分块矩阵求逆及其应用

. . . . .
目录
摘要 (1)
引言 (2)
一、概述 (2)
二、分块矩阵的求逆及其应用 (5)
第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用
(5)
第二节3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用
(14)
结束语 (21)
分块矩阵求逆及其应用
东生
（渤海大学数学系 121000 中国）
摘要：对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆，经常遇到的是22⨯分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到33⨯分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式显得很有意义。

分块是否合理是分块矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结。

接着，本文研究了较为简单的22⨯分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并予以证明，总结了研究方法，还深入探讨了22⨯分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式。

以22⨯分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了33⨯分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。

此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际”。

关键字：分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件
Begging the negative matrix to a matrix of the cent and
it ′s applying
Li Dongsheng
(Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)
Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cent, we usually meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank. It is seldom to involve to divide the calculation that a matrix inverse, and we also will meet in actual problem begging 3 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank.(or a matrix of more high-level cent).So it is very
meaningfully to study this character of inverse of existence condition of such a matrix of cent; to beg the negative formula whether cent is reasonable is the key of whether a matrix operation is simple. What is more, the beginning of thesis does the summary to a method of cent.
Immediately, the thesis has studied simple 2 ranks to divide a piece of matrix and the existence condition of inverse character. Finally the thesis gives the evidence. The method has been given, and when there are zero-pieces in a matrix, the character of inverse condition and begging the
negative formula are explored in the 2 ranks to divide a piece of matrix. In the basis of research method of 2 rank to divide a piece of matrix, the character of inverse, and begging the negative formula in 3 ranks to divide a piece of matrix are successfully proved, and also be summed up the method of begging the negative .In addition of this, this thesis not only lays particular emphasis
on the theories research, but also deals of high level matrix of typical model which are used in the thesis, and how they divide the piece to make begging negative process more simple is also be analyzed . The process of how to solve is also given. “Theories contact actual” is real attained
in this thesis.
key words:the method of dividing the matrix into pieces; a matrix of cent ;
negative matrix ; the condition that the matrix has a negative matrix.
引言
我们在处理一些多元线性方程组时，常常用系数矩阵，而且一般情况下，它们的阶数较高，在求解过程中，我们还要常常要求它们的逆．若要用普通的初等变换法，或求伴随矩阵法求逆都很麻烦．这时我们就应该考虑用分块矩阵法求矩阵的逆．我们知道并不是所有的矩阵都有逆，我们要求逆就应该判断矩阵是否可逆，然后再求逆．本文首先介绍了分块矩阵的定义以及常用的分块方法，重点介绍２×２分块矩阵和３×３分块矩阵的可逆性存在条件，并给出了普遍使用的求逆公式，而且文中还举了一些有代表性的例题，并讨论是如何分块，如何应用求逆公式的．一概述
１．分块矩阵的定义
在处理级数较高的矩阵是常用矩阵分块的方法．我们可以把大矩阵看成是由小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样．特别在运算中，把这些小矩阵当作数来处理，这就是所谓的矩阵分块．而把这样
的矩阵就叫做分块矩阵．２．常用的矩阵分块方法
①找零块
例如
1001
2101
0010
0000
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
可分块为
10|01
21|01
|
00|10
00|00
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
----
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
可表示为
A B
D
⎛⎫
⎪
⎝⎭
型
②找相同块
例如
1111
1111
1111
1111
⎛⎫
⎪
--
⎪
⎪
--
⎪
--
⎝⎭
可分块为
11|11
11|11
|
11|11
11|11
⎛⎫
⎪
--
⎪
⎪
----
⎪
--
⎪
⎪
--
⎝⎭
可表示为
A A
A D
⎛⎫
⎪
⎝⎭
型
③找单位块
例如
1212
1100
1010
1001
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
可分块为
1|212
1|100
1|010
1|001
⎛⎫
⎪
-----
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
可表示为
3
A B
C I
⎛⎫
⎪
⎝⎭
型（这里的
3
I表示３阶单位阵,本文中的I都表示单位阵）④化为分块上（下）三角阵
例如
2011
0121
0340
0002
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
可分块为
2|01|1
0|12|1
0|34|0
0|00|2
⎛⎫
⎪
------
