数列极限求法(送给学霸)

由于数列的分子是 n 的一次幂，所以可以把上式右边的第三项
2 Cn 保留，其余全部甩掉以实现对分母的缩小，达到使整个分数放大
的目的，即：
0 n n n 2 2 0 n 1 n 1 2 Cn n(n 1) 2
故有 lim n
n 0。 2n
用这种放大法下列极限为 0，对所有的自然数 k ，有 lim n


令 n 时 ，上式左、右两端各趋于 ，得
1 2 n 1 lim 2 2 ... 2 。 n n n 1 n n2 n nn 2
源自文库
1 2
5
例3
求证 lim n
n 0 2n
1 2 n 证 因为 2 n (1 1) n Cn0 Cn Cn Cn
n x 1。 ② lim n n
n xn a, ① lim n
x1 x2 ... xn a。 n
x1 x2 ... xn a ，考虑 n x x ... xn x a x2 a ... xn a | 1 2 a || 1 | n n 1 | x1 a | | x2 a | ... | xn a | n
1
引
言
极限的概念与运算贯穿了高等数学的始终。因此，掌握好求极限 的方法对学好高等数学是十分重要的。 下面简单介绍一下求极限的几 种方法，不仅具有教材建设的现实意义而且具有深刻的理论意义。
一、数列极限的基本概念及基本理论
（一） 、数列极限的定义① 设 an 是一个数列，若存在确定的数 a ，对 0 ， N 0 ，使当
只要取 N max 此即证得 注
2 N1M


lim
x1 x2 ... xn a。 n n
1、证明过程中其实采用了一种分段技术，性质不同的对象
以不同的方法处理。 2、为了简化证明的书写，不妨先设 a 0 ，而对一般情形，
4
* 可以做平移变换 xn xn a ，即等价转换为 a 0 的命题。
n
1 2 n 2 ... 2 n nn n n 1 n n 2
2
分析
即 C n 即得
k k ，易知 2 关于 k 单调递增。 n n k k 1 n n k
n 2
n n2 C n n2 n 1 n2 n n
a a 0 ， （或 0 a a ） 的 a ， 都存在正数 N ， 使当 n N 时，an a（或
an a ） 。
an a ， lim bn b ，且 an bn (n N0 ) ，则 a b 。 4、若 lim n n
①
华东师范大学数学系编， 《数学分析》上册，第三版，23 页，定义 1。 2
xn a也是有界数列，即存在正数 M 0 ，使得 n 1,2,... ，
皆有 | xn a | M 。又 0 ， N1 0 ，使得 n N1 时， | xn a | 。于是
2

当 n N1 时，
| xk a | | xk a |
3、 a 或 时，相应结论应成立，但证明须作一定修改， 主要体现在对 |
1 n xk | 应作反向的缩小。 n k 1
（2） 、利用迫敛性求数列极限 我们常说的迫敛性或夹逼定理。当我们面对一个数列 an 难以直 接处理时，不妨尝试适当的放缩技术，去伪存真，去细存粗，抓住主 要矛盾，使问题得以解决。 例 2 求极限 lim
xn a 。当 n 充分大时，| xn a | 就充分小，上述和式的构 由于 lim n
成项 | x1 a | ， | x2 a | ，... ， | xn a | 中后面的绝大部分项充分小，而前 面不充分小的项则仅有少数几项，被分母 n 除后亦会充分小。 证明
xn a 。 xn 是有界数列。 因为 lim n
k 1 k 1
n
N1
k N1 1
| x
n
k
a | N1M (n N1 )

