第一讲 不等式和绝对值不等式

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【典例1】 (2009·上海)某地街道呈现东—西､南—北向的 风格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点,若以互 相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个 格点(除零售点外)________为发行站Baidu Nhomakorabea使6个零售点沿街道 到发行站之间路程的和最短.
d2=|x+2|+|x-3|+|x-3|+|x+2|+|x-4|+|x-6|. ∵|y-1|+|y-6|≥5,当且仅当1≤y≤6时等号成立; |y-2|+|y-5|≥3,当且仅当2≤y≤5时等号成立, |y-3|+|y-4|≥1,当且仅当3≤y≤4时等号成立.
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故当y=3或y=4时等号成立. 此时d1有最小值. 同理可证当x=3时,d2有最小值. ∴由题意得(x,y)只能取(3,3). [答案] (3,3)
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类型一形如
|x-ai|的最小值问题
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解题准备:当x取何值时 题可以利用以下三种解法: (1)去掉绝对值号,转化为分段函数求最值; (2)利用|x-ai|+|x-ak|的几何意义;
有最小值问
(3)利用绝对值不等式|x-a|+|b-x|≥|a-b|,其中取等号的条件是 (x-a)与(b-x)不异号.
x 2, 0 x
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2.(2010·天津)设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||xb|>2,x∈R}.若A A.|a+b|≤3 C.|a-b|≤3

B,则实数a,b必满足(
)
B.|a+b|≥3 D.|a-b|≥3
解析:由|x-a|<1得a-1<x<a+1.
由|x-b|>2得x<b-2或x>b+2.
3.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a=0 a<0
|x|<a
|x|>a
{x|-a<x<a}

R

{x|x>a或x<- {x∈R|x≠0} a}
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(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
选修4-5 不等式选讲
第一讲 不等式和绝对值不等式
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1.基本不等式 定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成 立. 定理2:(基本不等式)如果a,b>0,那么
ab ≥ ab , 2
当且仅当a=b时,等号成立.即两个正数的算术平均不小于(即
当且仅当a1=a2=„=an时,等号成
立.
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2.绝对值三角不等式 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号 成立.
定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(ab)(b-c)≥0时,等号成立.
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大于或等于)它们的几何平均.
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定理3:如果a,b,c大于0,那么
abc 3 ≥ abc , 3
当且仅当a=b=c时,等号成立,即三个正数的算术平均不小于 它们的几何平均. 推广:对于n个正数a1,a2,„,an,它们的算术平均不小于它们的
几何平均,即
a1 a2 n an ≥ n a1a2 an ,
∴不等式的解集为(-4,-2)∪(0,2).
答案:D
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5.若关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥a在R上恒成立,则a的最大值 是( A.0 C.-1 ) B.1 D.2
解析:由于|x-2|+|x-a|≥|a-2|
∴等价于|a-2|≥a,即a≤1.
故实数a的最大值为1.
答案:C
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考点陪练
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1.(2010·江西)不等式
|
x2 x2 | x x
的解集是(
)
A.(0,2) C.(2,+∞)
B.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(0,+∞)
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解析:由绝对值的意义知,原不等式同解于 即x(x-2)<0,∴0<x<2,故选A. 答案:A
途径有三种:一是依据实数绝对值的定义:
x, x≥0, | x | 进行转化; 二是依据绝对值的性质 : x, x 0, 当a 0时, x a a x a, x a x a, 或x a, 转化为不含绝对值的不等式; 三是借助两边平方.
解析:∵ab>0,即a,b同号,则|a+b|=|a|+|b|, ∴①和④正确.
答案:C
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4.不等式1<|x+1|<3的解集为( A.(0,2) C.(-4,0)
)
B.(-2,0)∪(2,4) D.(-4,-2)∪(0,2)
解析:由1<|x+1|<3,得 1<x+1<3或-3<x+1<-1, ∴0<x<2或-4<x<-2,
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[解析] 设格点为(x,y),则格点到各零售点的距离之和为 d=|x+2|+|x-3|+|x-3|+|x+2|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-4|+|y3|+|y-5|+|y-6|.
设d1=|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|.
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[反思感悟] 对于
(数列{ai}单
调)的最小值问题,有两种情况:若n=2k+1,k∈Z,则x=ak+1时 ,f(x)取最小值;若n=2k,k∈Z,则ak≤x≤ak+1时,f(x)取最小值.
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类型二
含绝对值不等式的解法
解题准备:解含绝对值的不等式的基本方法是依据绝对值的 定义与性质,通过变换转化成不含绝对值的不等式.转化的
∵A
B,∴a-1≥b+2或a+1≤b-2.
即a-b≥3或a-b≤-3,∴|a-b|≥3.选D. 答案:D
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3.设ab>0,下面四个不等式中,正确的是(
)
①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|. A.①② C.①④ B.①③ D.②④