概率论与数理统计(理工类-第四版)吴赣昌主编课后习题答案第七章

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第七章假设检验

7.1 假设检验的基本概念

习题1

样本容量n确定后，在一个假设检验中，给定显著水平为α，设此第二类错误的概率为β，则必有().

(A)α+β=1;(B)α+β>1;(C)α+β<1;(D)α+β<2.

解答：

应选(D).

当样本容量n确定后，α,β不能同时都很小，即α变小时，β变大；而β变小时，α变大.

理论上，自然希望犯这两类错误的概率都很小，但α,β的大小关系不能确定，并且这两类错误不能同时发生，即α=1且β=1不会发生，故选(D).

习题2

设总体X∼N(μ,σ2),其中σ2已知，若要检验μ,需用统计量U=X¯-μ0σ/n.

(1)若对单边检验，统计假设为

H0:μ=μ0(μ0已知),H1:μ>μ0,

则拒绝区间为；

(2)若单边假设为H0:μ=μ0,H1:μ<μ0,则拒绝区间为(给定显著性水平为α,样本均值为X¯,样本容量为n,且可记u1-α为标准正态分布的(1-α)分位数).

解答：

应填(1)U>u1-α;(2)U

由单侧检验及拒绝的概念即可得到.

习题3

如何理解假设检验所作出的“拒绝原假设H0”和“接受原假设H0”的判断？

解答：

拒绝H0是有说服力的，接受H0是没有充分说服力的. 因为假设检验的方法是概率性质的反证法，作为反证法就是必然要“推出矛盾”，才能得出“拒绝H0”的结论，这是有说服力的，如果“推不出矛盾”，这时只能说“目前还找不到拒绝H0的充分理由”，因此“不拒绝H0”或“接受H0”，这并没有肯定H0一定成立. 由于样本观察值是随机的，因此拒绝H0，不意味着H0是假的，接受H0也不意味着H0是真的，都存在着错误决策的可能.

当原假设H0为真，而作出了拒绝H0的判断，这类决策错误称为第一类错误，又叫弃真错误，显然犯这类错误的概率为前述的小概率α:α=P(拒绝H0|H0为真);而原假设H0不真，却作出接受H0的判断，称这类错误为第二类错误，又称取伪错误，它发生的概率β为β=P(接受H0|H0不真).

习题4

犯第一类错误的概率α与犯第二类错误的概率β之间有何关系？

解答：

一般来说，当样本容量固定时，若减少犯一类错误的概率，则犯另一类错误的概率往往会增大.要它们同时减少,只有增加样本容量n.在实际问题中,总是控制犯第一类错误的概率α而使犯第二类错误的概率尽可能小.α的大小视具体实际问题而定，通常取α=0.05,0.005等值.

习题5

在假设检验中，如何理解指定的显著水平α?

解答：

我们希望所作的检验犯两类错误的概率尽可能都小，但实际上这是不可能的. 当样本容量n固定时，一般地，减少犯其中一个错误的概率就会增加犯另一个错误的概率. 因此，通常的作法是只要求犯第一类错误的概率不大于指定的显著水平α,因而根据小概率原理，最终结论为拒绝H0较为可靠，而最终判断力接受H0则不大可靠，其原因是不知道犯第二类错误的概率β究竟有多少，且α小，β就大，所以通常用“H0相容”，“不拒绝H0”等词语来代替“接受H0”，而“不拒绝H0”还包含有再进一步作抽样检验的意思.

习题6

在假设检验中，如何确定原假设H0和备择假设H1?

解答：

在实际中，通常把那些需要着重考虑的假设视为原假设H0，而与之对应的假设视为备择假设H1.

(1)如果问题是要决定新方案是否比原方案好，往往将原方案取假设，而将新方案取为备择假设；

(2)若提出一个假设，检验的目的仅仅是为了判断这个假设是否成立，这时直接取此假设为原假设H0即可.

习题7

假设检验的基本步骤有哪些?

