动能定理的运用
动能定理的运用
动能定理的应用
应用动能定理的解题步骤
①确定研究对象，进行受力分析
②确定研究过程，进行运动分析
③分析各个力做功的情况，分析初、末态的动能
④根据动能定理列方程
一、利用动能定理求解多个力做功的问题
动能定理反映了外力的功和物体动能的变化之间关系，外力做正功，物体动能增加，外力做负功，物体动能减少。不仅适用于单个力做功的情况，也适用于多个力做功的情况，此时的功应理解为合外力的功或外力对物体做功的代数和。
例1、如图所示，物体置于倾角为37度的斜面的底端，在恒定的沿斜面向上的拉力的作用下，由静止开始沿斜面向上运动。F大小为2倍物重，斜面与物体的动摩擦因数为0.5，求物体运动5m时速度的大小。（g=10m/s2）
分析：
在将物体沿斜面向上拉的过程中，小球受四个力的作用：重力G、支持力N、沿斜面向上的拉力F和滑动摩擦力f。其中支持力不做功，F对物体做正功，G和f对物体做负功。
在将物体沿斜面向上运动3m的过程中，对物体由动能定理有：
ΣW=W f+W F+W G= mv -0
写出各功的表达式：-mgssinθ-fs+FS= mv -0
在垂直于斜面的向上物体没有运动：N=mgcosθf=μN
由以上三式解得：v2=10m/s
说明：
是物体在恒力作用下的匀变速直线运动，还可以用牛顿第二定律和匀变速运动公式来解。由于动能定理不涉及物体运动过程中的加速度和时间，因此应用它来解题往往比较方便。
二、利用动能定理求解变力做功的问题
动能定理反映了力对物体的作用效果在空间上的积累，不仅适用于恒力的功，而且适用于变力的功。从而提供了一种求变力功的方法。
例2、一个质量为m的小球用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P缓慢地移动到Q点，这时绳与竖直方向的夹角为θ，如图所示，则力F做的功是多少？
可解：
三、利用动能定理求解多过程问题
动能定理反映了功的一种累积效果：若物体运动经历多个过程，每一个过程中外力的总功等于这个过程中物体动能的变化，因此可以将所有过程相加，则有全过程中外力的总功等于全过程中物体动能的变化。因此动能定理也可应用于多个过程的问题。
例4、一个滑雪的人从高度为h的斜坡上由静止开始滑下，然后在水平面滑行一段距离停下来。已知斜面的倾角为θ，滑雪板和雪之间的动摩擦因数为μ，求滑雪人在水平面上滑行的距离S1。你能否求出滑雪人通过的水平距离S？其它条件不变，只改变斜坡的倾角θ，水平距离S是否改变？
分析：
对从A→B的全过程应用动能定理，分析人在A→C和C→B两个阶段的受力及力做功情况，具体受力情况如图所示，则由动能定理可知：
W总=W f1+W f2+W G=ΔE K
W f1+W f2+mgh=0①
设斜坡长为L，则W f1=f1·L·cos180°②
W f2=f2·S1·cos180°③
而f1=μN1=μmgcosθ，f2=μmg④
①、②、③、④联立：Lcosθ+S1=h/μ
而S＝S1＋Lcosθ，即S＝h/μ
可见若只改变θ，则S不会变，始终等于h/μ。
例5、一物体以初速度v0从倾角为α的斜面底端冲上斜面，到达某一高度后又返回，回到斜面底端的速度为v t，则斜面与物体间的摩擦系数μ等于多少？
分析：
设物体的质量为m，上升的最大高度为h。
物体在沿斜面上滑的过程中，重力和摩擦力都做负功，由动能定理，有
-mgh-μmgcosα =0- mv
物体在从最高点沿斜面下滑的过程中，重力做正功，摩擦力做负功，则
mgh-μmgcosα = mv -0
还可以研究物体从上到下的整个过程，重力做功为零，摩擦力一直做负功，则
-2μmgcosα = mv - mv
以上三个方程联立其中任意两个即可解得：
四、利用动能定理求解连接体问题
对于两个或两个以上的物体组成的系统，可以对整个系统运用动能定理求解。此时系统的外力的总功等于系统动能的变化。
例6、如图所示，质量皆为m的两物块A和B通过一根跨过滑轮的轻质细绳相连，放在一固定在水平地面的斜面上，A和斜面间的动摩擦因数为0.25。斜面长5m高3m，B距地面高2m。先用手托住B并从静止释放，求A沿斜面所能上升的最大位移。
物体的运动经历了两个过程：
过程1：释放B后，A沿斜面向上、B竖直向下做匀加速运动，A和B的位移的大小都为S，速度的大小始终相等。
过程2：B落地后，A沿斜面向上做匀减速运动，当其速度减小到零时，位移最大。
对于A、B组成的系统，在B落地前的匀加速运动过程中，系统受到的外力有A和B的重力，A受到的摩擦力和支持力。
由动能定理有：mgH-mgHsin37°-μmgHcos37°= 2mv2-0
对于A，在B落地后的匀减速运动过程中，由动能定理，有
-mgsin37°s-μmgHcos37°s=0- mv2
联立可解：
所以，A沿斜面所能上升的最大位移为
本周练习：
1、一物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平向右的恒力F1，经t秒后撤去F1，立即再对它施一水平向左的恒力F2，又经t秒后物体回到出发点，在这一过程中，F1、F2分别对物体作的功W1、W2间的关系是
（A）W2=W1（B）W2=2W1（C）W2=3W1（D）W2=5W1
2、某消防队员从一平台上跳下，下落2米后双脚触地，接着他用双腿弯曲的方法缓冲，使自身重心又下降了0.5米，在着地过程中地面对他双脚的平均作用力估计为
（A）自身所受重力的2倍（B）自身所受重力的5倍
（C）自身所受重力的8倍（D）自身所受重力的10倍
3、质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为
（A）mgR/4（B）mgR/3（C）mgR/2（D）mgR
4、如图所示，ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为θ的斜面，CD段是水平的，BC 是与AB和CD都相切的一小段圆弧，其长度可以略去不计。一质量为m的小滑块自高为h的A点从静止释放，沿轨道滑下，最后停在D点，A点和D点的水平位移为s。现用一水平方向的恒力F自D点开始推滑块，恰好能推回A点。则滑块自D回到A的过程中，动能的最大值为
