定积分的基本公式

定积分的基本公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

第三讲 定积分的基本公式

【教学内容】

1．变上限积分函数

2．牛顿－莱布尼兹公式

【教学目标】

1．掌握变上限积分函数

2．掌握牛顿－莱布尼兹公式

【教学重点与难点】

牛顿－莱布尼兹公式

【教学过程】

一、引例

一物体作变速直线运动时，其速度)(t v v =，则它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程S ：

dt t v S b

a ⎰=)(

另一方面，如果物体运动时的路程函数)(t S S =，则它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程S 等于函数)(t S S =在],[b a 上的增量

)()(a S b S -

同一物理量（路程）的两种不同数学表达式应该是相等的，

∴ dt t v S b a ⎰

=)()()(a S b S -= ∵ )()(/t v t S = ∴ ⎰⎰==b a b

a dt t S dt t v S )()(/)()(a S

b S -=

二、变上限积分函数

1．定义：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，那么对于区间],[b a 上的任一点x 来说，)(x f 在区间],[x a 上仍连续，所以函数)(x f 在],[x a 上的定积分

⎰x

a dx x f )(

存在。也就是说，对于每一个确定的x 值，这个积分将有一个确定的值与之对应，因此它是积分上限x 的函数，此函数定义在区间],[b a 上，把它叫做变上限积分函数，记为)(x Φ。即

)()()()(b x a dt t f dx x f x x

a x a ≤≤==Φ⎰⎰ 2．定理1 如果函数)(x f y =在区间],[

b a 上连续，则变上限积分函数

)()()(b x a dt t f x x

a ≤≤=Φ⎰

是函数)(x f y =的原函数，即

)()()(/

x f dt t f dx d x x a ==Φ⎰ 或 dx x f dt t f d x d x a )()()(==Φ⎰ 证 设给x 以增量x ∆，则函数)(x Φ的相应增量为

⎰⎰⎰∆+∆+=-=Φ-∆+Φ=∆Φx x x x a x

x a dt t f dt t f dt t f x x x x )()()()()()(

由定积分中值定理有

x f dt t f x x x x ∆==∆Φ⎰

∆+)()()(ζ ( ζ在x 和x x ∆+之间) )()(ζf x

x =∆∆Φ 因为)(x f 在],[b a 上连续，而0→∆x 时，x →ζ，因此

=∆∆Φ=Φ→∆x x x x )()(lim 0/)()()(lim lim 0x f f f x

x ==→→∆ζζζ 例1 已知dt t

t x x ⎰

=Φ1sin )(，求)(/x Φ. 解 x x x sin )(/=Φ 例2 已知)0(ln 1)(2

2>=Φ⎰x dt t

x x ，求)(/x Φ. 解 x x x x x ln )(ln 1)(/22/=•=Φ 例3 已知dt t x x ⎰=Φ1

2sin )(，求)(/x Φ. 解 ∵dt t x x

⎰-=Φ12sin )( ∴2/sin )(x x -=Φ 例4 已知dt e x x x t ⎰-=Φ22

)(，求)(/x Φ. 解 ∵⎰⎰⎰⎰----+-=+=Φ222222000

0)(x t x t x t x t dt e dt e dt e dt e x ∴424222)(/x x x x xe e x e e x ----+-=•+-=Φ

三、 牛顿－莱布尼兹公式

定理2 (牛顿－莱布尼兹公式) 如果)(x F 是连续函数)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则

)()()(a F b F dx x f b a -=⎰

证 由定理１知dt t f x x

a

⎰=Φ)()(是函数)(x f 的一个原函数，又)(x F 是)(x f 的一个原函数， ∴ C x F dt t f x a

+=⎰)()(

在上式中令a x =，∵0)(=⎰dt t f a

a ，得)(a F C -=，代入上式得 )()()(a F x F dt t f x a -=⎰

在上式中令b x =，并把积分变量t 换为x ，便得到 )()()(a F b F dx x f b

a -=⎰

这个公式叫做牛顿－莱布尼兹（Newton －Leibnitz ）公式或积分基本公式，它是计算定积分的基本公式。

为了方便起见，以后把)()(a F b F -记成为b a

x F )]([或b a x F |)(，于是牛顿－莱布尼兹公式可写成

b a b

a x F dx x f )]([)(=⎰ 或

b a b

a x F dx x f |)()(=⎰ 这定理说明：连续函数的定积分等于被积函数的任一原函数（通常取0=C ）在积分区间上的增量。

例5 计算⎰-+112

11dx x . 解 2

)4(4)1arctan(1arctan |arctan 1111112πππ=--=--==+--⎰x dx x 例6 计算⎰--3

1|2|dx x . 解 ⎰⎰⎰⎰⎰----+-=-+-=-213

2322131)2()2(|2||2||2|dx x dx x dx x dx x dx x 5|)22

(|)22(3

22

212

=-+-=-x x x x 例7 计算⎰

+π02cos 1dx x . 解 dx x dx x dx x ⎰⎰⎰==+ππ

π0020|cos |2cos 22cos 1 ])cos (cos [22

20dx x dx x ⎰⎰-+=πππ 22)|sin |(sin 22

20=-=π

ππ

x x

例8 计算⎰

--231dx x . 解 3ln 2ln |||ln 12323-==-

---⎰x dx x

例9 计算⎰10

2dx xe x . 解 )1(2

1|21211010210222

-===⎰⎰e e dx e dx xe x x x