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
------
⎪
⎪
⎝⎭可表示为
111213
2223
33
00
A A A
A A
A
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
型
⑤化为分块对角阵
例如
2000
0130
0240
0002
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
可分块为
2|00|0
0|13|0
0|24|0
0|00|2
⎛⎫
⎪
------
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
------
⎪
⎪
⎝⎭
可表示为
11
22
33
00
00
00
A
A
A
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
型
在具体的运算中，我们要根据运算灵活地分块，上述方法只是比较常用，我们可以灵活地运用，宗旨是使运算变得更加简便．此外，我们在矩阵加法和乘法的运算中，分块矩阵的维数必须加以限制，以使所定义的运算能够进行．我们称任何满足上面这种限制的矩阵分块关于所讨论的运算是相容的．对于加法，相容要求两个矩阵按同样的方式分块；而对于乘法，在矩阵Ａ与矩阵Ｂ相乘时，对Ｂ的一个分块方式，Ａ可以有几种分块方式与之相容，这时便要考虑哪种分块方式使运算更加简便．
例如Ａ＝
100
010
002
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
Ｂ＝
1010
0101
0110
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
ＡＢ＝？
解：我们可以把Ｂ分块为
10|10
01|01
01|10
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
-----
⎪
⎝⎭
而这时若只考虑乘法
的相容性，Ａ可以分块为
10|0
01|0
|
00|2
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
---
⎪
⎝⎭
，或
10|0
|
01|0
00|2
⎛⎫
⎪
---
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
但是我们可以看到第一种分法中有单位块，对于乘法运算显然更简便.
ＡＢ＝2
2200I
A ⎛⎫ ⎪⎝⎭．2
22122I I B B ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2
22221
2222I I A B A B ⎛⎫
⎪⎝⎭＝101001010220⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
３． 矩阵的逆
定义：n 阶方阵Ａ可逆，如果有n 阶方阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝Ｉ，
这里的Ｉ是n 阶单位阵．
而我们将要研究的分块矩阵的求逆，只不过是先将矩阵分块，然后再求逆．
二 分块矩阵的求逆及其应用
第一节 ２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 首先我们从最简单的2×2分块矩阵开始研究,如何求2×2分块矩阵的逆,用初等变换的方法,这是一个很好解决的问题.而我们重点研究一下这种类型的分块矩阵可逆性的存在条件及其普遍适用的求逆公式. 设A B M C D ⎛⎫
= ⎪⎝⎭,A 为n 阶矩阵,B 与C 分别为n ×m 和m ×n 矩阵,D 为m 阶矩阵.
定理1.若A 可逆,则M 可逆⇔1D CA B --可逆.这时
[1]
111111111
11111()()()()A A B D CA B CA A B D CA B M D CA B CA D CA B --------------⎛⎫
+---=
⎪
---⎝
⎭
证明: ⇒ 由 110A B A B CA C D D CA B ---⨯⎛⎫⎛⎫
→ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭
∵M =A ⋅10D CA B --≠ 故11()D CA B ---存在.
由 1111110000()()n n m m A B I A
B I CA A
C
D I D CA B CA I D CA B -------⨯⎛⎫⨯⎛⎫→ ⎪ ⎪---⨯⎝⎭⎝
⎭
1111110000()()n n m m A B I A
B I CA A
C
D I D CA B CA I D CA B -------⨯⎛⎫⨯⎛⎫→ ⎪
⎪---⨯⎝⎭⎝⎭
11111110
0()()n m I A B A A B I D CA B CA D CA B -------⎛⎫
⎪
-⨯---⎝⎭
111111111110()()0
()()n m
I A A B D CA B CA A B D CA B I D CA B CA D CA B -----------⎛⎫
+---→ ⎪---⎝⎭
即 111111111
11111
()()()()A A B D CA B CA A B D CA B M
D CA B CA D CA B --------------⎛⎫
+---= ⎪---⎝⎭
⇐ 由1D CA B --可逆,可知1A -存在.
∵M =A ⋅10D CA B --≠, 故1M - 存在.
定理2. 若D 可逆,则M 可逆⇔1A BD C --可逆,这时 11111
1
111
11111()()()()A BD C A BD C BD M
D C A BD C D D C A BD C BD --------------⎛⎫---= ⎪--+-⎝⎭
证明方法同定理1,在此略去证明过程.
在此,我们还可以得出推论:
推论1:若B 可逆,则M 可逆⇔ 1C DB A --可逆 推论2:若C 可逆,则M 可逆⇔ 1B AC D --可逆
通过以上的讨论,我们只要知道某一块可逆,运用定理及其推论就可以判断出M 是否可逆,如果可逆,我们就可以运用相应的求逆公式求出.我们在实际应用时,如果一个阶数较大的矩阵,找不到特殊的块(如零块,单位块,相同块等),或者不能化为特殊型(如分块对角阵,分块上(下)三角阵等),那么求它的逆运用分块的方法优势也就不明显了.而以上所研究的求逆条件和求逆公式的实用价值也就大打折扣.
而我们在实际计算当中,最常遇到的便是矩阵中含有零块的情况,下面我们来研究一下2×2分块矩阵中含有零块时,它的可逆性存在条件及
其可逆公式是什么形式的. 1. 分块矩阵中含有3个零块
即 000A ⎛⎫
⎪⎝⎭ 、000B ⎛⎫
⎪⎝⎭ 、 0
00C ⎛⎫
⎪⎝⎭ 、000D ⎛⎫
⎪⎝⎭
这种情况下,分块矩阵是不可逆的.
以第一种情况为例∵若A 可逆,而1D CA B --=0,是不可逆的 ∴M=000A ⎛⎫
⎪⎝⎭
不可逆.(若A 不可逆,那么M 就更不可逆了) 2. 分块矩阵中有两个零块
Ⅰ. 分块矩阵的两个零块在同一行或同一列,即①00A B M ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
和②
00B M D ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,则这种分块矩阵不可逆. ∵ 由定理1可知,在①中若1A -存在, 1D CA B --=0不可逆.∴M 不可逆. ∵ 由推论1可知,在②中若1B -存在, 1C DB A --=0不可逆.∴M 不可逆.
Ⅱ.分块矩阵的两个零块不在同一行或同一列,即 ①00A M D ⎛⎫= ⎪⎝⎭
和 ②00B M C ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,
∵ 由定理1可知,在①中若1A -存在, 1D CA B --=D,只有当D 可逆 时,M 才可逆. 代入求逆公式得 11
100A M
D ---⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,反过来,若D 可逆,也只有A 可逆时,M 才可逆. 1M -同前面的一样.
∵由推论1可知,在②中若1B -存在, 1C DB A --=C,只有当C 可逆时,M
才可逆, 此时 11
100C M
B
---⎛⎫= ⎪⎝⎭
可以用下面的方法求出上面的1M -,设1M -=11
1221
22D D D D ⎛⎫
⎪⎝⎭
则 1
M M -⋅=0
0B C
⎛⎫
⎪⎝⎭111221
22D D D D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=21
221112BD BD CD CD ⎛⎫
⎪⎝⎭=00I I ⎛⎫
⎪⎝⎭
=I ∴11
100C M
B
---⎛⎫
= ⎪⎝⎭
3. 分块矩阵中只有一个零块
Ⅰ. 分块矩阵的零块在主对角线上,即①0A B M C ⎛⎫= ⎪⎝⎭和②0B M C D ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
