计算理论第7章 NP完全性
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第7章 NP完全性
杨莹 冷芳玲
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第7章 NP完全性
7.1 NP完全性定义 7.2 NP完全问题 7.3 NP完全性的计算讨论
2
7.1 NP完全性
定义7-1 语言L是NP完全的，若它满足下面 两个条件： （1）L∈NP； （2）NP中的每个LA都多项式时间可归约为L。
3
7.2 NP完全问题
定理7-19 [库克—列文定理] 可满足问题 SAT是NP完全的。 证明：NP中的每一个语言都可以多项式时间 归约到SAT。从NP中任取一个语言L，设 MN={Q, Σ,Γ,δ, q0,B,F}是nk多项式时间内判 定L的非确定型图灵机，其中k是常数。对 于MN的任意输入w，在多式时间内构造公 式 Φ，使得w∈L ↔ Φ∈SAT。
设Φ 是3SAT公式，子句数是k，则G中的节 点分成k组，每组三个节点，称为三元组， 每个三元组对应Φ中的一个子句。G中的边 定义为：不同三元组的Hale Waihona Puke Baidu点，若不是相反 文字，则两两相连；三元组内节点间无边 。 可见 （1）Φ有一可满足赋值，G存在一个k-团； （2）G存在一个k-团， Φ可满足。
21
7.2 NP完全问题
注意顶点覆盖问题要求最小的顶点覆盖规 模。
14
7.2 NP完全问题
顶点覆盖问题（Node Cover）是NP完全的 我们可以给出一个3SAT到这个问题的多项式 时间内运算的归约，即把布尔公式Φ 映射 为<G,k>，其中G是一个图，k是一个正数， 表示G的顶点覆盖子集的节点数。为此， （1）对于Φ 中的每个布尔变元x对应G的一 条边，边的两个顶点记为x和¬x 。当x赋值 为TRUE时，表示对应的覆盖选择x；当x赋 值为FALSE时，表示对应的覆盖选择¬x 。
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7.2 NP完全问题
我们把画面nknk个的格子中每一格称为一个 单元。第i行第j列的单元称为cell[i,j]，它应 包含C=Q ∪ {#}中的一个符号。定义变量 xi,j,s（1≤i≤nk,1≤j≤nk,s∈C）表示单元中的内 容。xi,j,s=1，意味着cell[i,j]包含s。
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7.2 NP完全问题
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7.2 NP完全问题
现在设计公式Φ ，使得变量的一个满足赋值 确实对应MN在w上的一个接受画面。为此 要满足以下4点： 每个单元只能包含一个符号； 第一行为初始ID 存在接受ID 表的每一行都对应于从上一行的ID、按照 MN的规则、合法转移得到ID。
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7.2 NP完全问题
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7.2 NP完全问题
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7.2 NP完全问题
对于一个满足赋值， （1）把变量构件中真文字节点放入M中， （2）把子句中，除为真的文字外的另两个文 字加入M中。 可见M中G的一个覆盖。
18
7.2 NP完全问题
对于G的覆盖M， 把M中的文字置为真。因为 M中包含每个变 量构件的一个节点和子句构件的两个节点， 所以这个赋值满点3SAT。
定理7-17 [库克—列文定理] 可满足问题 属于P，当且仅当P=NP。
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The End
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7.2 NP完全问题
Hitting Set问题：给定集合A的子集的集合 C和整数k，A是否有一个子集A’,|A’|=k,且对 于C中的任意元素（A的子集），A’至少包 含其中的一个元素。
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7.3 NP完全性的计算讨论
定理7-18 若LA≤P LB，且LB ∈ P ，则 LA∈ P。
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7.3 NP完全性的计算讨论
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7.2 NP完全问题
（2）Φ子句中的三个文字对应于G的三个节 点，这三节点相互连接，并分别于(1)中具 有相同标记的节点相连。
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7.2 NP完全问题
易见，3SAT可多项式时间归约为顶点覆盖问 题。 不难证明 Φ可满足当且仅当G中有k=m+2l个 节点的顶点覆盖，其中m 是Φ 的变元数，l 是Φ子句数。
7.2 NP完全问题
c1 c4 c2 c5 c3 c6
现在证明上面由w到Φ的映射可以在多项式内 完成。画面是一个nknk的表格，所以它包 含n2k个单元，每个单元有与它相关的l个变 量，l=|C|，因为l只依赖于MN，所以变量的 总数是O(n2k)。
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7.2 NP完全问题
对画面的每个单元，公式 Фcell包含固定长度 的公式片段，故长度为O(n2k)， Ф start对顶 行的每个单元包含一个片段，所以长度为 O(nk)， Ф move和 Ф accept对画面的每个单元 包含固定长度的公式片段，所以它们的长 度为O(n2k)，于是 Ф总长度为O(n2k)，因此 可在多项式时间内从w生成Ф ，所以，SAT 是NP完全问题。█
