含参变量的反常积分

η ( A) = sup
x∈[δ , +∞ )
{∫
+∞ A
xe
− xy
dy = e
}
−δ A
→ 0 ( A → +∞ ),
因此, 上一致收敛. 因此 该含参量积分在 [δ , +∞ ) 上一致收敛
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
定义1 若含参量反常积分(1)与函数 定义1 若含参量反常积分 与函数 I( y )对 ∀ε > 0 , 对
∃ A0 (ε ) > a ( A0 只与 ε 有关，与 y 的取值无关 ), 使得
对于 ∀A > A0，对∀y ∈ ∆ , 都有
+∞ a
I ( y) = ∫
f ( x , y )dx
∫
即
A
}
注2 由定义 I ( y ) = ∫ 由定义,
+∞
的充要条件是 的充要条件是 ∃ε 0 > 0, ∀A > a , ∃A′ > A 及 y0 ∈ ∆ ,
∫A′
+∞
f ( x , y0 )dx ≥ ε 0 .
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
一、含参量反常积分的一致收敛性
设函数 f ( x , y ) 定义在无界区域 R = [a , + ∞ ) × ∆ 上, 教材中∆=[c ]). 其中∆是任意区间 (教材中∆=[c, d]) 若对于 y ∈ ∆ , 反常积分
I ( y) = ∫
+∞ a
f ( x , y )dx
(1)
收敛，则由定义， lim 即
时, 时 , 对∀x ≥ δ > 0 , 由 (5) 式
上一致收敛. 所以J(x)在 x ≥ δ > 0 上一致收敛 在 所以 内不一致收敛. 现证明 J(x)在 (0, + ∞ ) 内不一致收敛 由一致收敛 在 定义的注2, 只要证明 存在某一正数 ε 0 , 使得对任 的注 只要证明: 何实数 M ( > c ) , 总相应地存在某个 A > M 及某个
一、含参量反常积分的一致收敛性 二、含参量反常积分一致收敛性的判别 三、含参量反常积分的性质 四、Euler 积分简介 温馨提示：本章知识抽象程度较高， 温馨提示：本章知识抽象程度较高，理 解难度较大，提请大家认真听讲！ 解难度较大，提请大家认真听讲！
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
x ∈ (0, +∞ ) , 使得
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∫
由于非正常积分 ∫0
+∞ A
f ( x , y )dy ≥ ε 0 .
xe − xydy = 1,
}
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
因此, 因此 含参量积分在 (0, +∞ ) 上非一致收敛 上非一致收敛. 而对于任何正数 δ , 有
∫
+∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
A′
sin u du < ε . u
取 Aδ > M , 则当 A >
M
δ +∞ sin xy ∫A′ y dy < ε ,
在 [δ , + ∞ )上一致收敛 (其中δ > 0), 但在 (0, + ∞ ) 内 不一致收敛. 不一致收敛. 证 作变量代换 u = xy , 得
+∞ sin u sin xy ∫A y dy = ∫Ax u du , +∞ sin u 收敛, du 收敛 故对任给的正数 其中 A > 0, 由于 ∫ 0 u ε , 总存在某一实数 , 当 A′ > M 时就有 总存在某一实数M +∞
An+1
∑u
i =1
p
n+ i
( y) = ∑ ∫
i =1
定理2 定理2
含 参 量 反 常 积 分 (1)在 ∆ 上 一 致 收 敛 的
充 要 条 件 是 : 对 任 一 趋 于 + ∞ 的 递 增 数 列{ An } (其 中
A1 = a ), 函数项级数
∑∫
n =1
∞
An+1
An
f ( x , y )dx = ∑ un ( y )
n =1
∞
在 ∆ 上一致收敛 其中 un ( y ) = ∫ An f ( x , y )dx . 上一致收敛, 注：本定理位于教材P254，只是一般性结论. 本定理位于教材P254，只是一般性结论. 证 只要利用关系式：
二、含参量反常积分一致收敛性的判别
定理1 一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分(1) 定理1 (一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分 上一致收敛的充要条件是: 在 [c , d ]上一致收敛的充要条件是 ∀ε > 0, ∃A > a , 使得当 ∀A1 , A2 > A时, 对一切的 y ∈ [c , d ], 都有
⇔ lim
A→+∞
∫
+∞ A
f ( x , y )dx = 0.