（A）Fs（B）（Fs-hmg）（s-hctgθ）/s
（C）（Fs-hmgcosθ）（h/ssinθ）（D）mgh（s-hctgθ）/s
5、以10m/s的初速度竖直向上抛出一个质量为0.5kg的物体，它上升的最大高度为4m，设空气对物体的阻力大小不变，求物体落回抛出点时的动能。
参考答案：
1、C
2、B
3、C
4、B
5、15J
高斯定理--说课
物理教研室第周教研活动（说课） 高斯定理 说课人： 一、教学对象 授课学生： 2017级大二学生 教学对象分析： 数学基础：对于简单的一维、二维积分基本掌握； 物理基础：在前面我们学习了电场、电场线电场强度、电场强度通量的基本知识，而这一节的内容其实还是电场强度的通量的一种特殊求法。 学生为大学二年级学生，已经学习了高等数学，能够进行微积分和矢量运算；并且已经学习了电场、电场线电场强度、电场强度通量的基本知识， 二、使用教材及参考教材 1.使用教材 《物理学教程》（第三版）下册，马文蔚、周雨青、解希顺编，高等教育出版社。---该教材中高斯定理的验证比较简单，需参考其它教材改进。 2.参考交材 1）《普通物理学》（第五版）第二册，程守洙、江之永主编，高等教育出版社。
2）《新世纪大学物理》下册，陈颖聪、田杨萌主编，华东师范大学出版社。 三、所选内容在本课程中的地位 “高斯定理”是大学物理（二）电磁学篇章中“静电场”（也即教材中第九章）这一章中的重点，是期末考试必考的知识点。高斯定理是电场的重要性质之一。高斯定理是在库仑定律基础上得到的，它适用范围比后者更广泛。库仑定律只适用于真空中的静电场，而高斯适用于静电场和随时间变化的场，高斯定理是电磁理论的基本方程之一。 四、教学目标及其重难点 教学目标： 1）理解电通量的概念 2）理解并识记高斯定理表达式 3）掌握利用高斯定理求电荷对称分布的带电体周围电场强度的方法 教学重难点： 1）高斯定理的理解（重点） 2）高斯定理计算电场强度的条件和方法（重点、难点） 五、教学方法 1.讲授法(主要方法) 复习：电场、电场线、电场强度、电场强度通量复习等基本理论； 新课：高斯定理
高考物理动能与动能定理试题经典及解析
高考物理动能与动能定理试题经典及解析 一、高中物理精讲专题测试动能与动能定理 1．如图所示，半径R =0.5 m 的光滑圆弧轨道的左端A 与圆心O 等高，B 为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道的右端C 与一倾角θ=37°的粗糙斜面相切。一质量m =1kg 的小滑块从A 点正上方h =1 m 处的P 点由静止自由下落。已知滑块与粗糙斜面间的动摩擦因数μ=0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g =10 m/s 2。 (1)求滑块第一次运动到B 点时对轨道的压力。 (2)求滑块在粗糙斜面上向上滑行的最大距离。 (3)通过计算判断滑块从斜面上返回后能否滑出A 点。 【答案】(1)70N ； (2)1.2m ； (3)能滑出A 【解析】 【分析】 【详解】 (1)滑块从P 到B 的运动过程只有重力做功，故机械能守恒，则有 ()21 2 B mg h R mv += 那么，对滑块在B 点应用牛顿第二定律可得，轨道对滑块的支持力竖直向上，且 ()2 N 270N B mg h R mv F mg mg R R +=+=+= 故由牛顿第三定律可得：滑块第一次运动到B 点时对轨道的压力为70N ，方向竖直向下。 (2)设滑块在粗糙斜面上向上滑行的最大距离为L ，滑块运动过程只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得 cos37sin37cos370mg h R R L mgL μ+-?-?-?=（） 所以 1.2m L = (3)对滑块从P 到第二次经过B 点的运动过程应用动能定理可得 ()21 2cos370.542 B mv mg h R mgL mg mgR μ'=+-?=> 所以，由滑块在光滑圆弧上运动机械能守恒可知：滑块从斜面上返回后能滑出A 点。 【点睛】 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解。
功的计算与动能定理、功能关系经典题
3.足球运动员用力踢质量为0.3 kg的静止足球，使足球以10 m/s的 速度飞出，假定脚踢足球时对足球的平均作用力为400 N，球在水平 面上运动了20 m后停止，那么人对足球做的功为(选C ) A.8 000 J B.4 000 J C.15 J D.无法确定 4.某人用手将一质量为1 kg的物体由静止向上提升1 m，这时物体的 速度为2 m/s，则下列说法中错误的是(g取10 m/s2)(选B ) A.手对物体做功12 J B.合外力对物体做功12 J C.合外力对物体做功2 J D.物体克服重力做功10 J 9、距沙坑高7m处，以v0＝10m/s的初速度竖直向上抛出一个重力为5N的物体，物体落到沙坑并陷入沙坑0.4m深处停下．不计空气阻力，g＝10m/s2.求： (1)物体上升到最高点时离抛出点的高度； (2)物体在沙坑中受到的平均阻力大小是多少？ 四、动能定理分析连结体问题 4、如图所示,m A=4kg,m B=1kg,A与桌面间的动摩擦因数μ=0.2,B与地面间的距离s=0.8m,A、B间绳子足够长，A、B原来静止，求：（1）B落到地面时的速度为多大； （2）B落地后,A在桌面上能继续滑行多远才能静止下来。（g取10m/s2） 1．关于功的判断，下列说法正确的是() A．功的大小只由力和位移决定 B．力和位移都是矢量，所以功也是矢量 C．因为功有正功和负功，所以功是矢量 D．因为功只有大小而没有方向，所以功是标量 解析：选D.