锐角三角函数专题复习资料
![锐角三角函数专题复习资料](https://img.360docs.net/imgc5/1n13rs00r6odgi5tcys1t90wjjlm3fyt-51.webp)
![锐角三角函数专题复习资料](https://img.360docs.net/imgc5/1n13rs00r6odgi5tcys1t90wjjlm3fyt-22.webp)
中考数学专题题库∶锐角三角函数的综合题及答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥CD , ∠ACB =90°, AB=10cm , BC=8cm , OD 垂直平分 A C .点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P 作 PE ⊥AB ,交 BC 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥AC ,分别交 AD , OD 于点 F , G .连接 OP ,EG .设运动时间为 t ( s )(0<t <5) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上? (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)连接 OE , OQ ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE ⊥OQ ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)4s t =;(2)PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ,(05)t <<;(3)5 2t =时, PEGO S 四边形取得最大值;(4)16 5 t = 时,OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 (1)当点E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP ⊥AB ,EC ⊥AC ,可得PE=EC ,由此构建方程即可解决问题. (2)根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +(S △OPC +S △PCE -S △OEC )构建函数关系式即可. (3)利用二次函数的性质解决问题即可. (4)证明∠EOC=∠QOG ,可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ,推出EC GQ OC OG =,由此构建方程即可解决问题. 【详解】 (1)在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=10cm ,BC=8cm , ∴22108-=6(cm ), ∵OD 垂直平分线段AC , ∴OC=OA=3(cm ),∠DOC=90°, ∵CD ∥AB ,
初三数学锐角三角函数通用版
初三数学锐角三角函数通用版 【本讲主要内容】 锐角三角函数 包括:正弦、余弦、正切。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在Rt △ABC 中,∠C =90°,我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA 。 即 c a A A sin == 斜边的对边∠;把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即c b A A cos =∠=斜边的邻边;把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA ,即 b a A A A t an =∠∠=的邻边的对边。 2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 3. 特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° sin α 1 2 22 32 cos α 32 22 12 tan α 33 1 3 4. 记忆方法: 【解题方法指导】 例1. (2000年成都市)如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠ABC =60°,D 是AC 的中点,那么tan ∠DBC 的值是________。 锐 角 α 三 角 函 数
分析:在Rt △ABC 中,由∠ABC =60°,可知3BC AC 60tan == ,即AC =3BC ,又CD = 1 2 AC ,tan ∠DBC 可求。 解:在△ABC 中, ∵∠C =90°,∠ABC =60°, ∴tan ∠ABC =tan60°=3BC AC =, ∴AC =3BC 。 又D 是AC 中点, ∴DC = 12AC =32 BC 。 ∴2 3 BC BC 23 BC DC DBC tan = ==∠。 评析:在解题中紧紧扣住tan α的定义。 例2. (2001年四川)在Rt △ABC 中 ,CD 是斜边AB 上的高,已知3 2 ACD sin = ∠,那么=AB BC ______。 分析:由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ,可得∠ACD =∠B ,由sin ∠ACD = 2 3 ,那么sinB =23,设AC =2,AB =3,则BC =32522-=,则AB BC 可求。 解:∵∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D , ∴∠ACD =∠B 。 又sin ∠ACD =sinB = 23 , 可设AC =2,AB =3, ∴BC =32522-=。
锐角三角函数知识点
锐角三角函数知识点总结与习题附答案 1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 9. 如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角, 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B): 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
6、正弦、余弦的增减性: 当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性: 当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。 依据:①边的关系:222c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例: 10. 仰角:视线在水平线上方的角; 11. 俯角:视线在水平线下方的角。 (3)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示,即h i l = 。坡度一般写成 1:m 的形式,如1:5i =等。把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。 如图4:OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°(东北方向),南偏东45°(东南方向),南偏西60°(西南方向),北偏西60°(西北方向)。 锐角三角函数(1) 基础扫描 1.求出下图中sinD ,sinE 的值. 12. 把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′, 那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为( ). A .sinA =sinA ′ B . sinA =2sinA ′ C .2sinA =sinA ′ D .不能确定 3.在Rt △ABC 中,∠C =90°,若AB =5,AC =4,则sinB 的值是( ) A . 35 B . 45 C . 34 D . 4 3 13. 如图,△ABC 中,AB=25,BC=7,CA=24. 求sinA 的值. 5. 计算:sin30°·sin60°+sin45°. 能力拓展 6. 如图,B 是线段AC 的中点,过点C 的直线l 与AC 成60°的角,在直线上取一点P ,连接AP 、PB ,使sin 8 5 F E D 25 247 C B A
培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再