+∞ A
⇔ ∀ε > 0, ∃A0 (ε , y ) > a , ∀A > A0 , ∫
f ( x , y )dx < ε .
A′ A
⇔ ∀ε > 0, ∃A0 (ε , y ) > a , ∀A, A′ > A0 , ∫ f ( x , y )dx < ε .
+∞
内不一致收敛. 所以 J(x)在 (0, + ∞ ) 内不一致收敛 在 关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致 收敛之间的联系有下述定理. 收敛之间的联系有下述定理
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
+∞
sin u du 收敛 (后继内容中我们 后继内容中我们 后继内容中 u
将求出这个积分的值), 故对 ∀ε 0 > 0 与 ∀M > 0, 总 求出这个积分的值
∃ x > 0, 使得
+∞ sin u sin u ∫Mx u du − ∫0 u du < ε 0 , +∞
即
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
+
ε
2
= ε.
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
充分性 若 ∀ε > 0, ∃N > c , ∀M = A1 , A2 > N ,
∫
A2
A
a
f ( x , y )dx − I ( y ) <
ε
2
,
因此, 因此 ∀A1 , A2 > A,
∫
A1
f ( x , y )dx =
∫
A1
a
f ( x , y )dx − ∫
A2
a
f ( x , y )dx
≤
<
∫a
ε
2
A1
f ( x , y )dx − I ( y ) +
∫a
A2
f ( x , y )dx − I ( y )
+∞ sin u +∞ sin u sin u ∫0 u du − ε 0 < ∫Mx u du < ∫0 u du + ε 0 . 1 +∞ sin u 现令 ε 0 = ∫ du , 由此就有 2 0 u +∞ sin xy +∞ sin u ∫M y dy = ∫Mx u du > 2ε 0 − ε 0 = ε 0 .
a
f ( x , y )dx − I ( y ) < ε ,
∫
+∞
A
f ( x , y )dx < ε ,
一致收敛于I 则称含参变量的反常积分(1)在 则称含参变量的反常积分 在 ∆ 上一致收敛于I (y),
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∫
则令 A2 → +∞, 得 这就证明了 I ( x ) = ∫
A2
A1
f ( x , y )dy < ε .
+∞
∫
c
M
f ( x , y )dy ≤ ε .
+∞
上一致收敛. f ( x , y )dy 在 J 上一致收敛
*例2 证明含参量的反常积分
J ( x) = ∫
+∞
0
sin xy dy y
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
若对∀y ∈ ∆ , I ( y ) 都收敛，则 I ( y ) 在 ∆ 上收敛.
称(1)为定义在 ∆上的含参量 y 的无穷限反常积分 为定义在 的无穷限反常积分, 含参变量的反常积分. 或称含参变量的反常积分
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∫
*证 必要性 若I ( y ) = ∫
a
A2
A1
f ( x , y )dx < ε .
+∞
上一致收敛, f ( x , y )dx 在 ∆ 上一致收敛 则
∀ε > 0, ∃A > a , ∀A′ > A及 y ∈ ∆ , 有
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
与函数项级数相同, 含参量反常积分 的重要内容是判别含参量反常积分的 一致收敛性. 在相应的一致收敛的条件 一致收敛 下, 含参量反常积分具有连续性、 可 微性、 可积性. 含参量反常积分的一致 收敛性的判别法与函数项级数的一致 收敛性的判别法类似.
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
例1 讨论含参量反常积分
∫
的一致收敛性. 的一致收敛性.
+∞
0
xe − xy dy , x ∈ (0, +∞ )
解 若 x > 0, 令 u = xy , 则
∫
于是
+∞ A
xe
− xy
dy = ∫ e − u du = e − xA ,
xA
+∞
η ( A) = sup
x∈[0, +∞ )
{∫
பைடு நூலகம்+∞
A
A→+∞ a
A→+∞ a +∞ a
∫
A
f ( x , y ) dx 存在，并记为 f ( x , y ) dx = I ( y ).
lim
∫
A
f ( x , y ) dx = ∫
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
一致收敛. 或简单地说含参量积分(1)在 或简单地说含参量积分 在 ∆ 上一致收敛
注1 由定义 I ( y ) = ∫a f ( x , y )dx 在 ∆上一致收敛的 由定义, 充要条件是 充要条件是
+∞
η ( A) = sup
y∈∆
{∫
a
+∞ A
f ( x , y )dx → 0 ( A → +∞ ). f ( x , y )dx 在 ∆上不一致收敛