ⅰ.由定理1可知,在①中若1A -存在,只有 1CA B --可逆,M 才可逆 而11()CA B ---= 11B AC --- ∴ 只有当1B - 、1C -同时存在时,M 才可逆.
ⅱ.若A 不可逆,则令1M -=11
122122D D D D ⎛⎫
⎪⎝⎭
1
M M -⋅=1121
12221112AD BD AD BD CD CD ++⎛⎫
⎪⎝
⎭=00I I ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=I 1
M - =1111
0C B
B A
C ----⎛⎫ ⎪-⎝⎭,如果要使1M -存在,那么1
B - ﹑1
C -一定存在. ② 可用同样的方法讨论.
总结: 这种类型的分块矩阵,无论A(D)是否可逆,只有B 、C 同时可逆时,M 才可逆.
Ⅱ. 分块矩阵的零块不在主对角线上,即①0A M C D ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
和②0A B M D ⎛⎫= ⎪⎝⎭
对于①,可以直接应用定理1判断是否可逆,然后直接代入求逆公式
即只有当A 、D同时可逆时,M可逆.此时1
M-=
111
1
A A BD
D
---
-
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对于②,同样应用定理2可得只有当A﹑D同时可逆时,M可逆.
此时1
M-=
1
111
A
D CA D
-
---⎛⎫ ⎪-
⎝⎭
通过以上的讨论,我们不难发现,如果分块矩阵中含有零块,那么判断其可逆性存在条件以及求逆公式都会相应地简单很多.因此,我们在对阶数较大的矩阵分块时应注意零块.下面我们来看一些典型的应用分块矩阵法来求逆的例子,看看是如何分块,如何应用公式及推论的.
例1.判断下列矩阵是否可逆,如果可逆,求出它的逆.
①M=
00012
00023
11000
01100
00100
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
②M=
01000
00200
00030
00004
50000
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
③M=
10101
01010
00110
00011
00001
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
④M=
[2]
21000
02100
00210
00021
00002
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
⑤M=
[3]
1111
1111
1111
1111
⎛⎫
⎪
--
⎪
⎪
--
⎪
⎪
--
⎝⎭
⑥M=
12000
23000
11100
01010
00001
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
解: ①分析: 观察矩阵中有一个2×3的零块和一个3×2的零块,而另外两个分别是上三角块和一个2×2的块,都很容易判断是否可逆.所以可将M分块为
000|12000
|
2
3110|00011|00001
|0
0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
它正好是0
0B M C ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
型,由前面的讨论可知11
100C M
B
---⎛⎫
= ⎪⎝⎭
而运用初等变换法很容易求出
1
12322321--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 1
110111011011001001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
故M 可逆.
所以 1M -=00
11100
01100
00132000210
0-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪
⎪- ⎪ ⎪-⎝
⎭
②.分析: 不难发现这是一个对角阵经过列变换而得到的矩阵,那我们就还要尽可能找到对角阵,因为对角阵的逆容易求得.结果发现正好还有两个零块.
则可将M 分块为0|1
0000|02000|0
0300|00045|0000⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
------ ⎪
⎪⎝
⎭
,也是0
0B M C
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
型,B 、C 可逆很容易看出,故M 可逆.
则1M -=1000051000010
0002100003100
04
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
③.分析:这是一个只有0和1组成的上三角矩阵,我们知道零块比单位块更容易计算,所以我们应本着先找零块的原则,故我们可以将M 分块为
10
|
10101|01000|11000|01100|001⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
------ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝
⎭这样分即有零块,又有一个单位块. 则M 可表示
2
0I B D ⎛⎫
⎪⎝⎭
型.很容易看出2I 和D 都可逆,所以M 可逆. 根据关于零块的讨论,可得1
M -=1
210
I BD D --⎛⎫-
⎪⎝⎭而1
D -=111011001-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
1BD --=112011--⎛⎫ ⎪-⎝⎭
, 所以1
M -=1011
2010110
01110001100
01--⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪⎝
⎭
④.分析:这是一个很有规律的矩阵,我们可以找到它的一个最大零块,将M
分块为2
1
|
00002|10000|21000|02100|002⎛⎫
⎪
⎪ ⎪-
-----
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝
⎭ 可以表示为0A B M T ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
型 很容易看出1A -和1T -都存在,故M 可逆.
用初等变换的方法求得1
A-=
11 24
1
2
⎛⎫
-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
而我们在求1
T-时,还可以把T分块为
21|0 02|1
00|2⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭
可以表示为T=
A H O K ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∵A 、K可逆很容易看出, ∴1
T-=
111
1
A A HK
K
---
-
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
=
111
248
11
24
1
00
2
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎪
-
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
∴1
M-=
111
1
A A BT
T
---
-
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
=
11111
2481632
1111
24816
111
00
248
11
000
24
1
0000
2
⎛⎫
--
⎪
⎪
⎪
--
⎪
⎪
⎪
-
⎪
⎪
⎪
-
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
本题中两次运用分块,因为1
A-只求一次，可以在两个地方应用,而且其它的计算也相应的简便.
⑤．分析:这个矩阵中含有3个块相同，故分块很容易
M=
11|11 11|11
11|11 11|11⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪----- ⎪
-- ⎪
⎪--
⎝⎭
即M=A A A D ⎛⎫
⎪
⎝⎭
,∵1A -，1
D -都存在,现在考虑是应用定理1还是应用定理2. ⅰ.若选择1A -存在，则需判断1D AA A --=D-A 是否可逆 ⅱ.若选择1D -存在， 则需判断1A AD A -- 是否可逆。

