【毕业设计】区间上连续函数用多项式逼近的性态

区间上连续函数用多项式逼近的性态

摘要

在实际的应用中，经常遇到这样的问题：为解析式子比较复杂的函数寻找一个多项式来近似代替它，并要求其误差在某种度量下意义下最小．这就是用多项式来逼近函数问题的研究

本文主要讨论了区间上连续函数用多项式逼近的性态．首先给出了在闭区间上连续函数用多项式逼近的相关结论——Weierstrass逼近定理，是Weierstrass于1885年提出的，这条定理保证了闭区间上的任何连续函数都能用多项式以任意给定的精度去逼近．通过引用Bernstein多项式和切比雪夫多项式给出了相应的证明．其次列出了Bernstein多项式以及由Bernstein算子推广得到的Kantorovich算子它们的概念、一些具体的性质以及推广和应用．最后，引进推广到无穷区间上的S．Bernstein多项式，进一步研究了无穷区间上连续函数用多项式逼近的性态，并得到了相关结论．

关键词：Weierstrass逼近定理；Bernstein多项式；Kantorovich算子；S．Bernstein 多项式；无穷区间

Polynomial approximation of continuous

functions on the interval property

Abstract：In practical applications，often encounter this problem: to find a polynomial to approximate the more complex function of the analytical formula，and requested the minimum of the error is some kind of metric significance．This is the polynomial approximation function problems．

This article focuses on the behavior of interval polynomial approximation of continuous functions．Firstly，the conclusions continuous function on a closed interval with a polynomial approximation - Weierstrass approximation theorem，is weierstrass 1885，which Article theorem guarantees of any continuous function on the closed interval can use polynomials to approximate any given accuracy．Through quoted the Bernstein multinomial and the Chebyshev multinomial has given the corresponding proof．Next has listed the Bernstein multinomial as well as the Kantorovich operator which obtains by the Bernstein operator promotion their concept，some concrete nature as well as the promotion and the application．Finally，the introduction promotes to the infinite sector in the S．Bernstein multinomial，further has studied in the infinite sector the continuous function the condition which approaches with the multinomial，and obtained the related conclusion．

Key words：Weierstrass approximation theorem，Bernstein polynomials; Kantorovich operator; S．Bernstein polynomial; infinite interval

第1章绪论 (1)

1．1区间上连续函数用多项式逼近的性态研究的背景 (1)

1．2区间上连续函数用多项式逼近的性态研究的意义 (1)

第2章WEIERSTRASS逼近定理的证明及应用 (3)

2．1W EIERSTRASS逼近定理的第一种证明 (3)

2．1．1 Weierstrass逼近定理的Bernstein证明 (3)

2．1．2 闭区间[]b a,上的weierstrass逼近定理 (6)

2．2W EIERSTRASS逼近定理的第二种证明 (6)

2．3W EIERSTRASS逼近定理的推广 (9)

2．3．1 Weierstrass第二定理 (9)

2．3．2 Weierstrass-Stone定理 (10)

2．3．3 Weierstrass逼近定理的逆定理 (11)

第3章BERNSTEIN多项式和KANTOROVICH算子 (13)

3．1B ERNSTEIN多项式 (13)

3．1．1 Bernstein多项式的定义 (13)

3．1．2 Bernstein算子的一些性质 (14)

3．2K ANTOROVICH算子 (19)

3．2．1 Kantorovich算子的定义 (19)

3．2．2 Kantorovich算子的性质 (20)

3．2．3 Lebesgue可积函数的Kantorovich算子逼近 (21)

3．2．4 加权的Kantorovich算子 (22)

第4章S．BERNSTEIN多项式在无穷区间上的推广 (25)

4．1无穷区间上S．B ERNSTEIN多项式的定义 (25)

4．2无穷区间上S．B ERNSTEIN多项式逼近定理 (25)

第5章结论 (33)

参考文献 (35)

致谢............................................................................................ 错误！未定义书签。

第1章绪论

1．1区间上连续函数用多项式逼近的性态研究的背景

众所周知，逼近的思想和方法渗透于几乎所有的科学，其中包括自然学科和人文学科．逼近论是一门研究各类函数性质的学科，同时它又是计算数学、科学工程计算诸多数值方法（包括函数计算、数值微分、微分、积分方程数值解，曲线、曲面生成以及数据处理等等）的理论基础和方法根据．

函数逼近论是一门历史悠久内容丰富而且实践性很强的学科，是数学中最蓬勃发展的领域之一．其发展经历了一个相当漫长的时期．早在十九世纪五十年代，人们已经对函数逼近论有了深入的研究．1859年Chebyshev提出的最佳逼近的特征定理、1885年Weierstrass所建立的关于连续函数可以用多项式逼近的著名定理，使得函数逼近成为现代数学的一个重要分支．

但函数逼近论作为一门独立的学科得以蓬勃发展却是上个世纪Jackson，Bernstein以及苏联学派的一系列深刻工作所推动的．Bernstein多项式在函数逼近论中是一个古典的工具，也是迄今为止最受人们注意的正线性算子．它在逼近论中的地位，显然是由Bernstein收敛定理确立的．但是遗憾的是，它的收敛速度十分缓慢．此外，由Bernstein算子变形产生了许多算子．