解答：

根据反证法的思想和小概率原理，可将假设检验的步骤归纳如下:

(1)根据问题的要求，提出原理假设H0和备择假设H1.

(2)根据检验对象，构造检验统计量T(X1,X2,⋯,Xn),使当H0为真时,T有确定的分布.

(3)由给定的显著水平α,查统计量T所服从的分布表，定出临界值λ,使

P(∣T∣>λ)=α,或P(T>λ1)=P(T<λ2)=α/2,

从而求出H0的拒绝域:∣T∣>λ或T>λ1,T<λ2.

(4)由样本观察值计算统计量T的观察值t.

(5)作出判断，将t的值与临界值比较大小作出结论:

当t∈拒绝域量时，则拒绝H0，否则，不拒绝H0，即认为在显著水平α下，H0与实际情况差异不显著.

习题8

假设检验与区间估计有何异同?

解答：

假设检验与区间估计的提法虽不同，但解决问题的途径是相通的. 参数θ的置信水平为1-α的置信区间对应于双边假设检验在显著性水平α下的接受域；参数θ的置信水平为1-α的单侧置信区对应于单边假设检验在显著性水平α下的接受域.

在总体的分布已知的条件下，假设检验与区间估计是从不同的角度回答同一个问题. 假设检验是判别原假设H0是否成立，而区间估计解决的是“多少”(或范围),前者是定性的，后者是定量的.

习题9

某天开工时，需检验自动包装工作是否正常. 根据以往的经验，其装包的质量在正常情况下服从正态分布N(100,1.52)(单位:kg).现抽测了9包，其质量为:

99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.0，100.5.

问这天包装机工作是否正常？将这一问题化为假设检验问题. 写出假设检验的步骤(α=0.05).

解答：

(1)提出假设检验问题H0:μ=100,H1:μ≠100;

(2)选取检验统计量U:U=X¯-1001.59,H0成立时, U∼N(0,1);

(3)α=0.05,uα/2=1.96,拒绝域W={∣u∣>1.96};

(4)x¯≈99.97,∣u∣=0.06.因∣u∣

习题10

设总体X∼N(μ,1),X1,X2,⋯,Xn是取自X的样本. 对于假设检验

H0:μ=0,H1:μ≠0,

取显著水平α,拒绝域为W={∣u∣>uα/2},其中u=nX¯,求:

(1)当H0成立时, 犯第一类错误的概率α0;

(2)当H0不成立时(若μ≠0),犯第二类错误的概率β.

解答：

(1)X∼N(μ,1),X¯∼N(μ,1/n),故nX¯=u∼N(0,1).α0=P{∣u∣>uα/2∣

μ=0}=1-P{-uα/2≤u≤uα/2}

=1-[Φ(uα/2)-Φ(-uα/2)]=1-[(1-α2)-α2]=α,

即犯第一类错误的概率是显著水平α.

(2)当H0不成立，即μ≠0时，犯第二类错误的概率为

β=P{∣u∣≤uα/2∣E(X)=μ}

=P{-uα/2≤u≤uα/2∣E(X)=μ}

=P{-uα/2≤nX¯≤uα/2∣E(X)=μ}

=P{-uα/2-nμ≤n(X¯-μ)≤uα/2-nμ∣E(X)=μ}

=Φ(uα/2-nμ)-Φ(-uα/2-nμ).

注1当μ→+∞或μ→-∞时，β→0.由此可见，当实际均值μ偏离原假设较大时，犯第二类错误的概率很小，检验效果较好.

注2当μ≠0但接近于0时，β≈1-α.因α很小，故犯第二类错误的概率很大，检验效果较差.

7.2 单正态总体的假设检验

习题1

已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为

4.484.如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55(α=0.05)?

解答：

本问题是在α=0.05下检验假设

H0:μ=4.55,H1:μ≠4.55.

由于σ2=0.1082已知，所以可选取统计量

U=X¯-4.550.108/9,

在H0成立的条件下，U∼N(0,1),且此检验问题的拒绝域为