2
|
1 n 1 n NM x a | | xk a | 1 k n k 1 n k 1 n 2
1 n ，N1 ， n N 时，必有 | xk a | 。 n k 1
②
数列 an 收敛的充要条件是它的任一子列都收
华东师范大学数学系编， 《数学分析》上册，第三版，38 页，定理 2.10。 3
二、求数列极限的方法
（一）求数列极限的基本方法 （1） 、利用定义求数列极限 例 1 设数列 xn 收敛于 a ，证明 lim n 分析：欲证 lim n
Solution of the limit
Abstract ：In the higher mathematics limit is an important basic concepts. In the higher mathematics, some important concepts of other, such as the differential and integration, series are used to define the limit. This paper mainly studies the problem of several limit. In the numerous and numerous limit method, students often in solving limit doesn't know how to start. The contents include the limit for solving all kinds of simple method using the summary: popularizes forced convergence property, Monotone have defined Daniel, Using the proof of cauchy criterion sequence limit, These methods of solving problems are generally sequence limit. Also included on the basis of exploring the problem solving complex limit methods, such as special structures and properties of invariable; the sequence limit, Using the integral definition for sequence limit and use the banach cotraction principle as a special method, these special method sequence limit to solve complex limit is important, but also more convenient. In the actual solving process, using various above methods. Key words: Series, limit, the concept, the theorem.
n N 时，都有| an a |< ，则称数列 an 收敛于 a ，即为 lim an a ，否则
n
称数列 an 不收敛（或称发散数列） 。 对数列极限定义我们应注意如下问题，(i) 的任意性；(ii) N 的相应性，最重要的是 N 的存在性；(iii)收敛于 a 的数列 an ，在 a 的任何领域内含有 an 几乎全体的项，此问题可以从这句话“使得当
n N 时，都有 an a ”看出。
（二） 、数列极限的性质 1、唯一性 若数列 an 收敛，则它只有一个极限。 2、有界性 若数列 an 收敛，则存在正数 M ，使 | an |< M （ n 1,2...... ） 。
an a >0 （或 <0 ） 3 、保号性 若 lim ，则对任意一个满足不等式 n
an a ， lim bn b 0 ，则 lim 2、若 lim n n n
an a 。 bn b
（四） 、常用公式 1、有理式比
am b ,当m k , m am n m am1n m1 ...... a1n a0 lim 0,当m k , n b n k b n k 1 ...... b n b k k 1 1 0 ,当m k .
an lim bn a ，且 an cn bn (n N0 ) ， 5、迫敛性（两边夹） 设 lim n n
cn a 。 则 lim n
（三） 、数列极限的四则运算
an a ， lim bn b ，则 lim （an bn） a b ， lim anbn ab 。 1、若 lim n n n n
nk 0 ，只要 2n
将 2 n 的二项式展开的第 k 1 项保留，其余甩掉，以实现整个数列的放 大，找到一个无穷小 z n 来控制它。进一步，对所有的自然数 k 和所有 的实数 a 1 ， lim n 例4
nk 0。 an
xn a,0 a 1 ，求证： 设 lim n
数列极限的几种求解方法(送给双儿学生)
张宇 （渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国） 摘要 在高等数学中极限是一个重要的基本概念。 高等数学中其他的一些重要概念， 如 微分、积分、级数等都是用极限来定义的。本文主要研究了求极限问题的若干种方法。在纷 繁众多的求极限方法中,同学们往往在求解极限时不知如何下手。文章内容包括对求解简单 极限问题的各种常用方法的总结：利用迫敛性；利用单调有界定理；利用柯西准则证明数列 极限； 这些方法对解决一般数列极限问题都很适用。 还包括在此基础上探索出来的解决各种 复杂极限问题的特殊方法，例如：利用数列的构造和性质求数列的极限；利用定积分定义求 数列极限以及利用压缩映射原理等特殊方法求数列极限， 这些特殊方法对解决复杂极限有很 重要的意义，而且还比较方便。在实际求解过程中，要灵活运用以上各种方法。 关键词：数列，极限，概念，定理。
当 n 时 ，上式左、右两端各趋于 0 和 1，似乎无法利 用迫敛性，原因在于放缩太过粗糙，应寻求更精致的放缩。 解 对
k 各项的分母进行放缩，而同时分子保持不变。 k 1 n n k
2 n
就得如下不等关系：
n n n 1 k k nn 1 2 Cn 2 2n 2 k 1 n n n 2 n2 n 1 k 1 n n 1
q n 0 ，其中| q |<1。 2、 lim n
a n 1 n sin 1 。 4、 lim n n
n （ 1 ） ea 。 3、 lim n
（五） 、充要条件 1、柯西准则② 数列 an 收敛的充要条件是：对 0 ，总存在 自然数 N ，使当 n, m N ，都有 | an am | 。 2、子数列法则 敛于同一极限。 （六） 、单调数列 任何有界的单调数列一定有极限。且单调递增有界数列的极限 为其上确界。单调递减有界数列的极限为其下确界。