显然，第ⅰ种选择比较好，∵D-A=2222--⎛⎫
⎪-⎝⎭
可逆，∴M 可逆
我们可以求得 1()D A --= 114
4114
4⎛⎫--
⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，1
A -=1122112
2
⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝
⎭
由定理1得，1
M -=11
11
1()()()
()A D A D A D A D A -----⎛⎫+--- ⎪---⎝⎭=111144441
1114
4441
111444411114
444⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ --⎪⎝⎭
⑥.分析：这个矩阵可以分块为ⅰ12
|
00023|00011|10001|01000|001⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
-
-----
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝
⎭
和ⅱ120|00230|00111|00010|10000|01⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
从零块的角度看，这两种分法都可以，但ⅰ中的单位块为3I ，而ⅱ中的为
2I ，并且ⅱ分法后不容易判断M 是否可逆，故应选择第ⅰ种分块方法. 对
于第ⅰ种分法，M 可以表示为30A C I ⎛⎫
⎪⎝⎭
，∵A 、3I 都可逆，∴M 可逆.
1A -=3221-⎛⎫
⎪
-⎝⎭
，1
3I -=3I ，由定理1，可得1
M -=1
11
1330
A I CA
I ----⎛⎫ ⎪-⎝⎭=3200021000111002101000001-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-
⎪
- ⎪ ⎪⎝
⎭
第二节 3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 在阶数较高的矩阵中，有时还被分为3×3分块矩阵，那么我们如何判断它是否可逆，以及有没有一个通用的求逆公式。