初中数学九年级锐角三角函数知识点总结
【苏教版】初中数学九年级知识点总结 28锐角三角函数 一、知识框架 二、知识点、概念总结 1.Rt△ABC中 (1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦,记作sinA= \f(∠A的对边,斜边) (2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦,记作cosA= 错误! (3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切,记作tanA= 错误! (4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切,记作cota= 错误! 2.特殊值的三角函数: a sina cosa tana cota 30°1 2 错误!错误!错误! 45°错误!错误! 1 1 60°错误!1 2 3 错误! 3.互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.4. 同角三角函数间的关系 平方关系: sin2(α)+cos2(α)=1 tan2(α)+1=sec2(α) cot2(α)+1=csc2(α) 积的关系: sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 5.三角函数值 (1)特殊角三角函数值 (2)0°~90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。 (3)锐角三角函数值的变化情况 (i)锐角三角函数值都是正值 (ii)当角度在0°~90°间变化时, 正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) (iii)当角度在0°≤∠A≤90°间变化时, 0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0, 当角度在0°<∠A<90°间变化时,
锐角三角函数练习题及答案
锐角三角函数 1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′,那么锐角A ,A ′的余弦值的关系为( ) A .cosA=cosA ′ B .cosA=3cosA ′ C .3cosA=cosA ′ D .不能确定 2.如图1,已知P 是射线OB 上的任意一点,PM ⊥OA 于M ,且PM :OM=3:4,则cos α的值等于( ) A .34 B .43 C .45 D .35 图1 图2 图3 图4 图5 3.在△ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c ,则下列各项中正确的是( ) A .a=c ·sin B B .a=c ·cosB C .a=c ·tanB D .以上均不正确 4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=23 ,则tanB 等于( ) A .35 B .3 C .25 D .2 5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则sinA=______,cosA=______,?tanA=_______. 6.如图2,在△ABC 中,∠C=90°,BC :AC=1:2,则sinA=_______,cosA=______,tanB=______. 7.如图3,在Rt △ABC 中,∠C=90°,b=20,,则∠B 的度数为_______. 8.如图4,在△CDE 中,∠E=90°,DE=6,CD=10,求∠D 的三个三角函数值. 9.已知:α是锐角,tan α=724 ,则sin α=_____,cos α=_______. 10.在Rt △ABC 中,两边的长分别为3和4,求最小角的正弦值为 10.如图5,角α的顶点在直角坐标系的原点,一边在x 轴上,?另一边经过点P (2,,求角α的三个三角函数值. 12.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BD ⊥AC 于D ,∠CBD=α,AB=3,?BC=4,?求sin α,cos α,tan α的值. 解直角三角形 一、填空题 1. 已知cosA=2 3,且∠B=900-∠A ,则sinB=__________.
锐角三角函数专题
如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人:王震宇 张洪林 一、选择题(30分) 1、如果∠A 是锐角,且A cos A sin =,那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α,那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A 的正切值( ) A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,则sin A 的值等于( ) A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角,下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α,那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α,那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中,∠C =90°,53 sin = A ,则BC ∶AC 等于( ) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5: 9、 如果α是锐角,且5 4 sin = α,那么)90cos(α-?=( ) A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,BD =6,CD =11,则tan α的值为( )
锐角三角函数知识点考点总结
1 锐角三角函数定义 锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan)叫做角A的锐角三角函数。 正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c 余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c 正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b 锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的,所以在初中阶段求锐角的三角函数值,都是通过构造直角三角形来完成的,即把这个角放到某个直角三角形中。 1)锐角三角函数值都是正值。 2)当角度在0°~90°间变化时, 正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小); 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大); 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小); 4同角三角函数基本关系式 sin? = cos a tan a a 5互为余角的三角函数间的关系 - sin(= 90 a cos ) a
a a sin )90cos(=- 6 解直角三角形的基础知识 在Rt ABC ?中, 90=∠C ,A ∠,B ∠,C ∠所对的边分别为a ,b ,c (1) 三边之间的关系:222c b a =+ (2) 锐角之间的关系:A ∠+B ∠=C ∠= 90 (3) 边角之间的关系:c a A = sin ;c b A =cos ;b a A =tan ; c a B =cos ;c b B =sin ;a b B =tan (4) 面积公式:ch ab S 2 121==?(h 为斜边上的高) 7 切),宁乘勿除,取原避中”。其含义是当已知或求解中有斜边时,可用正弦或余弦;无斜边时,就用正切;当所求元素既可用乘法又可用除法时,则通常用乘法,不用除法;既可用已知数据又可用中间数据求解时,则取已知数据,忌用中间数据。 8 解直角三角形应用题中的常见概念 (1)坡角:坡面与水平面的夹角,用字母α表示。 坡度(坡比):坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比,用字母i 表示,则αtan ==l h i