沈燮昌对函数逼近论的发展做了一个较为详尽的总结和概括，其中说函数逼近论不仅研究实变函数域多项式的逼近问题，而且还研究其他函数系诸如有理函数、指数函数、无理函数、逐段多项式的最佳逼近以及复数域上各种函数系的最佳逼近．本文通过证明Weierstrass逼近定理，以及对Bernstein多项式和由Bernstein算子推广得到Kantorovich算子的研究，引入S．Bernstein多项式将对连续函数用多项式逼近的性态的研究闭区间推广到无穷区间等．

1．2区间上连续函数用多项式逼近的性态研究的意义

在计算机的时代，逼近论正以前所未有的速度，迅速地向前发展着．函数逼近问

题是从绘图学、机械设计等实际需要中提出来的．函数逼近理论的研究具有悠久的历史，其研究的核心为用简单函数来逼近一类较为复杂的函数，其中心问题是研究各类函数的光滑性与逼近程度的相互关系．

多项式问题的研究是一个古老但非常有意义的问题，它在现代数学中占有重要地位．多项式逼近是数值分析中的最重要的方法之一，因为多项式便于计算，便于求导数，求积分．因此多项式逼近在数学分析和数值逼近理论中一直占有十分重要的位置，人们不断从各个角度研究其逼近的方法和应用．随着数学理论研究的深入和计算机技术的发展，由于电子计算机只能做算术运算，因此，在计算机上计算函数必须用其他简单的函数来逼近（例如用多项式来逼近函数），且用它来代替原来精确的函数计算．多项式函数由于其计算上的简单性，在数值近似理论以及工程计算方面有着广泛的应用．

在实际的应用中，经常遇到这样的问题：为解析式子比较复杂的函数寻找一个多项式来近似代替它，并要求其误差在某种度量下意义下最小．这就是用多项式来逼近函数问题的研究．在现实生活中，对于某些具体问题，我们可以观察很多数据，用观察法很难发现规律，但利用多项式逼近来研究实际问题的规律，往往能简化用来拟合观测数据的复杂函数，使得问题简化，从而多项式逼近问题在数学领域和实际生活领域中得到广泛的应用．因此，研究区间上连续函数用多项式逼近的性态，进而对其进一步研究有着十分重要的意义．

第2章 Weierstrass 逼近定理的证明及应用

在一致逼近的理论中，遇到的第一个问题是:在预先给定的精度下，能否用多项式逼近任意给定的连续函数? 1985年，Weierstrass 对这个问题给出了肯定回答．Weierstrass 逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一，该定理阐述了在预先给定的精度下，可以用多项式逼近任意给定的闭区间上的连续函数． Weierstrass 逼近定理

设 ()[],f x C a b ∈ ，则存在多项式 (), n=1,2,3,n n p x p ∈，

使 lim max ()()0n n a x b

f x p x →∞≤≤-=．

2．1 Weierstrass 逼近定理的第一种证明

2．1．1 Weierstrass 逼近定理的Bernstein 证明

对于这个著名的定理，有多种不同的证明方法．下面将给出Bernstein 的证明．定义2.1 设()[]1,0C x f ∈，()x f 的第()1≥n n 个Bernstein 多项式由下式给出:

n k n

k n n x x k n n k f x f B f B -=-?

? ????? ??==∑)1();()(0．（2-1）显见n n P f B ∈)(．

引理2.1 下列恒等式成立:

(1)()110=-???

? ??-=∑k

n k n

k k x k n ， (2)()()010=-?

? ??--=∑k

n k n

k x x k n nx k ， (3)()()()x nx x x k n nx k k

n k n

k -=-?

? ??--=∑112

0．引理2.2 对任意给定的0δ> 及10≤≤x ，有

()2411δδn x x k n k n k x k ≤-???

? ??-≥-∑，其中求和号表示对固定的x 满足不等式

δ≥-x n

的k 求和．该引理的意义在于当n 很大时，在和式()01n

n k

k k n x x k -=??- ???∑中，起主要作用的只是满足

条件

δ<-x n

的那些k 值所对应的项的和，而其余的项对和的值无多大影响．证明：我们从(1)知()110=-???? ??-=∑k

n k n

k k x k n ，因此两边同时乘以()x f 有

()x f =()()k

n k n

k x x k n x f -=-?

? ??∑10．对任意0>δ，我们有

()()x f f B n -≤()()k

n k n

k x x k n x f n k f -=-?

? ??-??? ??∑10 =

()∑<

--???

??δ

x n k x f n k f ()k n k x x k n --???

? ??1 +

()∑

≥--??

??δ

x n k x f n k f ()k n k x x k n --???

? ??1．由于()x f 在x 处连续，对任给0>ε，存在0>δ，使得

当

δ<-x n k 时，()ε<-??

??x f n k f ，故第一个和式

()∑

<--??

??δ

x n k x f n k f ()k n k x x k n --???

? ??1 ε≤()k

n k x k x x k n -<--?

? ??∑1δ ε≤()k n k n

k x x k n -=-???

? ??∑10ε=．又由()x f 在[]1,0上连续，所以存在0M >，使得

()()M x f n k f x f n k f ≤+??

??≤-??? ??．故由引理2.2，第二个和

()∑≥

--??

??δ

x n k x f n k f ()k n k x x k n --???

? ??1 ≤()∑≥---??

? ??δx n k k n k x x n k M

4δn M ≤．因此，对任何0>ε，先取0>δ，使得当

δ<-x n k 时，()ε<-??