由功的公式W＝Fx cosα可知做功的多少不仅与力和位 移有关，同时还与F和x正方向之间的夹角有关，故A错；功是标量没 有方向，但有正负，正、负不表示大小，也不表示方向，只表示是动力做功还是阻力做功，故B、C错误，D项正确． 2．人以20 N的水平恒力推着小车在粗糙的水平面上前进了5.0 m，人放手后，小车还前进了2.0 m才停下来，则小车在运动过程中，人的推力所做的功为() A．100 J B．140 J C．60 J D．无法确定 解析：选A.人的推力作用在小车上的过程中，小车发生的位移是5.0 m，故该力做功为W＝Fx cosα＝20×5.0×cos0° J＝100 J. 4．如图4－1－17所示，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动的过程中，A、B 之间有相互的力，则对各力做功的情况，下列说法中正确的是(地面光滑，A、B物体粗糙)() A．A、B都克服摩擦力做功 B．A、B间弹力对A、B都不做功 C．摩擦力对B做负功，对A不做功
科斯定理在生活中的应用
科斯定理在生活中的应用 08保险赵薇 一，科斯定理 科斯定理比较流行的说法是：只要财产权是明确的，并且交易成本为零或者很小，那么，无论在开始时将财产权赋予谁，市场均衡的最终结果都是有效率的，实现资源配置的帕雷托最优。 科斯定理旨在描述资源稀缺性必定引发各种经济竞争和交易费用发生，而明晰界定的产权安排则是节省交易费用从而是决定经济效率的基本制度设定。经济发展水平取决于经济效率优劣，经济效率优劣取决于交易成本高低，交易成本高低则取决于产权是否明晰界定，而产权明晰效应则又取决于政府是否将产权界定给私人。从制度运行的延伸联系来看，政府效能→产权安排→交易成本→经济效率→经济发展，这就是科斯定理所解释和描述的内在逻辑联系。 在现实世界中，科斯定理所要求的前提往往是不存在的。财产权的明确是很困难的，交易成本也不可能为零，有时甚至是比较大的。因此，依靠市场机制矫正外部性（指某个人或某个企业的经济活动对其他人或者其他企业造成了影响，但却没有为此付出代价或得到收益）是有一定困难的。但是，科斯定理毕竟提供了一种通过市场机制解决外部性问题的一种新的思路和方法。 二，科斯定理的应用 红绿灯对交通的改善作用可以用科斯定理来解释。 交通的十字路口是公共资源，通过红绿灯对车辆的交通资源划分符合交易成本为零或者很小的条件，无论开始将资源分配给十字路口车辆的任何一方，都能最终实现资源的有效配置，并且达到帕累托最优。红绿灯解决十字路口的堵塞问题就在于其划分了该公共资源的使用权，使产权明晰。 这也是政府通过效能达到产权安排，通过节省交易成本最终达到经济效益最大化，促进经济发展的一个实际例子。 另一个简单的例子是：国家出台公共场合不准吸烟的规定。 通过这个规定我们可以知道，社会把公共场所空气清洁的权利赋予了不会吸烟的
对高斯定理的理解
对高斯定理的理解 1．高斯面S是静电场中的任意闭合曲面．但S面上不能有有限的电荷分布。 2．从高斯定理看电力线的性质：高斯定理说明正电荷是发出E通量的源，负电荷是吸收E通最的源。若闭合面内存在正(负)电荷．则通过闭合面的E通量为正(负)．表明有电力线从面内(面外)穿出(穿入)，即正(负)源电荷发射(吸收)电场线；若闭合面内没有电荷，则通过闭合面的E通量为零，意味着有多少电场线穿入就有多少电场线穿出，说明在没有电荷的区域内电场线不会中断. 在闭合面内，电荷空间分布的变化将改变闭合面上各点场强的大小和方向，但只要电量相同．就不会改变通过整个闭合面的E通量： 在闭合面外，有无电荷及其如何分布，将会影响闭合面上各处场强的大小和方向，但对通过整个闭合面的E通量没有贡献。 3．利用库仑定律和叠加原理导出高斯定理，库仑定律在电荷分布已知情况下，能求出场强的分布；高斯定理在电场强度分布已知时．能求出任意区域的电荷；当电荷分布具有某种对称分布时．可用高斯定理求出这种电荷系的场强分布，而且这种方法在数学上比用库仑定律简便得多；对于静止电荷的电场，可以说库仑定律与高斯定理是等价的；在研究运动电荷的电场或一般地随时间变化的电场时，库仑定律不再成立，而高斯定理却仍然有效。所以说：高斯定理是关于电场的普遍的摹本规律。 高斯定理求电场步骤 高斯定理的一个重要应用。是用来计算带电体周围电场的电场强度。实际上。对称性不是应用高斯定理求场强的条件，对于具有对称性．且能应用高斯定理求场强的问题，由于具有对称性．总可选择合适的高斯面而使计算较为简便：但在某些非对称情况下，只要高斯定理中的f-E·ds能够进行积分，则无论电荷或电场分布是否具有对称性，均能应用高斯定理求电场强度。因此对称性不是应用高斯定理求场强的条件，应用高斯定理求场强的关键是看(1)左边的积分能否进行，过分强调对称性，往往导致忽视应用高斯定理求场强的数学条件，造成对高斯定理的误解，应用高斯定理求场强问题的步骤： 1．分析场强或电荷分布的特点．进行对称性分析和判断，即由电荷分布的对称性。分析场强分布的对称性，非对称情况下，判断能够进行积分，判断f．E·ds 能否用高斯定理来求电场强度的分布。这一步是解题的关键，也是解题的难点。常见的对称性有球对称性包括均匀带电球面、球体、点电荷；轴对称性包括均匀带电的“无限长”圆柱面、圆柱体、细直线；面对称性包括均匀带电的“无限大”平面、平板。 2．根据场强分布的特点。作适当的高斯面，要求：①待求场强的场点应在此高斯面上，②穿过该高斯面的电通量容易计算。一般地。高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直，n与E平行时．E的大小要求处处相等，使得E能提到积分号外面。 3．计算电通量f E·dS和高斯面内所包围的电荷的代数和。最后由高斯定理求出场强。
动能和动能定理
