数值计算方法第一章

第一章 绪 论

本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题．

§1.1 引 言

计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。

由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法． 这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括

(1) 非线性方程的近似求解方法； (2) 线性代数方程组的求解方法；

(3) 函数的插值近似和数据的拟合近似； (4) 积分和微分的近似计算方法； (5) 常微分方程初值问题的数值解法； (6) 优化问题的近似解法；等等

从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”． 之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关．

计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差．

我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，

从而产生截断误差． 如 +++=!

21

!111e 的计算是无穷过程，当用

!

1

!21!111n e n ++++= 作为e 的近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了

截断误差e e n -．

当用计算机计算n e 时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到n e 的近似值

*e ，也就是说最终用*e 近似e ，该近似值既包含有舍入误差，也包含有截断误

差．

当参与计算的原始数据是从仪器中观测得来时，也不可避免得有观测误差． 由于这些误差的大量存在，我们得到的只能是近似结果，进而对这些结果的“可靠性”进行分析就是必须的，它成为计算方法的第二个显著特点． 可靠性分析包括原问题的适定性和算法的收敛性、稳定性．

所谓适定性问题是指解存在、惟一，且解对原始数据具有连续依赖性的问题． 对于非适定问题的求解，通常需要作特殊的预处理，然后才能做数值计算． 在这里，如无特殊说明，都是对适定的问题进行求解．

对于给定的算法，若有限步内得不到精确解，则需研究其收敛性． 收敛性是研究当允许计算时间越来越长时，是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究截断误差是否能够趋于零．

对于给定的算法，稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进，研究观测误差、舍入误差对计算结果的影响是否很大．

对于同一类模型问题的求解算法可能不止一种，常希望从中选出高效可靠的求解算法． 如我国南宋时期著名的数学家秦九韶就提出求n 次多项式0111a x a x a x a n n n n ++++-- 值的如下快速算法

n a s =；

k n a t -=；t sx s += ),,2,1(n k =

它通过n 次乘法和n 次加法就计算出了任意n 次多项式的值． 再如幂函数64x 可以通过如下快速算法计算出其值

x s =；

s s s ⋅=；循环6次

如上算法仅用了6次乘法运算，就得到运算结果．

算法最终需要在计算机上运行相应程序，才能得到结果，这样就要关注算法的时间复杂度(计算机运行程序所需时间的度量)、空间复杂度(程序、数据对存储空间需求的度量)和逻辑复杂度(关联程序的开发周期、可维护性以及可扩展性)． 事实上，每一种算法都有自己的局限性和优点，仅仅理论分析是很不够的，大量的实际计算也非常重要，结合理论分析以及相当的数值算例结果才有可能选择出适合自己关心问题的有效求解算法． 也正因如此，只有理论分析结合实际计算才能真正把握准算法．

§1.2 误差的度量与传播

一、误差的度量

误差的度量方式有绝对误差、相对误差和有效数字．

定义1.1 用*x 作为量x 的近似，则称)(:**x e x x =-为近似值*x 的绝对误差． 由于量x 的真值通常未知，所以绝对误差不能依据定义求得，但根据测量工具或计算情况，可以估计出绝对误差绝对值的一个较小上界ε，即有

ε≤-=x x x e **)( (1.1) 称正数ε为近似值*x 的绝对误差限，简称误差． 这样得到不等式

εε+≤≤-**x x x

工程中常用

ε±=*x x

表示近似值*x 的精度或真值x 所在的范围．

误差是有量纲的，所以仅误差数值的大小不足以刻划近似的准确程度． 如量

m m cm s μ50001230000

005.023.15.0123±=±=±= (1.2) 为此，我们需要引入相对误差

定义1.2 用0*

≠x 作为量x 的近似，称)(:**x e x

x x r =-为近似值*x 的相对误差． 当*x 是x 的较好近似时，也可以用如下公式计算相对误差

*

**

)(x

x x x e r -= (1.3) 显然，相对误差是一个无量纲量，它不随使用单位变化． 如式(1.2)中的量s 的近似，无论使用何种单位，它的相对误差都是同一个值．

同样地，因为量x 的真值未知，我们需要引入近似值*x 的相对误差限

)(*x r ε，它是相对误差绝对值的较小上界． 结合式(1.1)和(1.3)，*x 相对误差限可通过绝对误差限除以近似值的绝对值得到，即

***

)()(x x x r εε= (1.4)

为给出近似数的一种表示法，使之既能表示其大小，又能体现其精确程度，需引入有效数字以及有效数的概念．

定义1.3 设量x 的近似值*x 有如下标准形式 p n m a a a a x 21*.010⨯±=

()

p m p n m n m m a a a a ----⨯++⨯++⨯+⨯±101010102211 ＝(1.5)

其中}9,,1,0{}{1 ⊂=p i i a 且01≠a ，m 为近似值的量级． 如果使不等式