??x f n k f 然后固定δ，再取n 充分大，就有()()ε2<-x f f B n ．证毕．

注意到我们在定理的证明中，对第一个和只用到()x f 在x 处连续，对第二个和只用到()x f 在[]1,0上有界．因此有

Bernstein 定理：设()x f 在[]1,0上有界，则()()x f f B n n =∞

→lim 在任何()x f 的连续

点[]1,0∈x 成立．如果()[]1,0C x f ∈，则极限在[]1,0上一致成立．

注 (1) 若有界函数()x f 在点x 处存在有限的二阶导数()x f "，

则()()()()()n

n x x n x f x f f B n ρ+-''+=12，其中()()∞→→n n 0ρ． (2) 若()x f 在[]1,0上有连续的导数()x f '，则()x B n '

一致收敛于()x f '．

(3) 设()[]1,0C x f ∈，那么()

()()()x f f B p p n

n =∞

→lim 在[]1,0上一致地成立． (4) 若()()0≥x f p ，∈x []1,0，那么，()

()0≥f B p n ，∈x []1,0．

(5) 若()x f 在[]1,0上是非减的，那么()f B n 在[]1,0上也是非减的． (6) 若()x f 在[]1,0上是凸的，那么()f B n 在[]1,0上也是凸的．

由以上的推论可知，一个连续函数的Bernstein 多项式逼近与被逼近函数的极值和高阶导数有关，并且单调的和凸的函数分别产生单调的和凸的逼近．

2．1．2 闭区间[]b a ,上的weierstrass 逼近定理设()[]b a C x f ,∈，则存在多项式n n P x p ∈)(，使得

0)()(max lim =-≤≤∞→x p x f n b

x a n ．（2-2）

证明：令()a b y a x -+=，则有()()()()y a b y a f x f ?=-+=．因为a

b a

x y --=

，所以()y ?是定义在[]1,0上的连续函数，于是由Weierstrass 逼近定理知存在多项式()k n

k k y c y Q ∑==0

，使得对于一切[]1,0∈y ，有

()()()()ε?<--+=-∑=n

k k k y c a b y a f y Q y 0

．

也就是 ()[]b a x a b a x c x f n

k k

k ,,0

∈

??---∑=ε．证毕．

2．2 Weierstrass 逼近定理的第二种证明

首先引入切比雪夫多项式(Chebyshev’s polynomials )的一个多项式核．引理2.3 恒等式cos () ,2,1,cos cos 2

=+=∑-=-n n k n k n k n

n θλθθ为真，

其中()()n n n 10,,-λλ 为某些常数．

推论2.3 当[]1,0∈x 时，恒等式

()() ,2,1,2

arccos cos 1

=+=∑-=-n x x x n k n k n k n

n λ成立．

定义2.2 称多项式()()x n x T n arccos cos =为n 次切比雪夫多项式．

设()()()x n x T n arccos 12cos 12+=+是12+n 次切比雪夫多项式，对任意N n ∈，在

[]1,1-上令

()()2

121??????=+x x T x K n n n γ，其中()dx x x T n n 2

1112?-+??

????=γ．（2-3）如上定义的()x K n 在定理证明中将起到多项式核的作用．它具有下列性质: 性质1 ()x K n 是n 4次多项式，且是偶数．性质2 由定义显然有下面的恒等式()11

1=?-dx x K n ．

性质3 对于何()1,0∈δ，及N n ∈都有()δ

n dx x K n 1

?．证明：由第一种证明可知，我们只需证明[][]1,1,-=b a 的情况即可．首先将()x f 连续开拓到[]2,2-上．

例如，我们令()x f =()()()[)[](].,,

2,11,11,2,,,11∈-∈--∈??

??-x x x f x f f 显然，()x f 在[]2,2-上一致连续．

对任意N n ∈，当∈x []1,1-时，以n K 为核构造函数 ()()dt x t K t f x P n n ??

??-=

?-33122． (2-4)

由于n K 是n 4次多项式，故()()k

n k n k n x t x t K ∑==??? ??-40

3λ．所以

()()()()k

n k k n k x dt x t t f μλ=?

-2

，

其中()

n k μ是常数，故而()x P n 是一个n 4次的多项式．

令3

t -=

η，(2-4)就变为 ()()()ηηηd K x f x P n x x n ?

---+=323

23 (2-5)

由性质2，可得

()()=

-x P x f n ()()()()?

?----+-323

3x x n n

d K x f d K x f ηηηηη

()()[]()ηηηδ

δd K x f x f n

?-+-33

+()()ηηδδd K x f n ??? ??+??--1331()()ηηηδδd K x f n x x 332333

2+???

??+-??---- ≤()()?-+-33

3δ

ηx f x f ()ηηd K n +()()ηηδδd K x f n ??? ?

?+??--1331

+()()ηηηδδd K x f n x

x 33233

32+???

??+??----．将上式中最后所得三个积分依次记为32,1,I I I ．

由于()x f 在[]2,2-上一致连续，故对任意0>ε，存在0>δ．当

[]2,2,,2121-∈<-x x x x δ时必有()()ε<-21x f x f ， (2-6)

所以 ()εηηεδ

δ<≤?-d K I n 3

1．

设[]

()x f M x 2,2max -∈=，那么

()δ

ηηδn M

d K M I n 621

≤?． ()ηηδδd K M I n x

x ???