动能和动能定理教案 教学目标 一.知识与技能 1．使学生进一步理解动能的概念，掌握动能的计算式． 2．结合教学，对学生进行探索研究和科学思维能力的训练． 3．理解动能定理的确切含义，应用动能定理解决实际问题．二.过程与方法 1．运用演绎推导方式推导动能定理的表达式． 2．理论联系实际，学习运用动能定理分析解决问题的方法．三.情感、态度与价值观 通过动能定理的演绎推导．感受成功的喜悦，培养学生对科学研究的兴趣． 教学重点、难点 教学重点 动能定理及其应用． 教学难点 对动能定理的理解和应用． 教学方法 探究、讲授、讨论、练习 教学活动 [新课导入] 师：在前几节我们学过，当力对一个物体做功的时候一定对应于
某种能量形式的变化，例如重力做功对应于重力势能的变化，弹簧弹力做功对应于弹簧弹性势能的变化，本节来探究寻找动能的表达式．在本章“1．追寻守恒量”中，已经知道物体由于运动而具有的能叫做动能，大家先猜想一下动能与什么因素有关? 生：应该与物体的质量和速度有关． 我们现在通过实验粗略验证一下物体的动能与物体的质量和速度有什么样的关系． (实验演示或举例说明) 让滑块A从光滑的导轨上滑下，与静止的木块月相碰，推动木块做功． 师：让同一滑块从不同的高度滑下，可以看到什么现象? 生：让同一滑块从不同的高度滑下，可以看到：高度大时滑块把木块推得远，对木块做的功多． 师：说明什么问题? 生：高度越大，滑到底端时速度越大，在质量相同的情况下，速度越大，对外做功的本领越强，说明物体由于运动而具有的能量越多．师：让质量不同的木块从同一高度滑下，可以看到什么现象? 生：让质量不同的木块从同一高度滑下，可以看到：质量大的滑块把木块推得远，对木块做的功多． 师：说明什么问题? 生：相同的高度滑下，具有的末速度是相同的，之所以对外做功的本领不同，是因为物体的质量不同，在速度相同的情况下，质量越
科斯定理(一二三)
科斯第一定理 （一）在交易费用为零的情况下，不管权利如何进行初始配置，当事人之间的谈判都会导致资源配置的帕雷托最优； （二）在交易费用不为零的情况下，不同的权利配置界定会带来不同的资源配置； （三）因为交易费用的存在，不同的权利界定和分配，则会带来不同效益的资源配置，所以产权制度科斯定理的设置是优化资源配置的基础（达到帕雷托最优）。 科斯定理的精华在于发现了交易费用及其与产权安排的关系，提出了交易费用对制度安排的影响，为人们在经济生活中作出关于产权安排的决策提供了有效的方法。根据交易费用理论的观点，市场机制的运行是有成本的，制度的使用是有成本的，制度安排是有成本的，制度安排的变更也是有成本的，一切制度安排的产生及其变更都离不开交易费用的影响。 科斯定理的两个前提条件：明确产权和交易成本钢铁厂生产钢，自己付出的代价是铁矿石、煤炭、劳动等，但这些只是“私人成本”；在生产过程中排放的污水、废气、废渣，则是社会付出的代价。如果仅计算私人成本，生产钢铁也许是合算的，但如果从社会的角度看，可能就不合算了。于是，经济学家提出要通过征税解决这个问题，即政府出面干预，赋税使得成本高了，生产量自然会小些。但是，恰当地规定税率和有效地征税，也要花费许多成本。于是，科斯提出：政府只要明确产权就可以了。如果把产权“判给”河边居民，钢铁厂不给居民们赔偿费就别想在此设厂开工；若付出了赔偿费，成本高了，产量就会减少。如果把产权界定到钢铁厂，如果居民认为付给钢铁厂一些“赎金”可以使其减少污染，由此换来健康上的好处大于那些赎金的价值，他们就会用“收买”的办法“利诱”厂方减少生产从而减少污染。当厂家多生产钢铁的赢利与少生产钢铁但接受“赎买”的收益相等时，它就会减少生产。从理论上说，无论是厂方赔偿，还是居民赎买，最后达成交易时的钢产量和污染排放量会是相同的。但是，产权归属不同，在收入分配上当然是不同的：谁得到了产权，谁可以从中获益，而另一方则必须支付费用来“收买”对方。总之，无论财富分配如何不同，公平与否，只要划分得清楚，资源的利用和配置是相同的——都会生产那么多钢铁、排放那么多污染，而用不着政府从中“插一杠子”。那么政府做什么呢?明确产权，并且有效地保护产权。 科斯定理表明，市场的真谛不是价格，而是产权。只要有了产权，人们自然会“议出”合理的价格来。 但是，明确产权只是通过市场交易实现资源最优配置的一个必要条件，却不是充分条件。另一个必要条件就是“不存在交易成本”。交易成本，简单地说是为达成一项交易、做成一笔买卖所要付出的时间、精力和产品之外的金钱，如市场调查、情报搜集、质量检验、条件谈判、讨价还价、起草合同、聘请律师、请客吃饭，直到最后执行合同、完成一笔交易，都是费时费力的。就河水污染这个问题而论，居民有权索偿，但可能会漫天要价，把污染造成的“肠炎”说成“胃癌”；在钢铁厂有权索要“赎买金”的情况下，它可能把减少生产的损失一元说成十元。无论哪种情况，对方都要调查研究一番。如果只是一家工厂和一户居民，事情还好办。当事人的数目一大，麻烦就更多，因为有了“合理分担”的问题。如果是多个厂家，谁排了污水、排了多少，他们如何分摊赔偿金或如何分享“赎买金”就要先扯皮一番；如果是多户居民，谁受害重谁受害轻，怎么分担费用或分享赔偿，也可打得不可开交。正是这些交易成本，可能使得前面所说的那种由私人交易达到的资源配置无法实现——或是大家一看有这么多麻烦，望而却步。所以说，科斯定理的“逆反”形式是：如果存在交易成本，即使产权明确，私人间的交易也不能实现资源的最优配置。 科斯定理的两个前提条件各有所指，但并不是完全独立、没有联系。最根本的是明确产权对减少交易成本的决定性作用。产权不明确，后果就是扯皮永远扯不清楚，意味着交易成本无穷大，任何交易都做不成；而产权界定得清楚，即使存在交易成本，人们在一方面可以
静电场中的高斯定理
