《指数函数与对数函数的关系》教案

《指数函数与对数函数的关系》教案

【学习要求】

1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系;

2.掌握对数函数与指数函数互为反函数.

【学法指导】

通过探究指数函数与对数函数的关系，归纳出互为反函数的概念，通过指数函数图象与对数函数图象的关系，总结出互为反函数的图象间的关系，体会从特殊到一般的思维过程.

填一填：知识要点、记下疑难点

1.当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ，而把这个函数的自变量作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数 即y ＝f(x)的反函数通常用 y ＝f －

1(x) 表示.

2.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数 ，它们的图象关于直线y ＝x 对称.

3.互为反函数的图象关于直线 y ＝x 对称;互为反函数的图象同增同减.

4.当a>1时，在区间[1，＋∞)内，指数函数y ＝a x 随着x 的增加，函数值的增长速度 逐渐加快 ，而对数函数y ＝log a x 增长的速度 逐渐变得很缓慢.

研一研：问题探究、课堂更高效

[问题情境] 设a 为大于0且不为1的常数，对于等式a t ＝s ，若以t 为自变量可得指数函数y ＝a x ，若以s 为自变量可得对数函数y ＝log a x.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题.

探究点一指数函数与对数函数的关系

导引为了探究这两个函数之间的关系，我们用列表法画出函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象. 问题1函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的定义域和值域分别是什么，它们的定义域和值域有怎样的关系？

问题2在列表画函数y ＝2x 的图象时，当x 分别取－3，－2，－1，0，1，2，3这6个数值时，对应的y 值分别是什么？

问题3在列表画函数y ＝log 2x 的图象时，当x 分别取18，14，12

，1，2，4，8时，对应的y 值分别是什么？

问题4综合问题2、问题3的结果，你有什么感悟？

问题5观察画出的函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象，能发现它们的图象有怎样的对称关系？

问题6我们说函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，那

么对于一般的指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 又如何？

探究点二 互为反函数的概念

问题1对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 是一一映射吗？为什么？

问题2对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数，更一般地，如何定义互为反函数的概念？

问题3 如何求函数y ＝5x (x ∈R)的反函数？

例1 写出下列函数的反函数:

(1)y ＝lg x; (2)y ＝log 13

x; (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23x . 跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y ＝3x －1; (2)y ＝x 3＋1 (x ∈R); (3)y ＝x ＋1 (x≥0); (4)y ＝2x ＋3x －1

(x ∈R ，x≠1). 例2 已知函数f(x)＝a x －k 的图象过点(1，3)，其反函数y ＝f －1(x)的图象过(2，0)点，

则f(x)的表达式为_____________.

跟踪训练2函数y ＝log a (x －1)(a>0且a≠1)的反函数的图象经过点(1，4)，求a 的值. 探究点三 指数函数与对数函数的增长差异

问题1观察函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象，指出两个函数的增长有怎样的差异？

问题2你能列表对底数大于1的指数函数与对数函数从多个方面分析它们的差异吗？ 练一练：当堂检测、目标达成落实处

1.函数y ＝21－x ＋3 (x ∈R)的反函数的解析表达式为

( ) A.y ＝log 22x －3 B.y ＝log 2x －32 C.y ＝log 23－x 2 D.y ＝log 2

23－x 2.设函数f(x)＝log 2x 的反函数为y ＝g(x)，若g ⎝⎛⎭⎫1a －1＝14

，则a 等于 ( ) A.－2 B.－12 C.12

D.2 3.设a>0，a≠1，函数f(x)＝a x ，g(x)＝b x 的反函数分别是f －1(x)和g －1(x).若lg a ＋lg b ＝0，

则f －1(x)和g －1(x)的图象 ( )

A.关于x 轴对称

B.关于y 轴对称

C.关于原点对称

D.关于y ＝

x 对称

课堂小结：

1.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数.它们的图象关于直线y ＝x 对称.

2.求给定解析式的函数的反函数应本着以下步骤完成:

(1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域;

(2)从y ＝f(x)中解出x;

(3)x、y互换并注明反函数定义域.

3.反函数的定义域是原函数的值域，并不一定是使反函数有意义的所有x的集合.