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7.2 NP完全问题
3SAT问题：将布尔变量或其非称为文字， 将由三个文字构成的子句组成的合取范式 推论7-3 3SAT是NP完全的。 证明：证明SAT多项式时间归约到3SAT。
13
7.2 NP完全问题
Node Cover问题：若G是无向图,k是一整数， 则G的顶点覆盖问题是否存在最小的一个节 点子集M，使得｜M｜≤k，且G的每条边都 与子集M的节点之一关联。
19
7.2 NP完全问题
Clique（团）是图的一个子图，其中任何两 点都有边相连。 K-Clique问题：给定<G,k>,G是无向图，G 中包含至少k节点的团吗？ k-Clique是NP完全的 证明： （1）k-Clique是NP问题 （2）3SAT ≤p k-Clique
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7.2 NP完全问题
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7.2 NP完全问题
每个钻石结构都包含一行水平节点，它们由 双向边连接起来。
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7.2 NP完全问题
如果变量xi出现在子句cj中，就把图中两条 从第i个钻石的第j对节点到第j个子句节点的 边添加进去。
如果变量¬xi出现在子句cj中，就把图中两条 从第i个钻石的第j对节点到第j个子句节点的 边添加进去。
SUBSET-SUM（子集和）问题:有一个数集 x1,x2,…,xk和一个目标数t，要判定数集是否 包含一个加起来等于t的子集。 子集和问题是NP完全的 （1）子集和问题属于NP类 （2）3SAT ≤p SUBSET-SUM
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7.2 NP完全问题
HAMPATH (Hamilton 路)问题也是NP完全 的。 （1）HAMPATH 问题属于NP类； （2）3SAT ≤p HAMPATH 。 从Φ构造图G：把变量 xi 表示为钻石结构，把 子句 ci 表示为节点。
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7.2 NP完全问题
设f是由w到Φ的归约，下面开始描述归约f。
考虑MN在w上的执行过程。定义MN在w上的 画面是一张nknk表格，其中行代表MN在输 入上的一个计算分支的瞬时描述。并约定 每一个ID都以“#”开始和结束。当然画面 的第一行是初始ID，每一行都根据MN的转 移函数从上一行得到，如果画面的某一行 是接受ID，则称该画面是接受的。
杨莹 冷芳玲
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第7章 NP完全性
7.1 NP完全性定义 7.2 NP完全问题 7.3 NP完全性的计算讨论
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7.1 NP完全性
定义7-1 语言L是NP完全的，若它满足下面 两个条件： （1）L∈NP； （2）NP中的每个LA都多项式时间可归约为L。
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7.2 NP完全问题
定理7-19 [库克—列文定理] 可满足问题 SAT是NP完全的。 证明：NP中的每一个语言都可以多项式时间 归约到SAT。从NP中任取一个语言L，设 MN={Q, Σ,Γ,δ, q0,B,F}是nk多项式时间内判 定L的非确定型图灵机，其中k是常数。对 于MN的任意输入w，在多式时间内构造公 式 Φ，使得w∈L ↔ Φ∈SAT。
设Φ 是3SAT公式，子句数是k，则G中的节 点分成k组，每组三个节点，称为三元组， 每个三元组对应Φ中的一个子句。G中的边 定义为：不同三元组的Hale Waihona Puke Baidu点，若不是相反 文字，则两两相连；三元组内节点间无边 。 可见 （1）Φ有一可满足赋值，G存在一个k-团； （2）G存在一个k-团， Φ可满足。
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7.2 NP完全问题
注意顶点覆盖问题要求最小的顶点覆盖规 模。
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7.2 NP完全问题
顶点覆盖问题（Node Cover）是NP完全的 我们可以给出一个3SAT到这个问题的多项式 时间内运算的归约，即把布尔公式Φ 映射 为<G,k>，其中G是一个图，k是一个正数， 表示G的顶点覆盖子集的节点数。为此， （1）对于Φ 中的每个布尔变元x对应G的一 条边，边的两个顶点记为x和¬x 。当x赋值 为TRUE时，表示对应的覆盖选择x；当x赋 值为FALSE时，表示对应的覆盖选择¬x 。
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7.2 NP完全问题
我们把画面nknk个的格子中每一格称为一个 单元。第i行第j列的单元称为cell[i,j]，它应 包含C=Q ∪ {#}中的一个符号。定义变量 xi,j,s（1≤i≤nk,1≤j≤nk,s∈C）表示单元中的内 容。xi,j,s=1，意味着cell[i,j]包含s。
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7.2 NP完全问题
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7.2 NP完全问题
现在设计公式Φ ，使得变量的一个满足赋值 确实对应MN在w上的一个接受画面。为此 要满足以下4点： 每个单元只能包含一个符号； 第一行为初始ID 存在接受ID 表的每一行都对应于从上一行的ID、按照 MN的规则、合法转移得到ID。
