即: 保守力的功等于势能增量的负值。
若取b点为零势点，则系统在位置a的势能为
Leabharlann Baidu
E pa
保守力作的功。

零势点
a
F保 dr
即:系统在位置a的势能等于系统从该位置移到势能零点时
原则上讲，势能的零点是可以任意选择的，因此势能仅具
有相对的意义。
20
讨论 1）只有保守力才能引入势能的概念。
俯视图
12
2 d d d d R dt d dt R d 得： d = -µ d


d
0

d
o


, o e

fr
摩擦力的功为
o
1 1 2 2 A m m o 2 2 1 2 m o ( e 2 1 ) 2
Aab
fdscos
a
b
rb
ra
Mm G 2 dr r
1 1 GMm( ) ra rb
注意：dscos(-)=dr。
b rb
ds r

f
dr
m
万有引力的功也只与质点始末位置有关 , 而与质点所经过的实际路径形状无关。
M
ra
a
16
结论：
重力功： A mgha mghb
(1)取无穷远为势能零点。
(2)M、m相距r时的引力势能:
dr
m
r f M
EP


r
Mm Mm G 2 dr G r r
(3)引力势能总是负值。
Ep=±mgh
1 2 E p kx 2
Mm E p G r
23
4）力与势能的关系：
由F保 dr dE p
又F保 dr Fx dx Fy dy Fz dz
2）势能是系统所共有的。
3）势能的相对性。 只有势能的增量才有意义，势能的绝对大小是没有 意义的，它只能在选定了零势能点后才能确定。零势能 的选定是任意的，看问题的方便而定。
几种常见势能零点的选择
重力势能 (1)零势面可任意选择。 (2)重力势能为 Ep=±mgh
21
a 弹性势能 (1)规定弹簧无形变时的势能为零。 (2)弹簧伸长(或压缩)x时的弹性势能为
解

1 1 2 2 A f x dx m m o a 2 2 10 1 1 2 2 ( 2 x 5 )dx m m o 0 2 2 完成积分得： = 10(m/s)。
? I Fdt m mo
?
b

I m m o =20(N.m)
A A A
i i内 i外 i i i i
1 2 mi i 2

i
1 2 mi i 0 2
写成： A内 + A外 = Ek — Ek0
系统动能定理：外力的功与内力的功之和等于系统动能的 26 增量。
四.功能原理
A内=A保守内力+A非保守内力
A保守内力 ( E p E po )
11
例题3.5 光滑水平面上有一粗糙的固定半圆形 屏障。滑块m以o进入屏障，求滑块滑过屏障过程 中，摩擦力的功。(滑块与屏障摩擦系数为µ ) 解 以滑块为研究对象，受力分析： N不作功，只有摩擦力作功。
fr
R d 切向： N m dt
法向： N m
2
(1) (2)
o

N

o
2 d R dt
f1i f i1 f1n fn1 mi fni fin
mn
系统内。
其中内力必是成对出现的。
但由于成对内力作用在不同有物体上，因而位移不同，作的功 一般不是等值反号。因而内力总功不一定为零。 F1 A F1 dr1 F2 dr2 F2 dr1 F2 dr2
k
o (原长) x x
E p kxdx 1 kx 2 x 2

0
(3)弹性势能总是正值。 如选x=xo处为势能零点，
xo a x
b
则弹性势能
E pb
零势点
b
F保 dr
o (原长)
x
E pb
xo
x
1 2 1 2 kxdx kx kxo 2 2
22
引力势能
§2.3 力的空间累积效应能量守恒定律 一. 功 质点动能定理
1. 功—力与力作用点位移的标积 质点受恒力F, 作直线运动, 位移r, 则力F 的功为
r
F

A F r Frcos
1
质点受变力f , 从a到b,
力f 的元功为
dA f dr ffdr dr cos cos
o
hb
b
x
14
弹性力的功： 小球ab，弹性力的功为
Aab Fx dx
a

b

xb
xa
1 1 2 2 kxdx kxa kxb 2 2
弹性力的功只与运动质点的始末位置有关，而与其经 过的实际路径形状无关。
xa a
xb
b
o (原长)
x
15
万有引力的功： 质点 m 在 M 的引力场中 , 由 a 点到 b 点 , 万有引力对 质点m所作的功为
b n
地面参考系： A=mgh 物体m参考系： A=0
h
6、功的独立性原理
dA=f.dr
A
a
f f xi f y j f z k ,
n n b Fi dr Fi cos ds Ai i 1 i 1 a
dr dxi dyj dzk
1 2 1 2 弹力功： A kxa kxb 2 2
1 1 万有引力功： A Gm1m2 ( ) ra rb
17
2.保守力和非保守力 如果一个力的功只与运动的始末位置有关,而与路径形状 无关，这种力称为保守力。 显然重力、弹性力、万有引力都是保守力。 相应的力场称为保守力场。否则叫做非保守力。 保守力F保沿任意闭合路径L所作的功总为零,亦即
b a
i 1
A

b
a
f dr
f dx
a x
b
f y dy
f dz
a z
b
3
2. 质点动能定理
d dr A m dr m d a a a dt dt b b1 b 1 m d md ( ) d ( m 2 ) a a2 a 2 1 1 2 2 m b m a 2 2 1 定义质点的动能： Ek m 2 2
分力： Fx=-m2x, Fy=-m 2y
A
f dx f dy
a x a y
b
b
因: x=acos t, y=bsin t
当t=0时，x=a, y=0; 当t= /(2)时，x=0, y=b。
9
分力Fx、Fy的功为
1 Ax Fx dx m 2 a 2 a 2 b 1 Ay Fy dy m 2 b 2 0 2 合外力的功为
10
dr a sinti b cos tj dt
当t=0时，o=b j , 大小: o=b;
当t=/(2)时, =-a i , 大小 =a 。
由动能定理得合外力的功为
1 1 1 2 2 A m m 0 m 2 ( a 2 b 2 ) 2 2 2

N

o
13
二.保守力场中的势能
1.重力、弹性力、万有引力作功的特点 重力的功 ： 质点m沿曲线L从a到b(高度分别为ha和hb)， y 重力对m作的功为：
Aab F y dy
a

b

hb
a
ha
- mgdy
ha C
L mg
mgha mghb
重力作功只与质点的始末位置有关 , 而与质点所经过的实际路径形状无 关。