给我们任意一个3
×3分块矩阵，M=A
B C D
E F G H
K ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
，我们应如何对它求出可逆的判断条件呢？我们在研究2×2分块矩阵时，是先设某一块可逆，然后变为上三角阵，或对角阵，利用M =A ⋅1D CA B --得出可逆性条件的.我们在这里也应用这种方法，先设A 可逆，那么我们考虑
1111000000
0n
n
m m s s I A B
C I A B A C DA I
D
E
F I GA I G
H
K I ----⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝
⎭⎝⎭⎝⎭=11110000A E DA B F DA C H GA B K GA C ----⎛⎫
⎪
-- ⎪ ⎪--⎝
⎭
若判断M 是否可逆，现在就转移到研究1111E DA B F DA C T H GA B K GA C ----⎛⎫
--= ⎪
--⎝⎭
可逆了。

这就回到了2×2分块矩阵的可逆性条件的存在性问题了，那我们就可以设1E DA B --可逆，则T 可逆的条件就是整个分块矩阵可逆的条件了。

定理3. 设M=A B C D
E F G H
K ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
，其中A 、E 、K 分别为n 阶、m 阶、s 阶方阵，B 、C 、D 、F 、G 、H 分别为n ×m 、n ×s 、m ×n 、m ×s 、s ×n 、s ×m 矩
阵。

设A 和1E DA B --可逆，则M 可逆
⇔11111()()()K GA C H GA B E DA B F DA C ----------，
这时 1111
11A PT PT M
T Q T ------⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
其中()11
P A B A C --=--，11DA Q GA --⎛⎫-= ⎪
-⎝⎭，[4]
1111E DA B F DA C T H GA B K GA C ----⎛⎫--= ⎪--⎝⎭ 证明：考虑111
1000000
0n
n
m m s s I A B
C I A B A C DA I
D
E
F I GA I G
H
K I ----⎛⎫
--⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪⎪- ⎪
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
=11110000A E DA B F DA C H GA B K GA C ----⎛⎫
⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭
=00A T ⎛⎫ ⎪⎝⎭
, 其中1111E DA B F DA C T H GA B K GA C ----⎛⎫--= ⎪--⎝⎭， 于是M 可逆⇔A ，T 可逆。

