第四讲 曲线拟合

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4 8
5 8.5
• 解：根据所给数据，在直角坐标下画出数据点， 从图中可以看出，各点 在一条直线附近，故可 取线性函数作为拟合 曲线
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拟合例题（续1）
• 令 p1 ( x) a0 a1x 将数据带入公式得，
5a0 15a1 31 15a0 55a1 105.5
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多项式拟合
• 容易看出 (a0 , a1, , am ) 是系数a0 , a1, , am 的m 1元二 次多项式(二次型)，所以可以用多元函数求极值 的方法求其最小值点和最小值。将 对 ak ,(k 0,1, 求偏导数得到驻点方程组：
0, (k 0,1, ak , m)
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曲线拟合的概念
如图所示，常常需要从一 组获得的数据点中，寻找 变量与变量之间的变化规 律．用几何方法来解释， 就是用已知平面内的一组 点，来确定一条曲线，使 该曲线能在整体上刻画这 组点的变化趋势而不需通 过每个点，我们称这种方 法为曲线拟合，所求出的 曲线称为拟合曲线。 y
x
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曲线拟合的方法
x xi , i 0,1, , n 的函数值
二阶导数值。
f ( x) ，或计算函数的一阶、
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曲线拟和的概念
在前面所讨论的各种插值方法中，始假设数据点是精确的， 准确的，不可修改的，所要求出的插值曲线必须通过每一个
数据点。但在实际工作中由于各随机因素的干扰，所得到的
数据往往不同程度存在着误差。因此，插值方法只能适用那 些误差可以忽略不记的情况，当误差较大而不能忽略时，又 如何通过这些观测数据确定其内在的变化规律呢？曲线拟合 就是解决这一问题的主要方法之一。
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多项式拟合
定义 设有给定的数据 ( xi , yi ),(i 1, 2, , n) ，假设其拟 合函数形式为 pm ( x) a0 a1x am xm(m n 1) ， * * * , a1 , , am 求系数 a0 ，使得
(a0 , a1 ,
, am ) [ yi pm ( xi )] [ yi ak xi k ]2
2 n n m
p ( x) a a x
* m * 0 * 1
i 1
a x
* m m
i 0
k 0
取最小值．称 m 次多项式 为 m次最小二乘拟合多项式(或 m次最小平方逼近 多项式)。 特别地，当 时，称 p* ( x) a* a* x 为线性最小 m 1 0 1 二乘拟合。
• 将上述问题抽象为数学问题为：设有一组数据 对 ( xi , yi )，(i 1, 2, , m) ，求连续变量的一个函数， 它在 ( xi , yi )处误差为 S i ，使总体误差按某种算法 达到最小．常用的三种准则是:
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不可导，求解困难
曲线拟合的方法太复杂
S min( max Si )
, m)
，
, m)
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即
j k ( y a x ) x i j i i 0,(k 0,1, i 1 j 0
n
m
直线拟合
问题 对于给定的数据点 ( xi , yi )i 1, 2,· · · , N ，求作一次式
y a bx ，使总误差为最小，即在二元函数式中
为最小。 这里Q是关于未知数a和b的二元函数，这一问题就是要 确定a和b取何值时，二元函数
解：所求拟合函数是一个指数函数，对它两边取自然对数，得
ln y Bx ln A
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拟合例题
于是对应于上述数据表得到一个以应数据表：
xi
ln yi
若记
1
2
3
4
1.95
2.40
2.83
3.30
ln y p, a0 ln A, a1 B
则
p a0 a1 x
从而将原问题转化为由新数据表所给出的线性拟合问题 易知其求解方程组为：
• 解得 a0 2.45; a1 1.25 。因此而得所求拟合曲线 为 p1 ( x) 2.45 1.25x 。
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拟合例题
例2 有一滑轮组，要举起W公斤的重物需要用 F公斤的力，实验所得的数据如下表。
求适合上述关系的近似公式。
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拟合例题
解 首先，将这些数据画在直角坐标系中，从图形上 看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求 的拟合直线为 y a bx ，
S min(
S min(
S
i
i
i
)
2 S i )
由于准测（１）、（２）含有绝对值不便于处理， 通常采用准测（３），并称基于准则（３）来选取 拟合曲线的方法，为曲线拟合的最小二乘法。
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多项式拟合
• 一般而言，所求得的拟合函数可以是不同的函数 类，其中最简单的是多项式，此时称为多项式拟 合，具体定义如下：
得关于a和b的线性方程组
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其他类拟合问题
最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任 何具体给出的函数形式。特别重要的是有些非线 性最小二乘拟合问题通过适当的变换可以转化为 线性最小二乘问题求解。
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拟合例题
例2 已知数据表
xi yi
1 7 2 11 3 17 4 27
Bx y Ae 的经验公式与已知数据拟合． 求一形如
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拟合例题
4a0 10a1 10.48, 10a0 3a1 28.44,
解之得 于是
a0 1.50, a1 0.448
ln y 1.50 0.448 x
．
故所求经验公式为
y e
第四讲主要知识点
1、曲线拟合的概念 2、曲线拟和的方法 3、解矛盾方程组
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函数插值问题回忆
• 设已知某个函数关系 y f ( x) 在某些离散点上的函数值：
x x 0 x1 y y0 y 1

x n 1 x n y n 1 yn
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f ( x) 的一种简单的近似表达式,以便于计算点
Q(a, b) [ yi (a bxi )]2
i 1
N
的值最小?
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直线拟合
由微积分的知识可知，这一问题的求解， 可归结为求二元函数
Q(a, b) 的极值问题，即 a 和 b
应满足：
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直线拟合
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拟合例题
• 例1 已知观测数据如下所示，求它的拟合曲线。xiFra bibliotekyi1 4
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