初始条件与边界条件

( x, y, z ) , t 0 ( x, y, z )
热传导方程的混合问题
一个定解问题的适定性(Well-posedness)包含以 下几个方面： 1）解的存在性，即所提的定解问题是否有解； 2）解的唯一性，即所提的定解问题是否有唯一的 解； 3）解的稳定性，即看定解问题的解是否连续依赖
热传导方程的Cauchy问题
utt a 2 uxx 0 u |t 0 ( x ) u | ( x ) t t 0
( x , t 0) ( x )
波方程的Cauchy问题
由偏微分方程和相应边界条件构成的定解问题称 为边值问题。
热传导问题：当物体与外界接触的表面温度 f(M,t) 已知时，其边界条件为
u S f (M,t)
第二类边界条件：给出 u 沿 S 的外法线方向的 方向导数 u f2 n S 弦振动问题：弦的一端（如 x=l）可以在垂直x轴 的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力， 我们称这种端点为“自由端”。
L[ui ] f i ， i 1,2,, n
（或定解条件 B[ui ] g i ） ，
则 u c i ui 满足方程
i 1
n
L[u] c i f i
i 1
n
（或定解条件 B[u] c i g i ） ， 其中ci 为任意常数。
i 1
n
例 非齐次波动方程的Cauchy问题
x
xl
u 0, x u xl
其中非负常数 k 表示弹性体的倔强系数,
k /T.
热传导问题：如果物体内部通过边界S 与周围的 介质有热量交换，这时能测量到物体与接触处的 u1 与物体在表面S上 介质的温度u1 。通常情形下， 的温度 u 不相同。根据热学中的牛顿实验定律， 物体从一介质流入另一介质的热量与两个介质间 的温度差成正比，即 dQ h(u u1 )dSdt，其中常 数 h0 表示两种介质之间的热交换系数。 在物体内部任意取一个无限贴近 S 的闭曲面 ， 由于在S 的内侧热量不能积累，所以在 上的热 量流速应等于边界S上的热量流速。 上的热量流 速为 dQ
( x , y ) , u 0, u f ( x, y ).
Laplace方程的边值问题
Biblioteka Baidu
由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成 的定解问题称为混合问题。
u a 2 (u u u ) 0 t xx yy zz u t 0 ( x , y , z ) ( u u ) f ( x , y , z , t ) n
泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态，与时 间无关，所以不提初始条件。
注意：
不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。 关于t的n阶偏微分方程，要给出n个初始条件。 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而 非系统中个别点的初始状态。
边界条件
边界条件是给出具体物理现象在边界上所处的物 理情况。根据边界条件数学表达方式的不同，一 般把边界条件分为三类。设 u 是未知函数，S 为边界，则分类如下： 第一类边界条件：直接给出 u 在边界 S 上的值
§1.3
定解问题的提法
初始条件和边界条件都称为定解条件。 定解问题是指偏微分方程和相应定解条件的结合体。 偏微分方程和相应初始条件构成的定解问题称为初 值问题或者柯西(Cauchy)问题。
ut a 2uxx 0 u |t 0 ( x ) ( x , t 0) ( x )
在这一端点，边界上的张力沿垂直于x轴的方向的
分量为0，因此在方程的推导中知 T u
x
xl
0, 即
u x
xl
u n
0
xl
当该点处的张力沿垂直x轴的方向的分量是 t 的已 知函数 ( t ) 时，有
u n (t ).
x l
热传导问题：如果物体和周围介质处于绝热状态，
当 fi 0, i 1,2,3 时，相应的边界条件称为齐 次的，否则称为非齐次的。
注2 三种边界条件可用一个式子表达：
u u f . n S
其中
0, 0 0, 0 0, 0
第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件
即在表面上热量的流速始终为0，则由方程推导
u 0. n S
过程可知，有边界条件
当物体与外界接触的表面 S 上各单位面积在单位 时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在 S dQ u k 上有 dSdt n，这表明温度沿外法线方向的方 向导数是已知的，故边界条件可以表示为
u M,t n S
u S f1 .
弦振动问题：如果弦的两端是固定的，也就是说 端点无位移，则其边界条件为
u x 0 0; u x l 0
若弦的两端不是固定的，而是按照规律 u1 ( t ), u2 ( t ) 在运动,则其边界条件为
u x 0 u1 (t ); u x l u2 (t )
定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时，
引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的，
否则称解是不稳定的。
例 设弦的两端固定于x=0 和x=l，弦的初始位移 如下图，初速度为零，求弦满足的定解问题。 解：
2u 2u a2 0 x l , t 0; 2 2 0 t x u u x l 0; x 0 l x, 0 x u 2 , 0 ut 0 t t 0 l x, l x l 2
u |t 0 f x . u |t 0 g x t
热传导问题：初始条件是指开始传热的时刻物体 温度的分布情况。若以 f(M) 表示 t =0 时物体内 一点M的温度，则热传导问题的初始条件可以表 示为
u M , t |t 0 f M .
2 u a u xx f ( x , t ) ( x , t 0) tt u t 0 ( x ), ut t 0 ( x )
的解等于问题(I)和问题(II)的解之和 2 u a uxx 0 ( x , t 0) tt (I ) u t 0 ( x ), ut t 0 ( x )
x 0
二阶偏微分方程
2u 2u 2u u u a11 2 2a12 a 22 2 b1 b2 cu f xy x y x y
可简写为 L[u] f . 定解条件
u x
g
x 0
可简写为 B[u ] g.
叠加原理 1 若 ui 满足线性方程
l l 2,2
l
线性方程的叠加原理
一般二阶线性偏微分方程（n个自变量）
n 2u u A B cu f 0 ik i xi xk i 1 xi i 1 k 1 n n
两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu f x xy y x y
u 第三类边界条件：给出 u 以及 n 的线性组合
u 在边界的值，即 n u f3 S
弦振动问题：当端点 x=l 被弹性支撑所支承，设 弹性支撑原来位置在 u=0，则 u 表示弹性支撑 xl 的应变。
由Hooke定律知，在 x=l 端张力沿位移方向的分量 u ku x l ,即有 应等于 T
2 u a uxx f ( x , t ) tt (II ) u t 0 0, ut t 0 0
( x , t 0)
课后作业
P17 习题一 1. 5.
称形如
2 2 2 L a11 2 2a12 a22 2 b1 b2 c x xy y x y B x
x 0
的符号为微分算子。
2u 2u 2u u u Lu a11 2 2a12 a22 2 b1 b2 c x xy y x y u Bu x
§1.2
初始条件与边界条件
描述物理现象： 偏微分方程

特定条件
特定条件准确说明对象的初始状态以及边界上的 约束条件。
用以说明初始状态的条件称为“初始条件”；
用以说明边界上约束情况的条件称为“边界条件”。
初始条件
初始条件用以给出具体物理现象的初始状态。 弦振动问题：初始条件是指弦在开始振动时刻的 位移和速度。如果以 f(x) 和 g(x) 分别表示弦的 初位移和初速度，则初始条件可以表达为
dSdt k

u ，其中 n
k 为热传导系数.
所以当物体与外界有热交换时，相应的边界条件 为
u k h(u u1 ) S , n S
即
u n u u1 S , S
其中 h / k .
注1
在上面给出的边界条件中， fi i 1, 2, 3 都是定义 在边界S上（通常也依赖于t）的已知函数。