弹性力学简介

第一章弹性力学简介

本课程主要介绍有限单元法在固体力学问题中的应用, 因此要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。本章将简单介绍这些概念和方程，作为学习有限单元法的预备知识。

§1-1 弹性力学的研究内容

1. 研究内容

材料力学: (内容) 杆件在外力或温度作用下的应力、变形、材料的宏观力学性质、

破坏准则等。

(任务) 解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。

结构力学: (内容) 杆件系统（杆系结构）在外力或温度作用下的应力、变形、位

移等变化规律。

(任务) 解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。

弹性力学: (内容) 弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。

(任务) 解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。

2. 弹性力学与材料力学、结构力学的区别

(1) 研究对象

材料力学: 杆件(直杆，小曲率杆)

结构力学: 杆件系统或结构

弹性力学: 一般弹性实体结构，三维弹性固体，板状结构，杆件等。

(2) 研究方法

材料力学: 借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假设等，然后由静力

学、几何关系、物理方程三方面进行分析。

结构力学: 同材料力学方法。

弹性力学: 仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，放弃了材料力

学中的大部分假定。

(3) 数学理论基础

材料力学与结构力学:

研究对象是杆件或杆件系统，以平面假设确定横截面变形。

是一维数学问题，求解的基本方程是常微分方程。

弹性力学:

研究对象是完全弹性体。只能从微分单元体入手，是三维数学问题，综合分析的结果是偏微分方程边值问题。

3. 材料力学与弹性力学结果比较

如下图简支梁：

简支梁弹性力学结果材料力学结果从图中可以看出，当l >> h时，误差是很小的。

弹性力学以微元体为研究对象，建立方程求解，得到弹性体变形的一般规律。所得结果更符合实际。

4. 小结

弹性力学是固体力学的一个分支，研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。

本章较为完整的表现了力学问题的数学建模过程，建立了弹性力学的基本方程和边值条件，为进一步的数值方法奠定了基础。

弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、有限元方法等课程的基础。

§1-2 弹性力学中的几个基本概念

基本概念：完全弹性；体力；面力；应力；形变；位移 (1) 完全弹性

完全弹性是物体变形的一种理想模型，是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间一一对应的关系。这种关系与时间无关，也与变形历史无关。

(2) 体力: 弹性体内单位体积上所受的外力。

lim

V V

∆→∆=∆Q

F X Y Z =++F i j k

X 、Y 、Z 为体力矢量在坐标轴上的投影

(3) 面力

——

lim

S S

∆→∆=∆Q

F X Y Z =++F i j k

X 、Y 、Z 为面力矢量在坐标轴上的投影 ∆Q X

(4) 应力

内力：(1) 物体内部分子或原子间的相互作用力； (2) 由于外力作用引起的相互作用力。 0

lim

A S A

∆→∆=∆Q

(1) P 点的内力面分布集度 (2) 应力矢量。S 的方向为⊿Q 的极限方向

应力：由外力引起的在 P 点的某一面上内力分布集度 应力分量： 应力法向分量σ —正应力。 应力切向分量τ —剪应力

(5) 一点的应力状态

通过一点P 的各个面上应力状况的集合－称为一点的应力状态。

x 面的应力：,,x xy xz σττ

y 面的应力：,,y yx yz σττ z 面的应力：,,z zx zy σττ

x 面的应力 y 面的应力 z 面的应力

用矩阵表示一点的应力状态为：

x xy xz yx y yz zx zy z σττστστττσ⎡⎤⎢⎥[]=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

其中只有６个量独立

z z z z

xy yx

y y x x ττττττ=⎧⎪

=⎨⎪

=⎩ 剪应力互等 应力符号的意义：

第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向 第2个下标 y 表示τ的方向.

弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都是关于材料变形的宏观假设。弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行