根据定理1，可得： T 可逆，1E DA B --可
⇔11111()()()K GA C H GA B E DA B F DA C ----------可逆。

且有
0n
m s I Q
I +⎛⎫ ⎪⎝⎭M 0
n
m s I P I +⎛⎫ ⎪⎝⎭=00A T ⎛⎫ ⎪⎝⎭其中()11
P A B A C --=--，11DA Q GA --⎛⎫-= ⎪-⎝⎭
1
M -
=0n
m s I
P I +⎛⎫ ⎪⎝⎭1
00A T -⎛⎫ ⎪⎝⎭0n
m s I Q I +⎛⎫ ⎪⎝⎭=11
111A PT PT T Q T -----⎛⎫
+
⎪⎝⎭
而1T -可由定理1中的公式给出。

由定理3的证明方法以及前面的研究方法，当K 和1E FK H --可逆时， 也可以得出一个可逆性存在条件及求逆公式，在这里就不重复证明. 我们知道在分块矩阵中如果有零块，其可逆条件的判断及求逆公式会相对简单一些。

那下面我们就来看下面的定理。

我们知道在分块矩阵中如果有零块，其可逆条件的判断及求逆公式会相对简单一些。

那下面我们就来看下面的定理。

定理4 设0
000A B M E
C D ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
[3]，其中A 、E 、K 分别为n 阶、m 阶、s 阶方阵，B 、C 分别为n ×s 和s ×n 矩阵，设A 、E 可逆，则M 可逆⇔1D CA B --可逆。

这时
1M -
=11111
111111111()0
()00()0
()A A B D CA B CA A B D CA B E D CA B CA D CA B --------------⎛⎫
+---
⎪
⎪ ⎪---⎝
⎭ 证明：考虑 1000
00
n
m s I I CA I -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭ 0
000A B E C D ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ 100
00
n m s I A B I I -⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
= 100000A B E D CA B -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 1
00000n m s I A B I I -⎛⎫-
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
=10|0
|00
0|A
E D CA B -⎛⎫
⎪
⎪ ⎪---- ⎪
-⎝⎭
故A,E 可逆,M 可逆 ⇔ 1D CA B --可逆
1M -=100
000n m s I A B I I -⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
1
10
00000A E D CA B --⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭ 1
000
00
n
m s I I CA I -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭
=1111110()0
000A A B D CA B E D CA B ------⎛⎫
--
⎪
⎪ ⎪-⎝
⎭
100000
n m s I I CA I -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭
=11111
111111111()0()00()0
()A A B D CA B CA A B D CA B E D CA B CA D CA B --------------⎛⎫
+---
⎪
⎪ ⎪---⎝⎭
证明完定理4,我们不妨将定理4与定理1比较一下,从中便会发现定理4中1M -中的四个角的块正是定理1中1M -的四个块.下面我们研究一下几个3×3分块矩阵求逆的例子.
例2. 判断下列矩阵是否可逆,若可逆求其逆.
①M =110011
20100
0300010211001
1⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭ ②M =1
200002100000
021*********
000320
00021⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝
⎭
③M =0000120000210
021000013003200002100
00⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭ ④M =1
210102
101010021100
01301000032000021⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
解: ①.分析:这个矩阵经仔细观察,它正好可以分成定理4中的M 的形
式,故可将M 分块为
1
1
|0
|
0112|0|100
0|3|0001|0|2110|0|11⎛⎫
⎪
⎪ ⎪-------
⎪ ⎪ ⎪------- ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭ 可以表示为0
000A B M E
C D ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭
型 ∵ 12111A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭,113E -=,而令1
T D CA B -=-=2111⎛⎫ ⎪⎝⎭1112-⎛⎫- ⎪-⎝⎭=1221⎛⎫ ⎪
-⎝⎭
也可逆.
∴M 可逆。

并且1
1
255215
5T -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭由定理4,得1M -=1111
1111110000
A A BT CA A BT E T CA T ----------⎛⎫
+-
⎪
⎪ ⎪-⎝
⎭
又1111A A BT CA ----+=2111-⎛⎫ ⎪-⎝⎭+117557455⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭=1
25
52155⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
11T CA ---=31554355⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 11A BT ---=3455135
5⎛⎫- ⎪
⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭
1M -=1234055552
113
055551
00
00331120555543
210
5
555⎛⎫-- ⎪
⎪
⎪- ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
-
⎪ ⎪
--
⎪⎝⎭
②.分析: 这个矩阵可以化为分块对角阵,
即M=1
2
|00
|
0021|00|000
0|21|0000|13|0000|00|3200|00|21⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
-------- ⎪
⎪ ⎪ ⎪-------- ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝
⎭ 可表示为M=000000A B C ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
型. ∵A 、B 、C 都可逆,由定理4,可得:M 可逆。