静电场中的高斯定理 [摘要] 高斯定理是静电学的重要定理，它可以通过数学证明方法得到，同时 要注意高斯面的选择和对高斯定理的理解。 [关键字] 高斯定理 高斯面 证明 注意事项 [内容] 高斯定理是静电学中的一个重要定理，它反映了静电场的一个基本性质，即静电场是有源场，其源就是电荷。可以将其表述为：在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的ε0 分之一，而与闭合曲面外的电荷无关。高斯定理的表达式如下： ? ?= ?=ΦV e dq 1 d εS S E 其中，E 表示在闭合曲面上任一dS 面处的电场强度，而EdS 则表示通过面元dS 的电场强度通量， 就表示通过整个闭合曲面S 的电场强度通量， 习惯上称闭合曲面S 为高斯面。由高斯定理可知：静电场是有源的，发散的，源头在电荷所在处，由此确定的电场线起于正电荷，终于负电荷。 下面对于静电场中的高斯定理进行证明： （a ）点电荷在球面中心 点电荷q 的电场强度为 r r q 41 30??=πεE 球面的电通量为 2 20S 2 030q r 4r 4q d r 4q d r r q 41 d εππεπεπε= ??==???=????S S S E S S （1） （b ）点电荷在任意闭曲面外
闭曲面S 的电通量为 ()??? ?++= ++=??? =?S S S S S E zdxdy r 1ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r 1 4q d r r q 41d 3330S 3030 πεπεπε （2） 根据高斯公式 ?????++=???? ? ???+??+??S V R Q P R Q P dxdy dzdx dydz dxdydz z y x （3） 并考虑到3 33r z r y ,r x === R Q P ，在S 内有连续一阶的偏导数，故式（2）可以用高斯公式计算。 将式（2）代入式（3）中得 ()???? ?? ? =???? ? ??? ???????? ???+???? ???+???? ???= ++= ++=??? =?V 33303330 S 3030 0dxdydz z r z y r y x r x 4q zdxdy r 1 ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r 1 4q d r r q 41d πεπεπεπεS S S S S E
高中物理功与动能定理
功功率与动能定理 一、功 要点：条件、；公式： 1.功的正负的判断：；； 例1如图1所示，物体沿弧形轨道滑下后进入足够长的水平传送带，传送带以图示方向匀速运转，则传送带对物体做功情况可能是（） A.始终不做功 B.先做负功后做正功 C.先做正功后不做功 D.先做负功后不做功 对应练习： 1.如图，拖着旧橡胶轮胎跑是身体耐力训练的一种有效方法.如果某受训者拖着轮胎在水平直道上跑了100 m，那么下列说法正确的是( ) A．轮胎受到地面的摩擦力做了负功 B．轮胎受到的重力做了正功 C．轮胎受到的拉力不做功 D．轮胎受到地面的支持力做了正功 2.如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体 与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度 a沿水平方向向左做匀加速运动，位移为S，运动中物体m 与斜面体相对静止．则支持力做功为，斜面对 物体做的功为． 3.如图所示，木板可绕固定的水平轴O转动．木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止．在这一过程中，物块的重力势能增加了2J．用FN表示物块受到的支持力，用Ff表示物块受到的静摩擦力．在这一过程中，以下判断正确的是（）A. FN和Ff对物块都不做功 B．FN对物块做功为2J，Ff对物块不做功 C．FN对物块不做功，Ff对物块做功为2J D．FN和Ff对物块所做的总功为4J 2.功的计算： 恒力做功： 多个力总功： 滑动摩擦力的功： 变力做功：； 例2一人在A点拉着绳通过一定滑轮，吊起质量m=50kg的物体，如图所示，开始绳与水平方向夹角为60°，当人匀速提起重物，由A点沿水平方向运动距离s=2m到达B点，此时绳与水平方向成30°角，求人对绳的拉力做的功？ 例3如图所示，一质量m=2.0 kg的物体从半径为R=5.0 m的圆弧的A端在拉力作用下沿圆弧运动到B端.拉力F大小不变始终为15 N，方向始终与物体在该点的切线成37°角.物体与圆弧面的动摩擦因数为0.2.圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向.求这一过程中：
庇古税科斯定理
庇古税科斯定理 庇古税的简介庇古环境税可溯源到由福利经济学家庇古所提出的庇古税(Pigouivain tax)。庇古税是解决环境问题的古典教科书的方式，属于直接环境税。它按照污染物的排放量或经济活动的危害来确定纳税义务，所以是一种从量税。庇古税的单位税额，应该根据一项经济活动的边际社会成本等于边际效益的均衡点来确定，这时对污染排放的税率就处于最佳水平。 按照庇古的观点，导致市场配置资源失效的原因是经济当事人的私人成本与社会成本不相一致，从而私人的最优导致社会的非最优。因此，纠正外部性的方案是政府通过征税或者补贴来矫正经济当事人的私人成本。只要政府采取措施使得私人成本和私人利益与相应的社会成本和社会利益相等，则资源配置就可以达到帕累托最优状态。这种纠正外在性的方法也称为“庇古税”方案。 在科斯条件下，庇古税本身将造成资源配置失调。 庇古税的意义庇古税是解决环境问题的古典教科书的方式，属于直接环境税。它按照污染物的排放量或经济活动的危害来确定纳税义务，所以是一种从量税。庇古税的单位税额，应该根据一项经济活动的边际社会成本等于边际效益的均衡点来确定，这时对污染排放的税率就处于最佳水平。 庇古税的意义在于:首先，通过对污染产品征税，使污染环境的外部成本转化为生产污染产品的内在税收成本，从而降低私人的边际净收益并由此来决定其最终产量.其次，由于征税提高污染产品成本，降低了私人净收益预期，从而减少了产量，减少了污染。第三，庇古税作为一种污染税，虽然是以调节为目的的，但毕竟能提供一部分税收收入，可专项用于环保事业。即使作为一般税收收入，也可以相应减轻全国范围内的税收压力。第四，庇古税会引导生产者不断寻求清洁技术.
