高等数学同济大学第六版本

习题9-2

1. 计算下列二重积分:

(1)⎰⎰+D

d y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1};

解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是

(2)⎰⎰+D

d y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域:

解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤2, 0≤y ≤2-x . 于是

⎰⎰+D

d y x σ)23(y d y x dx x

⎰⎰

-+=20

20

)23(dx y xy x ⎰-

+=2

22]3[

(3)⎰⎰++D

d y y x x σ)3(223, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};

(4)⎰⎰+D

d y x x σ)cos(, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区

域.

解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤π, 0≤y ≤x . 于是,

⎰⎰+D

d y x x σ)cos(⎰⎰+=x dy y x xdx 00)cos(π⎰+=π

00

)][sin(dx y x x x

2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分:

(2)⎰⎰D

d xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域;

(3)⎰⎰+D

y x d e σ, 其中D ={(x , y )| |x |+|y |≤1};

解 积分区域图如, 并且

D ={(x , y )| -1≤x ≤0, -x -1≤y ≤x +1}⋃{(x , y )| 0≤x ≤1, x -1≤y ≤-x +1}.

于是

⎰

⎰⎰

⎰⎰⎰+--+---++=1

1

1

1

1

1

x x y x

x x y

x

D

y

x dy e dx e dy e dx e d e

σ

⎰⎰+---+--+=1

1101

11][][dy e e dx e e x x y x x x y x ⎰⎰---+-+-=1

120

1

11

2)()(dx e e dx e e

x x

(4)⎰⎰-+D

d x y x σ)(22, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.

3. 如果二重积分⎰⎰D

dxdy y x f ),(的被积函数f (x , y )是两个函数f 1(x )及f 2(y )的乘

积, 即f (x , y )= f 1(x )⋅f 2(y ), 积分区域D ={(x , y )| a ≤x ≤b , c ≤ y ≤d }, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即

])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f d

c

b a

D

⎰⎰⎰⎰⋅=⋅

证明

dx dy y f x f dy y f x f dx dxdy y f x f d

c

b a d

c

b

a D

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅])()([)()()()(212121,

而 ⎰⎰=⋅d

c

d

c

dy y f x f dy y f x f )()()()(2121,

故

dx dy y f x f dxdy y f x f b a

d

c

D

⎰⎰⎰⎰=⋅])()([)()(2121.

由于⎰d

c

dy y f )(2的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得

])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f d

c

b a

D

⎰⎰⎰⎰⋅=⋅

4. 化二重积分⎰⎰=D

d y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同

的两个二次积分), 其中积分区域D 是:

(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且

D ={(x , y )|x y x x 2 ,40≤≤≤≤}, 或D ={(x , y )| y x y y ≤≤≤≤24

1 ,40},

所以 ⎰

⎰=x

x

dy y x f dx I 24

0),(或⎰⎰=y y dx y x f dy I 4

4

2),(.

(2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且

D ={(x , y )|220 ,x r y r x r -≤≤≤≤-}, 或D ={(x , y )| 2222 ,0y r x y r r y -≤≤--≤≤},

所以 ⎰

⎰--=2

20

),(x r r r

dy y x f dx I , 或⎰

⎰---=2

22

2),(0

y r y r r dx y x f dy I .

(3)由直线y =x , x =2及双曲线x

y 1=(x >0)所围成的闭区域;