且112332133A -⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 1
3155
125
5B -⎛⎫
- ⎪
=
⎪ ⎪-
⎪⎝⎭
11223C --⎛⎫= ⎪-⎝⎭ ∴ 代入定理4中的公式得
1M -=111000
000
A B C ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭=12
000
033
2100003331
00005
51
20000550000120000
23⎛⎫- ⎪
⎪ ⎪
- ⎪
⎪
⎪- ⎪ ⎪ ⎪
-
⎪
⎪
- ⎪ ⎪-⎝
⎭
③.分析:这个矩阵可化为分块反对角阵,因为3×3分块矩阵难于判断是否可逆,我们可以先将M 分块为
M= 0
000|12000
|210
21
|000013|003200|0021
|00⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪------
-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
= 0
0A T
⎛⎫
⎪⎝⎭而可将T= 00|
2100|1332|0021|00⎛⎫
⎪
⎪ ⎪-----
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
=
0B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∵ B ﹑C 可逆∴T 可逆. 又∵ A ﹑T 都可逆.∴M 可逆.
1M -=1
100T A
--⎛⎫ ⎪⎝⎭=111000
00
0C B A
---⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=0
000
120
000233100005512000055
120000332100
003
3-⎛⎫
⎪- ⎪
⎪- ⎪
⎪ ⎪- ⎪
⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪-
⎪
⎝⎭
④.分析: 这个矩阵可以化为上三角阵.即M= 12|10|1021|01|010
0|21|1000|1
3
|0100|00|3200
|
00
|
2
1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-------
- ⎪
⎪ ⎪ ⎪-------
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
, 但是我们知道运用定理3判断需要太多的计算,我们可以先将M 分块为
M=1
2|1
01
021|01010
0|211000|130
100|003200
|0
2
1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
------
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
=0A B D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 而D 又可以分为2×2分块矩阵,很
容易判断D 可逆,又因为A 可逆,所以M 可逆.
按照上面的3×3分块M 可以表示为M=2
22000A I I E
I K ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
由定理3得 ()11P A A --=-- , 00Q ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
T=E F H
K ⎛⎫
⎪⎝⎭=20
E I K ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 1111111
211
00E E I K E E K T K K ---------⎛⎫⎛⎫--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
111A PT Q A ---+= (∵00Q ⎛⎫
= ⎪⎝⎭)
()()
1111
1
1
11
111111
0E E K PT
A
A A E A E K A K K --------------⎛⎫-=--=-- ⎪⎝⎭
=
112
1 333
7413
151535⎛⎫
--
⎪ ⎪
⎪--
⎪⎝⎭
1319
1
555
128
1 555 001
2 0023
T-
⎛⎫
--
⎪ ⎪
⎪
--
= ⎪
⎪
-
⎪ ⎪
-⎝⎭
∴1
M-=
11
1
12112
1
33333
217413
33151535
319
001
555 0
128
001
555
000012
000023 A PT
T
--
-
⎛⎫
---
⎪
⎪
⎪
---
⎪
⎪⎛⎫ ⎪
--
=
⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎪
--
⎪
⎪
-
⎪
⎪
-
⎝⎭
在本题中,我们应用2×2分块矩阵的方法判断矩阵是否可逆,然后我们应用3×3分块矩阵的求逆公式来求逆,使运算更为简便.所以,我们在以后的应用中,应根据具体的情况灵活应用求逆的条件以及求逆公式.
结束语:
本文深入探讨了22
⨯分块矩阵的可逆性条件以及求逆公式，并以22
⨯分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了33
⨯分块矩阵的可逆性条件以及求逆公式，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法.相信通过本文的研究,会对某些高阶矩阵应用分块求逆的方法求逆有很大的帮助.
参考文献:
[1] 王品超.高等代数新方法。

教育，1989。

[2] 卢有振.线性代数。

科学技术，1985。

[3] 北大数学组.高等代数教材。

高等教育，1997。

[4] 王名学.某些分块矩阵的求逆。

数学学会，2003。