第三节-二阶常系数线性微分方程的解法

(*)
情形3
若 r 是特征方程的二重根, 即 r 2 ar b 0 ,
且 2r a 0 , 则令 Q( x) x 2 Qm ( x) , 即
y x Qm ( x ) e
2

rx
15
2 Q ( 2r a )Q ( r ar b)Q Pm ( x )
于是 (2)的通解为
y (C 1 C 2 x ) e
1 x
.
6
情形3 若 0 , 则特征方程(3)有一对共轭复根
1,2 i
x x y e cos x , y e sinx 可以证明, 1 2
是(2)的解，且线性无关， 所以方程(2)的通解为
y e (C1 cos x C 2 sin x )
1 x
,得
2 u (21 a)u (1 a1 b)u 0 ,
因为 1 是方程 2 a b 0 的二重根,
2 故有 1 a1 b 0 , 21 a 0 ,
1 x u x , 即得 y2 x e , u 0 , 取特解

rx
情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r 2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x ) xQm ( x ) , 即
y xQm ( x ) e r x
14
2 Q ( 2r a )Q ( r ar b)Q Pm ( x )
2
3x
的通解.
特征方程 6 9 0 , 特征根 1, 2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x) e3 x .
因为 r 3 是二重特征根,
所以设特解为 y x 2 ( Ax B) e 2 x ( Ax 3 Bx 2 ) e 2 x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax Bx 代入
10
三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x ) 对应齐次方程 y ay by 0
(1) (2)
1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个 解是(1)的解； 2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 .

定理2 设 y ( x) 是方程(1) 的一个特解,
x
7
小结
y ay by 0
特征根的情况 实根 r1 r2
a b 0
2
通解的表达式
y C1er1 x C2er2 x
实根 r1 r2
复根 r1, 2 i
y (C1 C2 x) er1 x
y ex (C1 cosx C2 sinx)
Y ( x) 是(2) 的通解, 那么方程(1)的通解为
y Y y .
11

三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x ) 对应齐次方程 y ay by 0
(1) (2)
定理2 设 y ( x) 是方程(1) 的一个特解,
Y ( x) 是(2) 的通解, 那么方程(1)的通解为
17
例5 解
求方程 y 3 y 2 y xe 2 x 的通解 .
特征方程 2 3 2 0 ,
2 2 ， 特征根 1 1，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2 x .
2 是单根，
所以设 y x( Ax B) e x( Ax Bx) e , 代入方程， 1 得 2 A 2 Ax B x A ， B 1， 2 1 2x 于是 y x( x 1)e ， 2 1 x 2x 原方程通解为 y C1e C 2e x ( x 1) e 2 x . 2
4
a b 0
2
(3)
记
a 4b ,
2
情形1 若 0 , 则特征方程(3)有两个相异的实根
a , 1, 2 2 1 x 2 x 得到方程(2)的两个特解 y1 e ,y2 e ,
而 y1 ( x ) / y2 ( x ) e
( 1 2 ) x
Q( x ) , 从而得到特解 y .
若 f ( x ) Pm ( x ) ， 可看成是r 0 的特殊情形。
16
例4 求微分方程 y 2 y 3 y 3 x 1 的通解. 解
特征方程 2 2 3 0 特征根
1 3，2 1
Y C1e C2e ,
特征根为 1 2 1 故通解为 s (C1 C2 t ) e t
t s ( C C C t ) e , s(0) C1 4 , 2 1 2
s(0) C2 C1 2 , C2 2 ,
所以所求特解为 s (4 2t ) e t .
3
二、二阶常系数齐次线性方程的解法
y ay by 0 (2) 下面来寻找方程(2)的形如 y ex 的特解.
将 y ex 代入方程(2), 得 (2 a b) ex 0 ,
而e
x
0 ,于是有
a b 0
2
(3)
代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程, 它的根称为特征根(或特征值).
(*)
13
2 Q ( 2r a )Q ( r ar b)Q Pm ( x )
2 情形1 若 r 不是特征根, 即 r ar b 0 ,
(*)
则可设 Q( x) 为次数与 Pm ( x ) 次数相同的多项式:
Q( x ) Qm ( x ) , 即 y Qm ( x ) e
(*)
综上讨论
y ay by e r x Pm ( x )
Qm ( x ) ， 不是特征根
rx y Q ( x ) e ， 设特解为
其中 Q( x )
xQm ( x ) ， 是单特征根
x 2Qm ( x ) ， 是二重特征根
然后将 y 代入原方程，或根据恒等式(*)来确定
(2)
1
称为二阶常系数齐次线性微分方程。
二阶常系数齐次线性方程解的性质
回顾
一阶齐次线性方程
y P( x ) y 0
(1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；
2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质
y ay by 0
(2)
3x x
对应齐次方程通解
因为 r 0 不是特征根, 故设特解 y Ax B ,