静电场的高斯定理复习题,DOC
－选择题 1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔〕 答案：()D 2. ()A q 3.面的电通量为1φ，2φ，()A φ()B φ()C φ()D φ 4. () A () B () C () D 〔〕答案：()C 5.有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则 ()A 120,/q φφφε>=；()B 120,2/q φφφε<=； ()C 120,/q φφφε==；()D 120,/q φφφε<=。 〔〕 q S 2
答案：()D 6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ()A 将另一点电荷放在高斯面外；()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内；()D 将高斯面半径缩小。 7.A q -()A ()B 小为()C ()D 〔〕8. ( (9. (Q 60 ε ()C 穿过每一表面的电通量都等于 Q 30 ε；()D 穿过每一表面的电通量都等于0 24Q ε 〔〕 答案：()D 10.高斯定理0 nt i d ε∑?= ?q S E S ()A 适用于任何静电场。
动能和动能定理(说课稿)
《动能和动能定理》说课稿 ?教学目标说明 1、知道动能的符号，单位，表达式，能用表达式计算动能。 2、能从牛顿第二定律及运动学公式得出动能定理，理解动能定理的物理意义。 3、领会其优越性，理解做功的过程就是能量转化的过程，会简单应用动能定理。 4、知道动能定理也可用于变力做功与曲线运动的情景，能用动能定理计算变力做功问题。二?学情分析 (1 )学生已经认识到做功必然引起对应能量发生变化。 (2 )学生已经知道物体由于运动而具有的能叫做动能。 (3 )学生已经知道用牛顿第二定律和运动学公式可以把力学量与运动联系到一起。三?新课引入1、两种引入方案(针对基础不同的学生) 引入本节课，利用学生已经积累的知识和经验可在总结实验探索结果的基础上，针对基 础不同的同学采用不同的引入方法，进行动能定理的论证。 简单指出，理论推导与实验探究都是认识物理规律的一般方法，牛二定律：力使物体产生加速度，使物体速度发生改变，因此我们可以用牛二定律及运动学公式来研究做功与物体速度变化间的关系。 对于基础较好的学生，我们可以直接提出问题：能否从理论上研究做功与物体速度变化之间的关系呢？一一引导学生讨论，明确牛二“力一一加速度一一速度”变化。因此可以用牛二定律及运动学公式研究做功与物体速度变化间的关系。 2、教材关于动能表达式的给出 不是简单的直接给出动能的表达式，而是由理论推导之后，进一步推理分析后再定义物 体动能的。这种处理方式与前面的重力势能、弹性势能的得出是一脉相承的，在这里学生接 受起来不会有太大的障碍。 总结：这样引入的好处是：从牛二定律及运动学公式推导动能定理的过程中蕴涵着丰 富而深刻的物理内容，能帮助学生很好的理解牛二定律与动能定理的联系、区别，准确把握 动能定理的内容以及如何灵活应用。 四.教材、教法分析 1、动能定理的推导(两种方案根据学生基础选择) (1)给出情景：恒力F、L、m、v-i、v2。 (2)提出问题：F做功与速度变化间有什么关系呢？ (3)学生推理：得出动能定理。 (4)揭示意义：我们已经知道功与能量变化是紧密联系的，重力做功与物体重力势 能变化有一定联系，弹力做功与弹性势能变化有一定联系。因此( 3)中是力F 1 2 做功与一mv2变化关系，换言之就是力对物体做的功与物体动能变化的关系式。 2 1 1 (5)定义动能：由于W等于一mv2的变化量，可见一mv2是个有特殊意义的物理量， 2 2 我们将它定义为动能。
功、功率与动能定理(解析版)
构建知识网络： 考情分析： 功和功率、动能和动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律是力学的重点，也是高考考查的重点，常以选择题、计算题的形式出现，考查常与生产生活实际联系紧密，题目的综合性较强。复习中要特别注意功和功率的计算，动能定理、机械能守恒定律的应用以及与平抛运动、圆周运动知识的综合应用 重点知识梳理： 一、功 1.做功的两个要素 (1)作用在物体上的力. (2)物体在力的方向上发生的位移. 2.功的物理意义 功是能量转化的量度. 3.公式 W ＝Fl cos_α (1)α是力与位移方向之间的夹角，l 为物体对地的位移. (2)该公式只适用于恒力做功. 4.功的正负 (1)当0≤α<π 2 时，W >0，力对物体做正功. (2)当π 2<α≤π时，W <0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功. (3)当α＝π 2时，W ＝0，力对物体不做功. 通晓两类力做功特点 (1)重力、弹簧弹力和电场力都属于“保守力”，做功均与路径无关，仅由作用对象的初、末位置(即位移)决定。
(2)摩擦力属于“耗散力”，做功与路径有关。 二、功率 1.物理意义：描述力对物体做功的快慢. 2.公式： (1)P ＝W t ，P 为时间t 内的物体做功的快慢. (2)P ＝Fv ①v 为平均速度，则P 为平均功率. ②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率. 3.对公式P ＝Fv 的几点认识： (1)公式P ＝Fv 适用于力F 的方向与速度v 的方向在一条直线上的情况. (2)功率是标量，只有大小，没有方向；只有正值，没有负值. (3)当力F 和速度v 不在同一直线上时，可以将力F 分解或者将速度v 分解. 4.额定功率：机械正常工作时的最大功率. 5.实际功率：机械实际工作时的功率，要求不能大于额定功率. 三、动能 1.定义：物体由于运动而具有的能. 2.公式：E k ＝1 2 mv 2. 3.物理意义：动能是状态量，是标量(选填“矢量”或“标量”)，只有正值，动能与速度方向无关. 4.单位：焦耳，1J ＝1N·m ＝1kg·m 2/s 2. 5.动能的相对性：由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性. 6.动能的变化：物体末动能与初动能之差，即ΔE k ＝12mv 22－1 2mv 12. 四、动能定理 1.内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化. 2.表达式：(1)W ＝ΔE k . (2)W ＝E k2－E k1. (3)W ＝12mv 22－1 2mv 12. 3.物理意义：合外力做的功是物体动能变化的量度. 4.适用条件 (1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动. (2)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功.