? ??+≤??----323

323()δηηδδn M d K M n 61331

εn M

x P x f n 12+

<-．因此，对任意0>ε，先取定δ，使(2-6)成立，然后固定δ，再取n 充分大就有

()()ε2<-x P x f n ．证毕．

2．3 Weierstrass 逼近定理的推广

2．3．1 Weierstrass 第二定理

Weierstrass 逼近定理说明了可以用多项式来逼近[]b a ,上的连续函数，Weierstrass 第二定理将给出关于三角多项式和周期连续函数的一个相应的结论．

设()π2C x f ∈，对任意0>ε，存在三角多项式()x T ，使得对于一切实数x ，都有

()()ε<-x f x T ．其中π2C 表示()∞∞-,上以π2为周期的连续函数集合．

也就是说，任何具有周期π2的连续函数都能用三角多项式一致地逼近．引理2.4 若()π?2C x ∈，则对于任何a ，等式()()dx x dx x a a

=+π

??20

2都成立．

引理2.5 对任何N n ∈有下面的恒等式()2

!2!!12cos 20

2π

n n tdt n -=

?．

引理2.6 对于一切实数，一致地有 ()()x f x V n n =∞

→lim ．

其中()π2C x f ∈，()()()dt x

t t f n n x V n

n 2

cos 21

!!12!!22--=

．

要想由此推得Weierstrass 第二定理，只须证明()x V n 是一个三角多项式即可．为此，我们需要下列引理．

定义2.3 若0>+n n b a ，则称三角多项式

()()∑=++=n

k k k n kx b kx a A x T 1sin cos 的阶为n ．（2-7）

引理2.7 两个三角多项式的乘积仍为一个三角多项式，且其阶等于两因子阶之和．

引理2.8 若三角多项式()x T 为一偶函数，即()()x T x T =-，则

它可以表示成()∑=+=n

k k kx a A x T 1

cos 的形式，即式中不含倍角的正弦．

2．3．2 Weierstrass-Stone 定理

设E 是某个度量空间中的任意子集，它至少包含两个不同的元素，并且在E 上成立有限覆盖定理．设定义在E 上的实函数系(){}x p 组成一个线性空间，且构成一个环

Y ，这个环包含常数，且对于E 中任意两个不同的元素1x ，2x ，在环Y 中存在函数()x p ，

使()()21x p x p ≠，于是对于E 上定义的任意一个实连续函数()x f ，对于任给0>ε，在Y 上存在元素()x p ，使得有

()()E x x p x f ∈<-,ε．

利用Stone 定理可以得到很多有用的逼近定理，例如下面的有理函数逼近定理

设()()∞∞-∈,C x f ，则任给0>ε，存在有理函数()Ω∈x R ，使

()()ε<-x R x f ，∞<<∞-x ．

其中Ω表示分子的次数不大于分母次数的全体实系数有理函数()x R 空间．

2．3．3 Weierstrass 逼近定理的逆定理

Weierstrass 逼近定理从正面阐述了连续函数可以用多项式来逼近的重要性质，反之，如果一个定义在闭区间上的函数能用多项式逼近，则该函数必然是连续函数．

定理在实数范围内，对定义在闭区间[]b a ,上的函数()x f ，如果满足对0>?ε，都存在这样的多项式()x p ，使不等式

[]

()()ε

<-∈x f x p b a x ,max

成立，那么函数()x f 必然是连续函数．

由此，我们得到如下结论，这可以作为Weierstrass 逼近定理的补充或充要条件．

结论1 ()[]b a C x f ,∈ 的充分必要条件是:

对0>?ε，都存在一个多项式()x p 使不等式 []()()ε<-∈x f x p b a x ,max 成立．

结论2 函数()x f 是连续函数或是与一个连续函数几乎处处相等的函数的充分必要条件是:对0>?ε，都存在一个多项式()x p 使不等式

[]()()ε

<-∈x f x p A

b a x \,max

成立．这里A 为零测度集．

例1: 设函数()x f 定义在闭区间[]b a ,上，且在该区间上与一个连续函数()x f 几乎处处相等，则

()0=?

dx x f x b

n ， 2,1,0=n

成立的充分必要条件是()0=x f 在[]b a ,上几乎处处成立．

证明：充分性显然，只需证明必要性．

由条件有()()x g x f =，([])A b a x \,∈，其中A 是[]b a ,上的零测度集．所以

0=()()[]()dx x f x dx x f x dx x f x A n A

b a n b

n ??

?+=\,

=()[]()dx x g x dx x g x A

n A

b a n ??

+\,=()dx x g x b

n ?

因此可得()0=x g ，[]b a x ,∈

注意当[]A b a x \,∈时， ()()x g x f =，所以()0=x f ，[]A b a x \,∈．证毕．

注设函数()[]b a C x f ,∈．则

()0=?

dx x f x b

n ， 2,1,0=n

成立的充分必要条件是: ()0=x f ，[]b a x ,∈．

第3章 Bernstein 多项式和Kantorovich 算子

3．1 Bernstein 多项式

3．1．1 Bernstein 多项式的定义

Bernstein 多项式在函数逼近论中是一个古典的工具，也是迄今为止最受人们注意的正线性算子．它在逼近论中的地位，显然是由Bernstein 收敛定理确立的．但是遗憾的是，它的收敛速度十分缓慢．

Bernstein 逼近，就是利用著名的Bernstein 算子:

()()()()(),00;1n

n k

k n n k k k n B f x f k f P x f k n x x k -==??==- ???

