《小波分析及应用》PPT课件

1.1 距离空间的定义
设R表示一个非空集合，若任意两元素 x, y ,都按一定的规则与一个
实数
( x, y) 相对应，且 ( x, y)
满足以下三公理：
（1） ( x, y) 0 ，当且仅当： x y 时等号成立；（非负性） （2） ( x, y) ( y, x) ；（对称性）
1948年Shannon建立信息论，后来发现可用小波基不失真传输编码的存在； 1974年，Guido Weiss和R.Coifman 研究函数空间原子分解及重构； 1981年Morlet 首先提出小波分析的概念； 1984年J.Morlet和物理学家A.Grossman第一次提出“Wavelet”一词； 1985年Meyer证明了一维小波基的存在，1986年国际上掀起小波研究的热潮； 1987年Meyer和Mallat合作提出多分辨分析的框架； 1988年Debauchies构造出紧支集有限光滑小波函数（Ｄb），发表著名长文； 1990年崔锦泰和王建忠构造了单正交样条小波基； 1992年经典小波的基本理论已成熟，国内1991年发表第一篇小波论文。
( x, z) ( x, y) ( y, z) （三角不等式） （3）对R中任意三元素 x, y, z ，有：
则称
( x, y)
为 x 和 y 的距离，称R为距离空间。
1.2 赋范线性空间定义
设 E 为实数（或复数）线性空间，若任意的 x E ，都有一个非负的
实数 x 与之对应，且满足：
K
上的线性空间。若对任
意的 x, y U ，都有唯一的数 ( x, y) K 与之对应，且满足：
（ 1）
(x, y) ( x, y)
（2） ( x z, y) ( x, y) ( z, y)
（3） ( x, y) ( y, x)
（4） ( x, x) 0 且 ( x, x) 0 x 0 则称 ( x, y ) 为 x, y 的内积，称 U 为内积空间。其中（1），（2） 是对第一变元线性性；（3）为共扼对称性；（4）为正定性。
分析、数值分析、数理统计。
2.
小波分析的发展历程
j 进行划分； 2
Fourier变换：1807年由Fourier提出，时域到频域的域变换； 1909年A.Haar提出Haar函数系，正交、对称、紧支撑，但不光滑； 1936年Littlewood-Paley提出对频率按
1946年，Gaber提出窗口Fourier变换；
t
dt
这种局域化可表示为Heisenberg Box:
1 则： 4 1 即: t 2
2 t 2
Heisenberg不确定原理限制了时频能量的同时集中！
2.2 傅立叶分析
Fourier 变换把信号从时间域变到频率域，在时间域内难以观察的现象和规 律，在频率域内往往能十分清楚地显示出来。连续Fourier变换定义如下：
2.3 窗口傅立叶分析
连续窗口Fourier变换如下：
Gf ,
积分核：

g , gt e it

f t gt e
i
dt


f t g , t dt
窗口 Fourier 变换在τ点附近局部地测量了频率为ω的正弦分量 使Foureier在时域与频域内均有局域化功能。
（ 1） x 0 x 0 ； （2） x x （ 3） x y x y 则称 x 为
K
x, y E
(齐性); （三角不等式）。
x
的范数，称 E 为线性赋范线性空间。
1.3 Hilbert空间定义
内积空间定义：
设
K
是数域（实或复）， U 是
K
z U
F f f t f





f t
e

i t
dt e it d
t 1 2



f
time FT时—频相平面图
Amplitude
Fourier 变换的缺陷：在时域表示中不能直接利用信号的频域信息；在频域 表示中，也不能直接利用信号的时域信息,傅立叶分析没有时—频局域化能力。
Hibert空间定义：
若内积空间 U 按范数 x
( x, x) 完备，则称 U 为Hibert空间。
1.4 小波分析的数学基础

首先，小波变换以空间理论为基础的； 小波分析是以研究正交、紧支集小波开始的，小
波构造及运算规则都与Hilbert空间理论密不可分；

小波分析的数学基础课程如下：泛函分析、矩阵
e i t ，
窗口Fourier变换的缺陷：一旦选定特定大小的时间窗口，它对整个信号的 所有频率是固定不变的，这就不适于处理频率成分随时间变化的瞬变信号。
2.1 Heisenberg 不确定原理
时—频局域化只能在均方意义下获得： Heisenberg不确定理： 如果 f L2 ，时间的根方差为 t ， 频率的根方差为


2 t
t u

2
\ t dt
2 2 2
2 1 2
内 容 简 介
1. 小波分析的数学基础 2. 小波分析的发展历程 3. 小波变换 4. 小波分析应用 5. 主要参考文献
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1. 小波分析的数学基础
集合论上定义的三大空间：
距离空间、赋范线性空间、Hilbert空间。 相关概念及理论： 空间可看成是实际物理空间或欧几里德三维空间的推广和抽象化。空间由 有确定元素的集合构成，并在这些元素间引入某种关系。 距离空间：定义元素之间距离的集合叫距离空间或度量空间； 定义元素之间代数运算（向量加法及数与向量乘法）的集合称为线性空间； 赋范线性空间：定义了元素范数（向量长度的推广）的线性空间称为赋范 线性空间； 定义了元素与元素内积（积分运算）的线性空间称为内积空间； 如果再引入极限概念，研究其收敛性，这些空间就是完备的； Hilbert空间：完备的内积空间就是Hilbert空间。