科斯定理与案例分析
科斯第一定理 科斯在《社会成本问题》一文中提到“没有权利的初始界定，就不存在权利转让和重新组合的市场交易。但是定价制度的运行毫无成本，最终的结果（指产值最大化）是不受法律状况影响的。”这就是科斯第一定理。换句话说也就是如果交易费用为零，不管产权初始如何安排，市场机制会自动达到帕雷托最优。 科斯第二定理 科斯的原话说，“一旦考虑到进行市场交易的成本，合法权利的初始界定会对经济制度运行的效率产生影响。”即在交易费用不为零的情况下，不同的权利配置界定会带来不同的资源配置。这又有两层含义：一、在交易成本大于零的现实世界，产权初始分配状态不能通过无成本的交易向最优状态变化，因而产权初始界定会对经济效率产生影响。二、权利的调整只有在有利于总产值增长时才会发生，而且必须在调整引起的产值增长大于调整时所支出的交易成本时才会发生。 案例——关于科斯定理的应用 假设一家化工厂将其污物排入河流，引起下游六户居民的供水污染，结果每户损失100元，共计600元。污物有两种方法消除：（1）工厂花费300元安装污水过滤器；（2）为每个居民安装净水器，每家75元，共450元。显然最好的办法是工厂安装过滤器，因为它仅用300元就消除了600元的危害。 如果法律赋予家庭使用清洁水的权利，工厂将支付600元的赔偿金，花费300或450来净水。所以，工厂最有效的办法是自己花300安装污水过滤器。 如果法律赋予工厂排污的权利，最终结果为，居民为工厂安装污水过滤器。所以，在假设交易成本为零的前提下，无论法律如何配置初始权利，都可达成做有效的方法，即在工厂安装净水过滤器。这正好体现科斯第一定理的内容。 进一步讨论，如果法律赋予工厂排污的权利，居民在一起进行集体选择的交易成本不为零，每户付出成本30元时，情况又会发生变化。因为那样每户居民将花费75元购买净水器。 450/6=75<(30+300/6=80) 450<180+300=480 因此由于交易成本的变化，居民将选择自己安装净水器，而不是第一种情况下的为工厂安装过滤器。这正好体现了科斯第二定理。
动能和动能定理教学设计
《动能和动能定理》教学设计 西安市第五十五中学 樊首望 2010年5月
《动能和动能定理》教学设计 西安市第五十五中学樊首望 一、设计理念： 本教学设计以新课程的三维目标为依据，重视学生的学习过程，体现“以学生为主体，以教师为主导”的新型师生关系，强化情感、态度与价值观的教育，发展学生的科学素养。力图在教学中营造活跃、宽松的学习氛围，鼓励学生合作探究，为学生与学生、教师与学生的交流与合作创设更多的机会，也为教学活动中的“生成”搭建舞台。其设计特色有二，其一，密切联系实际，从特殊简单问题到一般较复杂问题的循序渐进的研究；其二，教师精心设计引导，学生自然的自主探索，推理，师生互动贯穿整个教学过程。 二、教材分析： 1．内容： 《动能和动能定理》是高中物理（新人教版）必修二的第七章的第7节内容。是本章教学的重点。通过前面几节的学习，学生已认识到某个力对物体做功就一定对应着某种能量的变化。而在初二学生已知道物体由于运动所具有的能叫动能。那么，物体的动能跟哪些因素有关？引起动能变化的原因是什么？就是本节要研究的内容。 2．作用： 本节内容是上一节内容的一个延伸，也是下一节推导机械能守恒定律的依据，具有承前启后作用。通过本节内容的学习，既深化了对功的概念的理解，使学生对“功是能量转化的量度”有了进一步地理解。拓展了求功的思路并为用功能关系处理问题打开了思维通道。作为力学中最重要的规律之一，它的应用更是贯穿于以后的很多章节。由于动能定理适用于恒力、变力做功，应用十分广泛，所以必须使学生真正的掌握好它。 三、学情分析： 学生在初中阶段已学习过动能的概念，并知道运动物体的速度越大质量越大，动能就越大。而且通过前面的学习，学生已经初步掌握了“功是能量转化的量度”，知道能量的转化可以通过力做功来实现，这为“动能”“动能定理”的推导埋下了伏笔。但普通中学学生的学习积极性不高，主动性不强，注意力也不够集中，再加上他们数学基础较差，逻辑思维能力和运算能力较弱，所以我在本节课的设计中充分考虑了上述因素。 四、三维目标：
动能定理试题及答案详解
第七节 动能和动能定理 例1 一架喷气式飞机，质量m =5×103kg ，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s =5.3×102m 时，达到起飞的速度v =60m/s ，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍（k =0.02），求飞机受到的牵引力。 例2 将质量m=2kg 的一块石头从离地面H=2m 高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm 深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g 取10m/s 2） 例3 一质量为0.3㎏的弹性小球，在光滑的水平面上以6m/s 的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv 和碰撞过程中墙对小球做功的大小W 为（ ） A .Δv=0 B. Δv =12m/s C. W=0 D. W=10.8J 例4 在h 高处，以初速度v 0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为（ ） A. gh v 20+ B. gh v 20- C. gh v 220+ D. gh v 220- 例5 一质量为 m 的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点。小球在水平拉力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移动到Q 点，如图2-7-3所示，则拉力F 所做的功为（ ） A. mgl cos θ B. mgl (1－cos θ) C. Fl cos θ D. Flsin θ 例6 如图所示，光滑水平面上，一小球在穿过O 孔的绳子的拉力 作用下沿一圆周匀速运动，当绳的拉力为F 时，圆周半径为R ，当绳的 拉力增大到8F 时，小球恰可沿半径为R ／2的圆周匀速运动在上述增大 拉力的过程中，绳的拉力对球做的功为________. 2-7-3 θ F O P Q l h H 2-7-2
功和功率,动能定理
第一部分功和功率 知识要点梳理 知识点一——功和功的计算 ▲知识梳理 1．功的定义 一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，就说这个力对物体做了功。 2．做功的两个必要因素 力和物体在力的方向上发生的位移，缺一不可。 如图甲所示，举重运动员举着杠铃不动时，杠铃没有发生位移，举杠铃的力对杠铃没有做功。如图乙所示，足球在水平地面上滚动时，重力对球做的功为零。 3．功的物理意义：功是能量变化的量度 能量的转化跟做功密切相关，做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功就有多少能量发生了转化，功是能量转化的量度。 4．公式 （1）当恒力F的方向与位移l的方向一致时，力对物体所做的功为W = Fl。 （2）当恒力F的方向与位移l的方向成某一角度时，力F物体所做的功为．即力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移的夹角的余弦这三者的乘积。 5．功是标量，但有正负 功的单位由力的单位和位移的单位决定。在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。 一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功（取绝对值）。这两种说法在意义上是相同的。例如竖直向上抛出的球，在向上运动的过程中，重力对球做了－6J的功，可以说成球克服重力做了6J的功。 由，可以看出： ①当=0时，，即，力对物体做正功； ②当时，，力对物体做正功。 ①②两种情况都是外界对物体做功。 ③当时，力与位移垂直，，即力对物体不做功，即外界和物体间无能量交换； ④当时，，力对物体做负功； ⑤当时，，此时，即力的方向与物体运动位移的方向完全相反，是物体运动的阻力。 ④⑤两种情况都是物体对外界做功。 6．合力的功 当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力的合力对物体所做的功，等于各个力分别对物体所做功的代数和。 求合力的功可以先求各个力所做的功，再求这些力所做功的代数和；也可先求合外力，再求合外力的功；也可用动能定理求解。 ▲疑难导析 一、功的正负的理解和判断 1．功的正负的理解 功是一个标量，只有大小没有方向。功的正负不代表方向，也不表示大小，只说明是动力做功还是阻力做功，或导致相应的能量增加或减少。 2．常用的判断力是否做功及做功正负的方法 （1）根据力和位移方向的夹角判断： ①当时，，力对物体做正功； ②当时，，力对物体做负功，也称物体克服这个力做了功； ③当时，，力对物体不做功。 （2）根据力和瞬时速度方向的夹角判断。此法常用于判断质点做曲线运动时变力做的功。 ① 时，力F对物体不做功。例如，向心力对物体不做功；作用在运动电荷上的洛伦兹力对电荷不做功； ②当时，力F对物体做正功； ③当时，力F对物体做负功，即物体克服力F做功。 （3）根据质点或系统能量是否变化，彼此是否有能量转移或转化进行判断。若有能量的变化，或系统内各质点间彼此有能量的转移或转化，则必定有力做功。 二、功的计算方法 1．功的公式：，是力的作用点沿力的方向上的位移，公式主要用于求恒力做功和F随l做线性变化的变力做功（此时F取平均值）。 2．合力做功的计算 （1）合力做的功等于各力做功的代数和。即 （2）先求出物体受到的合力，再由求解，但应注意应为合力与位移l的夹角，在运动过程中保持不变。 3．变力做功的求解方法 （1）用动能定理或功能关系（功是能量转化的量度） （2）将变力的功转化为恒力的功 ①当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力做的功等于力和路程（不是位移）的乘积，如滑动摩擦力、空气阻力做功等。 ②当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求出力对位移的平均值，再由计算，如弹簧弹力做功。 ③作出变力F随位移变化的图象，图线与横轴所夹的“面积”即为变力所做的功。如图所示。
科斯定理的案例
科斯定理的案例 我们举一个数字例子（在西方，有关科斯定理的论述，包括科斯本人的文章在内，往往实用简单的数字例子。这里的例子取自波林斯基《法律学和经济学引论》，利特尔和勃朗出版社，波士顿，１９８３年版，第１１－１４页）：假设有一工厂，它的烟囱冒出的烟尘使得５户居住于工厂附近的居民所洗晒的衣服受到损失，每户的损失为７５元，从而５户损失的总额为３７５元。 要想矫正这一受污染之害的状态，又假设只存在两种治理的办法：第一是在工厂的烟囱上安装一个除尘器，其费用为１５０元；第二是给每户提供一个烘干机，使它们不需要去晒衣服，烘干机的费用假设为每户５０元，因此第二种办法的成本总和是２５０元。显然，在这两种解决办法中，第一种是比较节约的，它的成本较低，代表最有效率的解决方案。这种最有效率的解决方案，在西方经济学中被成为帕累托最优状态。关于帕累托最优状态，下面还将加以解释。 按照科斯定理的含义，上述例子中，不论给予工厂以烟囱冒烟的权利，还是给予５户居民晒衣服不受烟囱污染的权利（即上述的财产所有权的分配），只要工厂与５户居民协商时其协商费用为零（即上述的交易费用为零），那末，私有制的市场机制（即私人之间自由进行交易）总是可以得到最有效率的结果（即采用安装除尘器的办法）。
为什么如此？按照科斯等西方学者的解释，如果把排放烟尘的财产所有权给予工厂，即工厂有权排放烟尘，那末，５户居民便会联合起来，共同给工厂义务安装一架除尘器，因为，除尘器的费用低于５架烘干机，更低于晒衣所受到的烟尘之害（３７５元）。如果把晒衣服不受烟尘污染的产权给予５户居民，那末，工厂便会自动地给自己安装除尘器，因为，在居民具有不受污染之害的产权的条件下，工厂有责任解决污染问题，而在两种解决办法中，安装除尘器的费用较低。 因此，科斯定理宣称，在交易费用为零的条件下，只要产权明晰化，不论产权归谁，私有制的市场机制总会找到最有效率的办法，从而达到帕累托最优状态。 当然，科斯定理的结论只有在交易费用为零时才能得到。如果不是如此，结果便会不同。例如，假设在工厂具有排放烟尘产权的条件下，如果５户居民联合在一起共同行动的费用很大，例如为１２５元，那末，为了共同行动给工厂安装除尘器，总支出是２７５元（１２５＋１５０＝２７５）。在这样的情况下，５户居民便会各自去购买一架烘干机，因为，这样做只费２５０元。显然，这不是一个最有效率的结果。关于科斯定理，大致的意思便是如此。科斯本人并没有对该定理加以精确的证明，仅仅使用了类似上述的数字例子加以说明。
高斯定理
简析高斯定理在电场中的应用 高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。表达式为 01 () 1/n i i S E ds q φε==?=∑?? （1） 高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。典型情况有三种: 1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等; 2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面 3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。 根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。选取的原则是: ○ 1 待求场强的场点必须在高斯面上;○ 2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○ 3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○ 4 高斯面的形状应是最简单的几何面。 最后由高斯定理求出场强。高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合 曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。 步骤： 1．进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）； 2．根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：①待求场强的场点应在此高斯面上，②穿过 该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量n 与E 平行或垂直，n 与E 平行时， E 的大小要求处处相等，使得E 能提到积分号外面； 3．计算电通量???S d E 和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。 应该指出，在某些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单的，但一般情况下，以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体情况选用。 利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面——高斯面。 典型例题： 例题1、设一块均匀带正电无限大平面，电荷密度为σ=9.3×10-8C/m 2，放置在真空中，求空间任一点的场强. 解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在均匀带电无限大平面上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与平面垂直向外的方向上(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)在平行于带电平面的某一平面上各点的场强相等；(3) 带电面右半空间