∑∑

对函数()[]0,1f x C ∈进行逼近，这是一类经典而丰富的研究课题，它可以追溯到1912年，从那时起已有近千篇关于这一课题的论文出版．从提供计算工具的观点来看，由显式表示出来的算子(即在计算上具有能行性的算子)一般最受欢迎．Bernstein 算子作为具有显式表示的正线性算子，以其结构形式的简单优美及许多良好的性质吸引了许多人去研究推广它．罗马尼亚数学家D ．D ．Stancu 是研究Bernstein 算子的大专家，它引进的一类广义Bernstein 算子具有丰富的概括性，由于它所构造的都是显式表示的线性算子，所以在实际计算上都是可用的，而且也有逼近偏差的估计．此外，由Bernstein 算子变形产生了许多算子，诸如:

Szasz 一Mirakjan 算子: ()()

()

nx n k nx S f x e f k n k ∞

-==∑

BaskakoV 算子: ()()()()

01;1n k k n k n k V f x f k n x x k ∞

-+=+-??=+ ?

∑ Kantorovich 算子: ()()()

()11

;11k n n

n k

k n k k n n K f x n x x f t dt k ++-=+??=+- ???

∑?等等．

设[]:0,1f R →．对于任意的n ∈N ，定义多项式

()()0

n n i i B f x f B x n =??= ???∑ （3-1）

称它为f 的n 次Bernstein 多项式，这中多项式是1912年由Bernstein 给出的，他并且证明了：当f 在[]0,1上连续时

()()lim ;n n B f x f x →∞

= （3-2）

对[]0,1x ∈一致地成立．

Bernstein 多项式一直是函数逼近论中的重要工具和研究对象．我们讨论连续函数f ．由Bernstein 逼近定理．当n 充分大时，();n B f x 是f 的一个很好的逼近，f 称为被逼近函数．

3．1．2 Bernstein 算子的一些性质

由Bernstein 形式的已知性质得

()()()();00,

;11,n n B f f B f f ==}

（3-3）

这就是说，在区间[]0,1的两端，();n B f x 插值于被逼近函数f ．由端点导数的性质，可以得到

()()()()1;00,1;11,

n n d B f n f f dx n d n B f n f f dx n ????

=- ? ????

??=- ? ????

}

（3-4）

我们从变换的观点来看Bernstein 多项式，把n B 看成一个算子，n B 的作用是把函数f 映射成多项式();n n B f x ψ∈．则n B 是一个线性算子，也就是说，对定义在[]0,1上的函数f 与g 以及任何实数λ与μ，我们有

()()();;;n n n B f g x B f x B g x λμλμ+=+．

如果()0f x ≥对[]0,1x ∈成立，那么();0n B f x ≥对[]0,1x ∈成立，这表明n B 是正线性算子．

定理3．1 如果f 是[]0,1上的上升（下降）函数，那么();n B f x 也是[]0,1上的上升（下降）函数．

证明：设f 在[]0,1上是上升的，特别地

()()()()0121f f n f n f ≤≤≤???≤．由

()()1

101;0n i

n n i d i i B f x n f f B x dx n n --=?+???

??=-

≥ ? ????

?????

∑，

可得结论，证毕．

定理3．2 设f 是[]0,1上的凸函数，于是 1. 对于n ∈N ，();n B f x 在[]0,1上是凸的； 2. ()()1;;n n B f x B f x +≥对[]0,1x ∈及n ∈N 成立；

3. 如果f 在[]0,1上连续，那么由()()1;;n n B f x B f x +≥，[]0,1x ∈可以导出f 是子区

间1,i i n n -??

????

，1,,i n =???，上的线性函数； 4. 如果f 在[]0,1上连续，则()();n B f x f x ≥对[]0,1x ∈及n ∈N 成立．证明: 1．由f 的凸性可知

2120i i i f f f

n n n ++??????

+-≥ ? ? ???????

对0,1,,2i n =???-成立，由此导出()2

2;0n d B f x dx

≥对[]0,1x ∈成立，故 ();n B f x 是

凸函数；

2．由升阶公式得

()()

0;n

n n i i B f x f B x n =??= ???∑

()1

101111n i

n i i i i i f f B x n n n n ++=?-????

???=+- ? ?

???++????????

∑ 因此

()()1;;n n B f x B f x +-()1

1011111n i n i i i i i i f f

f B x n n n n n ++=?-???????

??=+-- ? ? ? ???+++?????????

∑

（3-5）

由于f 在[]0,1上凸，则有

111

i i i f f n n n n -???

???

+-≥ ? ? ?++????

??()()

()()11111i i i n i i f f n n n n n ??-+-??+= ? ? ?+++????，由（3-5）可得

()()1;;n n B f x B f x +≥，[]0,1x ∈．

3．由条件()()1;;n n B f x B f x +=和f 的凸性推知

111

11i

i i i i f f f n n n n n -???

?????+-= ? ? ? ?+++????

????

（3-6）

对0,1,,,1i n n =???+成立．因为f 是凸函数，在子区间1,i i n n -??

???

?中，1,2,,i n =???，曲线

()y f x =应不在由11,i i f n n ?--??? ? ?????与,i

i f n n ??

?? ? ?????