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7.2 NP完全问题
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7.2 NP完全问题
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7.2 NP完全问题
对于一个满足赋值， （1）把变量构件中真文字节点放入M中， （2）把子句中，除为真的文字外的另两个文 字加入M中。 可见M中G的一个覆盖。
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7.2 NP完全问题
对于G的覆盖M， 把M中的文字置为真。因为 M中包含每个变 量构件的一个节点和子句构件的两个节点， 所以这个赋值满点3SAT。
定理7-17 [库克—列文定理] 可满足问题 属于P，当且仅当P=NP。
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7.2 NP完全问题
Hitting Set问题：给定集合A的子集的集合 C和整数k，A是否有一个子集A’,|A’|=k,且对 于C中的任意元素（A的子集），A’至少包 含其中的一个元素。
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7.3 NP完全性的计算讨论
定理7-18 若LA≤P LB，且LB ∈ P ，则 LA∈ P。
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7.3 NP完全性的计算讨论
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7.2 NP完全问题
（2）Φ子句中的三个文字对应于G的三个节 点，这三节点相互连接，并分别于(1)中具 有相同标记的节点相连。
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7.2 NP完全问题
易见，3SAT可多项式时间归约为顶点覆盖问 题。 不难证明 Φ可满足当且仅当G中有k=m+2l个 节点的顶点覆盖，其中m 是Φ 的变元数，l 是Φ子句数。
7.2 NP完全问题
c1 c4 c2 c5 c3 c6
现在证明上面由w到Φ的映射可以在多项式内 完成。画面是一个nknk的表格，所以它包 含n2k个单元，每个单元有与它相关的l个变 量，l=|C|，因为l只依赖于MN，所以变量的 总数是O(n2k)。
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7.2 NP完全问题
对画面的每个单元，公式 Фcell包含固定长度 的公式片段，故长度为O(n2k)， Ф start对顶 行的每个单元包含一个片段，所以长度为 O(nk)， Ф move和 Ф accept对画面的每个单元 包含固定长度的公式片段，所以它们的长 度为O(n2k)，于是 Ф总长度为O(n2k)，因此 可在多项式时间内从w生成Ф ，所以，SAT 是NP完全问题。█
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7.2 NP完全问题
3SAT问题：将布尔变量或其非称为文字， 将由三个文字构成的子句组成的合取范式 推论7-3 3SAT是NP完全的。 证明：证明SAT多项式时间归约到3SAT。
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7.2 NP完全问题
Node Cover问题：若G是无向图,k是一整数， 则G的顶点覆盖问题是否存在最小的一个节 点子集M，使得｜M｜≤k，且G的每条边都 与子集M的节点之一关联。
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7.2 NP完全问题
Clique（团）是图的一个子图，其中任何两 点都有边相连。 K-Clique问题：给定<G,k>,G是无向图，G 中包含至少k节点的团吗？ k-Clique是NP完全的 证明： （1）k-Clique是NP问题 （2）3SAT ≤p k-Clique
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7.2 NP完全问题
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7.2 NP完全问题
每个钻石结构都包含一行水平节点，它们由 双向边连接起来。
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7.2 NP完全问题
如果变量xi出现在子句cj中，就把图中两条 从第i个钻石的第j对节点到第j个子句节点的 边添加进去。
如果变量¬xi出现在子句cj中，就把图中两条 从第i个钻石的第j对节点到第j个子句节点的 边添加进去。
SUBSET-SUM（子集和）问题:有一个数集 x1,x2,…,xk和一个目标数t，要判定数集是否 包含一个加起来等于t的子集。 子集和问题是NP完全的 （1）子集和问题属于NP类 （2）3SAT ≤p SUBSET-SUM
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7.2 NP完全问题
HAMPATH (Hamilton 路)问题也是NP完全 的。 （1）HAMPATH 问题属于NP类； （2）3SAT ≤p HAMPATH 。 从Φ构造图G：把变量 xi 表示为钻石结构，把 子句 ci 表示为节点。
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7.2 NP完全问题
设f是由w到Φ的归约，下面开始描述归约f。
考虑MN在w上的执行过程。定义MN在w上的 画面是一张nknk表格，其中行代表MN在输 入上的一个计算分支的瞬时描述。并约定 每一个ID都以“#”开始和结束。当然画面 的第一行是初始ID，每一行都根据MN的转 移函数从上一行得到，如果画面的某一行 是接受ID，则称该画面是接受的。