数值计算方法第二章参考答案

补充：取ε=0.00001,用龙贝格方法计算积分 补充
1 I=∫ 0
4 2 dx 1+x
f(1)=2 由梯形公式得
解:
f(x)=4/(1+x2) f(0)=4
T1=1/2[f(0)+f(1)]=3 计算f(1/2)=16/5 用变步长梯形公式得 T2=1/2[T1+f(1/2)]=3.1 由加速公式得 S1=1/3(4T2-T1)=3.133333333
由复化科斯特公式得，n=1，h=1, 得：
1 C1 = 7 f ( 0 ) + 32 f ( 0.25 ) + 12 f ( 0.5 ) + 32 f ( 0.75 ) + 7 f (1) 90 1 = [ 7 1.00000 + 32 1.65534 + 12 ⋅1.55152 + 32 1.06666 + 7 0.72159] 90 = 1.30859
取f(x)=x2, 则有：
1 0
x f ( x)dx = ∫ x dx = 0 3
2
3 1
0
取f(x)=x3, 则有：
1 1 3 0
x f ( x)dx = ∫ x dx = 0 4
Baidu Nhomakorabea
4 1
0
所以该求积公式的代数精度为2。
2.9 解：由复化梯形公式，n=4，h=1/4, 得：
1 T4 = f ( 0 ) + 2 ( f ( 0.25 ) + f ( 0.5 ) + f ( 0.75 ) ) + f (1) 8 1 = 1.00000 + 2 (1.65534 + 1.55152 + 1.06666 ) + 0.72159 8 = 1.28358
求出f(1/4)
f(3/4) 进而求得
T4=1/2{T2+1/2[f(1/4)+f(3/4)]}=3.131176471 S2=1/3(4T4-T2)=3.141568628 C1=1/15(16S2-S1)=3.142117648 计算f(1/8) f(3/8) f(5/8) f(7/8)进而求得 T8=1/2{T4+1/4[f(1/8)+f(3/8)+f(5/8)+f(7/8)]} =3.138988495 S4=1/3(4T８-T4)=3.141592503 C2=1/15(16S4-S2)=3.141594095 R1=1/63(64C2-C1)=3.141585784
由复化辛浦生公式，n=2，h=1/2, 得：
1 S 2 = f ( 0 ) + 4 ( f ( 0.25 ) + f ( 0.75 ) ) + 2 f ( 0.5 ) + f (1) 12 1 = 1.00000 + 4 (1.65534 + 1.06666 ) + 2 ⋅1.55152 + 0.72159 12 = 1.30939
数值计算方法第二章参考答案
1.2 解：取f(x)=x0, 则有：
∫
1
0
3 f ( x)dx = ∫ 1dx = 1 = 0 4
1
1 1 f + f (1) = 1 3 4
取f(x)=x1, 则有：
∫ ∫ ∫
1
0
x f ( x)dx = ∫ xdx = 0 2
1 1
2 1
0
1 3 1 1 3 1 1 = = f + f (1) = + = 2 4 3 4 8 8 2 1 3 1 1 1 1 1 = = f + f (1) = + = 3 4 3 4 12 4 3 1 3 = ≠ 4 4 3 1 5 1 1 f + f (1) = + = 108 4 18 3 4
把区间再二分，重复上述步骤算得 T16=3.140941613 C4=3.141592662 S8=3.141592652 R2=3.141592640 ≈ R2=3.141592640
由于 |R1-R2|<=0.00001,计算可停止，取