两点所确定的直线段的上方．但是（3-6）表明曲线上的点,

11i

i f n n ???? ? ?++????

恰在这一段直线上，所以曲线必定与这一段直线重合．

4．对于任何固定的n ∈N ，由已经证明的第二个结论可知:任何m ∈N 则

()();;n n m B f x B f x +≥，[]0,1x ∈．

令m →∞，根据f 的连续性以及Bernstein 收敛定理得，

()();n B f x f x ≥其中[]0,1x ∈．证毕．

Bernstein 多项式序列的单调下降性蕴含着其被逼近函数f 的凸性．定理3．3 凸性逆定理（L ．Kosmak ）设f ：[]0,1R →有连续的二阶导数并且 ()()1;;n n B f x B f x +≥ （3-7）对[]0,1x ∈以及n ∈N 成立，那么f 必然是[]0,1上的凸函数．

证明: 首先，给出均差的概念，函数f 在两点1x ，2x 处的一阶均差[]12,f x x 定义为

[]()()

211221

,f x f x f x x x x -=-．（3-8）

当f 有一阶导数时，由微分学中值定理可知：存在着1x 与2x 之间的一个实数ξ使得 []()12,f x x f '=ξ．

第四章最佳逼近

第四章最佳逼近学习目标：掌握最佳一致逼近和最佳平方逼近的基本理论和方法、以及最小二乘法常用的正交多项式以及正交多项式的性质。重点为最佳一致逼近和最佳平方逼近的特征性质（如契比雪夫定理等）以及最佳一致逼近和最佳平方逼近多项式的计算方法。

§1 C[a ,b ]上的最佳一致逼近不难验证，[a ,b ]上所有连续函数的全体构成一无限维线性空间，简记为C[a,b]。为描述方便，引进符号函数，称为C[a,b] 上的一致范数或契比雪夫（Chebyshev ）范数，其定义为 ∞?],[] ,[,)(max b a b a x C f x f f ∈?=∈∞考虑所有n 次代数多项式的全体形成的集合 . 不难验证，P n 是C [a ,b ]上的n+1维线性子空间。 { }n n x x span P ,,,1 =

对给定的函数f (x )∈C [a ,b ]称量： ) ()(min ),(x p x f P f n P p n -=?∈为f (x )关于P n 的最佳一致逼近，简称最佳逼近，也称为契比雪夫逼近。满足上式的多项式p *(x )称为f (x )在[a ,b ]上的最佳逼近多项式，而线性空间 P n 也称为逼近子空间。围绕这一问题，人们马上会问：最佳逼近多项式是否存在？是否唯一？如果存在，如何寻找或构造它？对这些问题的回答构成了最佳一致逼近研究的中心内容。

定理（契比雪夫定理）对任意是f 的最佳一致逼近多项式的充要条件是f - p 在[a ,b ]上存在的至少有n +2个点组成的交错点组。 n b a p p C f ∈∈,],[推论1 如果，那么在中存在唯一的元素为f 的最佳一致逼近多项式 ],[b a C f ∈n p 推论 2 如果f 在[a ,b ]上有n +1阶导数，且在（a ,b ）上保号（恒正或恒负），那么契比雪夫交错组唯一，且区间[a ,b ]的端点属于契比雪夫交错组。 )1(+n f

(整理)函数的一致连续性63604

§2.9 函数的一致连续性定义 2.21 设f 是X 上的单变量函数.若0,0εδ?>?>,使得当 12,x x X ∈,12x x δ-<时总成立12()()f x x ε-<,则称f 是X 上的一致连续函数.显然,若f 是X 上的一致连续函数,则f 一定是X 上的连续函数(反之通常不正确). 命题1 (不一致连续的充要条件) X 上的单变量函数f 不一致连续 0ε??>和{},{}n n x y X ?,使得lim()0n n n x y →∞ -=,并且()()n n f x f y - ,n ε* ≥?∈ . 证: “?”.假定f 不是X 上的一致连续函数,则0ε?>,n * ?∈ , n x ?,n y X ∈满足1 n n x y n -< 和()(),n n f x f y n ε* -≥?∈.这说明右边成立. “?”.假定0ε?>和{}n x ,{}n y X ?,使得l i m ()0 n n n x y →∞ -=,并且()(),n n f x f y n ε* -≥?∈ .这时,0δ?>,,,N N N N x y X x y δ ?∈-<使得()()N N f x f y ε-≥.这说明f 不是X 上的一致连续函数.□ 命题 2 若f 是区间．．I 上的一致连续函数,00δ>是常数,则必存在 0M >使得当,x y I ∈,0x y δ-≤时总成立()()f x y M -≤. 证:对于固定的0,0εδ>>取,使得当12,x x I ∈,12x x δ-<时总成立 12()()f x x ε-<.再取n * ∈ 使得 ,M n n δδε<=令.当,,x y I ∈x y - 0δ≤时,()()f x f y -1 1(())(())n k k k f x y x f x y x n n =-≤+ --+-∑n ε< M =.□ 命题 3 有限开区间(,)a b 上的连续函数f 一致连续?存在有限单侧

函数的单调性·典型例题精析

2．3．1 函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y＝|x2＋2x－3| (2)y (3)y ＝＝ x x x x x 2 2 2 11 23 - -- --+ || 解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示．由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞) 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1] (2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．解当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x．当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1) 减区间是[1，2)和(2，＋∞) (3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1．令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1] 上是在x∈[－1，1] 上是．而＝在≥上是增函数． y u0 u ∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．【例2】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范

