备战中考数学易错题精选-锐角三角函数练习题及答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,在△ABC中,AB=7.5,AC=9,S△ABC=81
4
.动点P从A点出发,沿AB方向以每秒
5个单位长度的速度向B点匀速运动,动点Q从C点同时出发,以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动,当点P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动,以PQ为边作正△PQM (P、Q、M按逆时针排序),以QC为边在AC上方作正△QCN,设点P运动时间为t秒.(1)求cosA的值;
(2)当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=9
5
S△QCN时,求t的值;
(3)当t为何值时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.
【答案】(1)coaA=4
5
;(2)当t=
3
5
时,满足S△PQM=
9
5
S△QCN;(3)当t=2733
-s或
2733
+s时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.
【解析】
分析:(1)如图1中,作BE⊥AC于E.利用三角形的面积公式求出BE,利用勾股定理求出AE即可解决问题;
(2)如图2中,作PH⊥AC于H.利用S△PQM=9
5
S△QCN构建方程即可解决问题;
(3)分两种情形①如图3中,当点M落在QN上时,作PH⊥AC于H.②如图4中,当点M在CQ上时,作PH⊥AC于H.分别构建方程求解即可;
详解:(1)如图1中,作BE⊥AC于E.
∵S△ABC=1
2
•AC•BE=
81
4
,
∴BE=
92
, 在Rt △ABE 中,AE=22=6AB BE -,
∴coaA=
64
7.55
AE AB ==. (2)如图2中,作PH ⊥AC 于H .
∵PA=5t ,PH=3t ,AH=4t ,HQ=AC-AH-CQ=9-9t , ∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+(9-9t )2, ∵S △PQM =9
5
S △QCN , ∴
3•PQ 2=935⨯•CQ 2, ∴9t 2+(9-9t )2=9
5
×(5t )2, 整理得:5t 2-18t+9=0,
解得t=3(舍弃)或35
. ∴当t=
35时,满足S △PQM =9
5
S △QCN . (3)①如图3中,当点M 落在QN 上时,作PH ⊥AC 于H .
易知:PM ∥AC , ∴∠MPQ=∠PQH=60°, ∴3, ∴39-9t ),
-.
∴t=2733
26
②如图4中,当点M在CQ上时,作PH⊥AC于H.
同法可得PH=3QH,
∴3t=3(9t-9),
∴t=27+33
,
26
-s或27+33s时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN 综上所述,当t=2733
26
的边上.
点睛:本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
2.已知Rt△ABC中,AB是⊙O的弦,斜边AC交⊙O于点D,且AD=DC,延长CB交⊙O 于点E.
(1)图1的A、B、C、D、E五个点中,是否存在某两点间的距离等于线段CE的长?请说明理由;
(2)如图2,过点E作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.
①若CF=CD时,求sin∠CAB的值;
②若CF=aCD(a>0)时,试猜想sin∠CAB的值.(用含a的代数式表示,直接写出结果)
【答案】(1)AE=CE;(2)①;②.
【解析】
试题分析:(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°,由于AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE;
(2)连接AE、ED,如图2,由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径,根据切线的性质可得∠AEF=90°,从而可证到△ADE∽△AEF,然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF.①当CF=CD时,可得,从而有EC=AE=CD,在Rt△DEC中运用三角函数可得
sin∠CED=,根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC,即可求出sin∠CAB的值;②当CF=aCD(a>0)时,同①即可解决问题.
试题解析:(1)AE=CE.理由:
连接AE、DE,如图1,∵∠ABC=90°,∴∠ABE=90,∴∠ADE=∠ABE=90°,∵AD=DC,
∴AE=CE;
(2)连接AE、ED,如图2,∵∠ABE=90°,∴AE是⊙O的直径,∵EF是⊙OO的切线,
∴∠AEF=90°,∴∠ADE=∠AEF=90°,又∵∠DAE=∠EAF,∴△ADE∽△AEF,∴,∴=AD•AF.
①当CF=CD时,AD=DC=CF,AF=3DC,∴=DC•3DC=,∴AE=DC,∵EC=AE,∴EC=DC,∴sin∠CAB=sin∠CED===;
②当CF=aCD(a>0)时,sin∠CAB=.
∵CF=aCD,AD=DC,∴AF=AD+DC+CF=(a+2)CD,∴=DC•(a+2)DC=(a+2),∴AE=DC,∵EC=AE,∴EC=DC,
∴sin∠CAB=sin∠CED==.
考点:1.圆的综合题;2.探究型;3.存在型.
3.如图,在矩形ABCD 中,AB =6cm ,AD =8cm ,连接BD ,将△ABD 绕B 点作顺时针方向旋转得到△A ′B ′D ′(B ′与B 重合),且点D ′刚好落在BC 的延长上,A ′D ′与CD 相交于点E . (1)求矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分(如图1中阴影部分A ′B ′CE )的面积;
(2)将△A ′B ′D ′以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移,如图2,当B ′移动到C 点时停止移动.设矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分的面积为y ,移动的时间为x ,请你直接写出y 关于x 的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围;
(3)在(2)的平移过程中,是否存在这样的时间x ,使得△AA ′B ′成为等腰三角形?若存在,请你直接写出对应的x 的值,若不存在,请你说明理由.
【答案】(1)45
2
;(2)详见解析;(3)使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有:0秒、
32 669-. 【解析】 【分析】
(1)根据旋转的性质可知B ′D ′=BD =10,CD ′=B ′D ′﹣BC =2,由tan ∠B ′D ′A ′=
'''''
=A B CE A D CD 可求出CE ,即可计算△CED ′的面积,S ABCE =S ABD ′﹣S CED ′; (2)分类讨论,当0≤x ≤
115时和当11
5
<x ≤4时,分别列出函数表达式; (3)分类讨论,当AB ′=A ′B ′时;当AA ′=A ′B ′时;当AB ′=AA ′时,根据勾股定理列方程即