代入原方程,得
2 A 3( Ax B) 3 x 1

1 所以特解 y x , 3 1 x 3x 即原方程的通解为 y C 1 e C 2 e x . 3
1 A 1, B , 3
y Y y .
问题归结为求方程(1)的一个特解. 只讨论 f (x) 的两种类型. 用待定系数法求解.
12

1、f ( x ) e r x Pm ( x ) 型
其中 r 是一个实数,Pm ( x) 是 m 次多项式.
设 y Q( x)er x , 其中Q( x) 是多项式, 则
rx rx ( y ) Q ( x)e Q( x )e
1 代入方程, 得 6 Ax 2 B x , 解得 A , B 0 , 6
1 3 3x 所以特解 y x e , 6

从而方程的通解为 y ( C 1 C 2 x ) e
3x
1 3 3x x e . 6
19
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e 解
3 2
2 Q ( 2r a ) Q ( r ar b) Q Pm ( x )
现即 Q( x ) Pm ( x ) , 即得 6 Ax 2 B x .
这样比代入原方程要简便得多。
20
x 例7 求微分方程 y 4 y 4 y e 的通解,

此时原方程的通解为
y (C1 C 2 x )e
8
例1
解
求微分方程 y 2 y 3 y 0 的通解.
特征方程为 2 2 3 0
特征根为 1 1, 2 3
故所求通解为 例2 解
y C1e x C2e3 x
求方程 y 2 y 5 y 0 的通解.
特征方程为 2 2 5 0
其中 为实数.
2 特征方程 4 4 0 , 特征根 1, 2 2 ， 解
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x) e2 x .
1 ）若 2 , 则设特解为 y Ax 2e2 x ,
1 1 2 2 x 代入原方程 ,得 A , 即特解为 y x e , 2 2 1 2 2 x 2 x x e ； 此时原方程的通解为 y (C 1 C 2 x )e 2
第三节
二阶常系数线性微分方程的解法
一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解的结构
二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x )
其中a,b是常数.
(1)
若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
若 f ( x ) 0 , 即方程
y ay by 0
rx rx 2 rx ( y ) Q ( x)e 2Q ( x)e Q( x)e
代入方程 y ay by f ( x) ,
整理并约去 e
rx
,得
2 Q ( 2r a )Q ( r ar b)Q Pm ( x )
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；
2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
定理1 如果 y1 ( x ), y2 ( x ) 是方程 (2)的两个解 , 则
y C1 y1 ( x ) C2 y2 ( x )
也是(2)的解.
y1 ( x ) 如果 常 数(称线性无关), 则上式为(2)的通解. y2 ( x )
2x 2 2x
18
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e 解
2
3x
的通解.
特征方程 6 9 0 , 特征根 1, 2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x) e3 x .
因为 r 3 是二重特征根,
所以设特解为 y x 2 ( Ax B) e 2 x ( Ax 3 Bx 2 ) e 2 x ,
C , 故它们线性无关,
2 x
5ห้องสมุดไป่ตู้
因此(2)的通解为
y C1e
1 x
C 2e
情形2 若 0 , 则特征方程(3)有两个相等的实根 a 1, 2 , 只得到方程(2)的一个特解 y1 e1 x , 2 需要求另一个特解 y2 , 使 y2 / y1 常数.
设 y2 / y1 u( x ) , 即 y 2 u( x ) e 1 x , 代入方程 (2), 并约去 e
Q( x ) Ax , Q Pm ( x ) , 2 A 1
2
21
x y 4y 4y e
x 2 2 ）若 , 则设特解为 y Ae ,
1 代入原方程 , 得 A , 2 ( 2)
1 x 即特解为 y e , 2 ( 2)
解得 1， 2 1 2i , 故所求通解为
y e (C1 cos2 x C2 sin2 x )
9
x
ds ds 例3 求微分方程 2 2 s 0 满足初始条件 dt dt
s(0) 4, s(0) 2 的特解.
解 特征方程为
2
2 2 1 0