围．解当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数．当≠时，对称轴＝，若＞时，由＞≤，得＜≤． a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a a a --??? ?? 若a ＜0时，无解． ∴a 的取值范围是0≤a ≤1．【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与f(4) (2)f(2)f(15)与解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4) (2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15 时为减函数． ∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2) 【例4】判断函数＝ ≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 2 1 - 解任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2． ∵－＝ ∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴ ＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 100 12121221a x x x x x x x x x x x x ()()()() ()()()() 122112 22 12 12 122112 22 111111+---+--- 当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．证取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2． ∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 0 2112221212 1212 1222 122 121212 1222证法一

函数一致连续性的判定及应用论文

数学建模论文（设计）题目函数一致连续性的判定及应用学院专业年级学号姓名xx 指导教师xx 成绩 2007 年4 月19 日

函数一致连续性的判定及应用摘要：本文从函数连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。关键词：函数；连续；一致连续函数 Decisions of uniformly continuous function and application TANG Yong The School of Mathmatics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: From the concept and the relation of continuity and uniformly continuity of the function, we research the methods of decisions of uniformly continuous function in different kinds of intervals. Moreover, we extend some of the results to function with many variables in different region. Key words: function; continuity; uniformly continuity 1. 引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。函数() f x在某区间内连续，是指函数() f x在该区间上一点 f x在该区间内每一点都连续，它反映函数() 附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数() f x在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数() f x的变化趋势及性质。因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。现有的数学分析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握，作为教材内容的适当扩展和补充，本文做了以下几点讨论： 2. 函数连续与一致连续的关系 2.1 函数连续与一致连续的区别 2.1.1 函数连续的局部性

10.连续函数的多项式一致逼近

附录一 Bernstein 多项式：连续函数的多项式逼近连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理，直接的证明方法就是用函数的Bernstein 多项式去逼近函数。通常的教材中的证明比较难于理解，我们选择前苏联数学家Korovkin 在1953年给出证明方法，解决了教学中的这一难点。 Weierstrass 第一逼近定理设是闭区间[a , b ]上的连续函数，则存在多项式序列{在[a , b ] 上一致收敛于。也就是对任意给定的)(x f })(x P n )(x f 0>ε，存在多项式，使得 )(x P εM ∈t M t f ≤)(；根据Cantor 定理，f 在[0, 1]上一致连续，于是对任意给定的0>ε，存在0>δ，

《函数的单调性和奇偶性》经典例题

经典例题透析类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x10 ∴x1f(x2) 上是减函数. 总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.

类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，

在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，；

数学实验“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”实验报告(内含matlab程序)

西京学院数学软件实验任务书

实验十八实验报告一、实验名称：Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。二、实验目的：进一步熟悉Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica 等其中一种语言完成程序设计。四、实验原理： 1．Chebyshev 多项式最佳一致逼近：当一个连续函数定义在区间[1,1]-上时，它可以展开成切比雪夫级数。即： 0()()n n n f x f T x ∞ ==∑ 其中()n T x 为n 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出： 0111()1,(),()2()()n n n T x T x x T x xT x T x +-===- 它们之间满足如下正交关系： 1 0 n m n=m 02 n=m=0 π π-≠???=≠?????

在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限项数。切比雪夫级数中的系数由下式决定： 1 01 1 2n f f ππ --== ? ? 2．最佳平方逼近：求定义在区间01[,]t t 上的已知函数最佳平方逼近多项式的算法如下。设已知函数()f x 的最佳平方逼近多项式为 01()n n p x a a x a x =+++ ，由最佳平方逼近的定义有： 01(,,,) 0(0,1,2,,)n i F a a a i n a ?==? 其中1 20101(,,,)(())t n n n t F a a a f x a a x a x dx =----? 形成多项式()p x 系数的求解方程组Ca D =

浅谈函数的一致连续性的性质

浅谈函数的一致连续性的性质张亚男,数学计算机科学学院摘要: 本文探讨了具有一致连续性函数的基本性质,对函数一致连续性的性质进行深入分析,旨在读者能更好的掌握函数的一直连续性.首先介绍了一致连续的概念，并给出了非一致连续的定义。其次给出了一致连续函数的有界性质。再次给出了两个一致连续函数和商积差，具有一致连续性的条件。最后探讨了同一函数在两个区间上一致连续性的叠加。在每个性质后面都附有例题，使读者可也更好的理解所给出的性质。关键词：函数；一致连续；非一致连续；有限区间; 有界; Discusses the properties of the uniform continuity function Name：zhang ya nan Number：0707216 College：College of Mathematics and Computer Science Abstract: In this paper, we discuss the properties of function of uniform continuity. We analyze the properties of uniform continuity of functions deeply, aiming to readers can better control uniform continuity of function. Firstly, we introduce the function uniform continuity concept and give the definition of non- uniform continuity of function. Then, we give the bound of uniform continuity of functions. Once again, we give the condictions, to be uniform continuity of function,of function four fundamental operations. Finally discusses the same function in the two identical continuity on the interval of superposition. In each propertyes we give examples, behind that readers can better understanding of the nature of given. Key Word: function; uniform continuity; non- uniform continuity; limited interval; bounded;

浅析数学分析一致连续性

一引入“一致性”的意义数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在。数学分析中的三个“一致性”(即一致有界, 一致连续, 一致收敛) 的概念对数学基础知识的学习很重要。弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强。但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解。一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析基础,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。对函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成部分和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念。函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。函数一致连续的几何意义数学分析是一门非常抽象的学科，有极强的逻辑性和严密性，体现在：能用简明的数学语言准确的表述用冗长的文学语言也不一定

函数的单调性知识点总结与经典题型归纳

函数的单调性知识梳理 1. 单调性概念一般地，设函数()f x 的定义域为I ：（1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法（1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。（2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间．例题精讲【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升?哪些区间下降？

解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降；（2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降? ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？（2）f (x )=x 2． ①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？解：（1）①从左至右图象是上升的； ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大．（2）①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着减小； ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大．【例3】函数()y f x =在定义域的某区间D 上存在12,x x ，满足12x x <且12()()f x f x <，那么函数()y f x =在该区间上一定是增函数吗？解：不一定，例如下图：【例4】下图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．解：函数()y f x =的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---；其中在区间[5,2),[1,3)--上是减函数，在区间[2,1),[3,5)-上是增函数. 【例5】证明函数()32f x x =+在R 上是增函数.

§6+函数的一致连续性概念与应用练习参考解答

§6 函数的一致连续性概念与应用部分练习参考解答 1．若对任何0,f ε>在[,]a b εε+-上连续，是否可推出f 在(),a b 上连续。 2．试用一致连续的定义证明：若函数f 在[],a c 和[],c d 上都一致连续，则f 在 [],a b 上也一致连续。 3．证明：若f 在[],a b 上连续，且不存在任何[],x a b ∈使得()0f x =，则f 在[],a b 上恒正或恒负。 4．证明：(1) 函数x x f =)(在),0[+∞上一致连续。 (2) 函数2 )(x x f =在],[b a 上一致连续，但在),(+∞-∞上不一致连续。 5．证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续。 6．求证下列函数在指定区间上一致连续： (1) ()1 f x x =， ()0a x <≤<+∞； 2) ()3f x x =， ()0x ≥。证 (1) 0ε?>，取2a δε=，则当212x x a ε-<时，有 12122121211 x x x x x x x x a ε---=≤<， ()12,x x a ?≥。即得()1 f x x =在[),a +∞上一致连续。 (2) 设210x x >≥，则有 ()3 333 221 1211x x x x x x x = -+≤-+。即有 3 3 3 2121x x x x -≤-。于是，对0ε?>， 30δε?=>，对12,0x x ?≥，当21x x δ-<时，有 3 33 2121x x x x ε-≤ -< 即得()f x 在0x ≥上一致连续。 7．求证下列函数在指定区间上不一致连续。 (1) ()()1 sin 01f x x x =<<； (2) ()()ln 0f x x x =>。

(完整版)函数单调性奇偶性经典例题

函数的性质的运用 1．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y f x =()图象上的是（） A.(())a f a ，- B.(())--a f a ， C.(())---a f a ， D.(())a f a ，- 2. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数，则a 的值为（） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 3．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1 1)()(-= +x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______． 4．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________． 5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)＜3. 8.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -= （1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）；（2）设f （2）=1，解不等式2)3 1 ( )(≤--x f x f 。 9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（） A ． 0 B ．9 C ．12 D ．18 10.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 123 2 x x <<，则实数m 的取值范围 11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =，则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12.已知函数()f x 满足：4x ≥，则()f x ＝1()2 x ；当4x <时()f x ＝(1)f x +，则 2(2log 3)f +＝ A 124 B 112 C 18 D 38 13.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f ( 2 1 )=－1,当且仅当0

函数的一致连续性

哈尔滨师范大学学年论文题目关于函数一致连续的探究学生万鑫指导教师曾伟梁副教授年级 2008级专业信息与计算科学系别信息系学院数学学院哈尔滨师范大学 2011年 6 月

关于一致连续函数的判据万鑫摘要：连续与一致连续是数学分析中非常重要也非常基础的概念。这两个概念来自于实际问题，现实问题。我们经常观察的自然现象，如生物的连续生长，反映的是事物连续不断的变化的过程，如果用函数来刻画即是函数的连续性。数学分析研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是一致连续函数。我们通过给出一致连续函数与非一致连续函数的定义，从而对函数的一致连续性进行探讨。关键词：一致连续非一致连续判别依据比较判别法比值判别法。一函数)(x f 一致连续的概念定义1：设函数()x f 在()a u 上有定义，若函数()x f 在点a 上存在极限，且极限是()a f ，即()()a f x f a x =→lim ，则称函数()x f 在点a 上连续，也称a 是函数()x f 的连续点. 用“δε—”语言叙述：函数()x f 在a 上连续?0>?ε,0>?δ， x ?：,δ<-a x 时，有()()ε?ε,0>?δ，I x x ∈?21,, δ<-X X 2 1 时，有()()ε?ε,0>?δ ,I x x ∈?21, , δ<-X X 2 1 时有()()ε≥-x x f f 21，则称函数()x f 在I 上非一致连续。对于函数()x f 在区间I 上非一致连续，也就是说存在某个正数ε ，不论任何的正数δ，在区间I 内至少存在两点与 x 1 x 2 ,虽然 δ<-X X 2 1 ，但 ()()ε≥-x x f f 21。