专题一、含绝对值不等式的解法(含答案)
含绝对值不等式的解法
形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)x＋p的不等式的解法
例5 解不等式|x－1|＋|2－x|>3＋x.
【解】 原不等式变为|x－1|＋|x－2|>3＋x， 当x≥2时，原不等式变为x－1＋x－2>3＋x， 即x>6，∴x>6； 当1≤x<2时，原不等式变为x－1－(x－2)>3 ＋x， 即x<－2， ∴x∈∅；
即|x－4|＋|x－3|≥1.
∴当a>1时，不等式有解．
变式训练 ＋4.
解不等式：|x－1|＋|3x＋5|≤4x
5 解：当 x<－ 时，有－x＋1－3x－5≤4x 3 ＋4， ∴8x≥－8.∴x≥－1， 此时无解． 5 当－ ≤x<1 时，有 3 －x＋1＋3x＋5≤4x＋4， ∴2x≥2.∴x≥1， 此时无解．
当x≥1时，有
x－1＋3x＋5≤4x＋4. ∴4≤4成立， ∴原不等式解集为{x|x≥1}．
5 当 x≥2 时，x－1＋x－2>2，∴x> . 2 1 5 综上，原不等式解集为{x|x< 或 x> }． 2 2 法二：设 y1＝|x－1|＋|x－2|，y2＝2.
－2x＋3 ∴y1＝1 1≤x<2 2x－3 x≥2
x<1 .
其图象如图．
1 5 ∴原不等式的解集为{x|x< 或 x> }． 2 2
a|≥3}，且A∪B＝R，求a的取值范围．
【思路点拨】 化简两个集合，求出解集形 式，通过两解集区间端点的关系求a.
【解】 ∵A＝{x||2－x|<5}＝{x||x－2|<5}＝ {x|－5<x－2<5}＝{x|－3<x<7}；
01绝对值不等式(含经典例题+答案)
绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤a x＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔a x＋b≥c或a x＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|＋|x－b|≥c表示到数轴上点A(a)，B(b)距离之和大于或等于c的所有点，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．例4：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.例5：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.例6：某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．解：设格点(x，y)(其中x，y∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x＋2|＋|y－2|＋(|x－3|＋|y－1|)＋(|x－3|＋|y－4|)＋(|x＋2|＋|y－3|)＋(|x－4|＋|y－5|)＋(|x－6|＋|y－6|)＝[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|)＋2|x－3|]＋[|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|]取得最小值的格点(x，y)(其中x，y∈Z)．注意到[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|) ＋2|x－3|]≥|(x＋2)－(x－6)|＋|(x＋2)－(x－4)|＋0＝14，当且仅当x＝3取等号；|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|＝(|y－1|＋|y－6|)＋(|y－2|＋|y－5|＋(|y－3|＋|y－4|)≥|(y－1)－(y－6)|＋|(y－2)－(y－5)|＋|(y－3)－(y－4)|＝9，当且仅当y＝3或y＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7：设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的例9：已知关于x的不等式|2x＋1|＋|x－3|＞2a－32恒成立，求实数a的取值范围．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2，x ＜－12，x ＋4，－12≤x ＜3，3x －2，x ≥3，∴当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|＋|x －3|取最小值72，∴72＞2a －32，即得a ＜52. 例10：已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.解：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2， 又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.例11：已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a |2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |＞|b |，则左边＝|a ＋b |·|a －b |2|a |＝|a ＋b |·|a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b |·|a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |，∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |.∴左边≥|a |－|b |2＝右边，∴原不等式成立． ②若|a|＝|b|，则a 2＝b 2，左边＝0＝右边，∴原不等式成立．③若|a|＜|b|，则左边＞0，右边＜0，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．证明：|f(x)－f(a)|＝|x 2－x ＋43－a 2＋a －43|＝|(x －a)(x ＋a －1)|＝|x －a|·|x ＋a －1|.∵|x －a|＜1， ∴|x|－|a|≤|x －a|＜1.∴|x|＜|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x －a|·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|≤|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1)． 例13：已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6，x ≥5，4，1<x <5，6－2x ，x ≤1，g (x )min ＝4，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)． x －4|－|x －2|＞1.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4，2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。
绝对值不等式的解法-高中数学知识点讲解(含答案)
绝对值不等式的解法（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2019秋•海淀区期末）不等式|1|2x -的解集是( ) A ．{|3}x xB ．{|13}x xC ．{|13}x x -D ．{|33}x x -2．（2018秋•石景山区期末）关于x 的不等式2|1|30ax x a -++的解集是(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是( ) A ．1[,)6+∞B ．1[,)3+∞C ．1[,)2+∞D ．1[,)12+∞3．（2015•北京校级模拟）已知集合2{20}A x x =-->，集合{|||3}B x x a =-<，若A B R =，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，2]B ．(1,2)-C ．[1-，2]D ．(2,1)-4．（2013•宣武区校级模拟）不等式|1||2|5x x -+-的解集为( ) A ．{|1x x -或4}x B ．{|1x x 或2}xC ．{|1}x xD ．{|2}x x5．（2012秋•海淀区校级月考）不等式|3||1|x x a ++-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，3]B ．[1-，3]C ．(-∞，4]D ．[4，)+∞6．（2012•房山区校级学业考试）不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．3x <B ．1x >-C ．1x <-或3x >D ．13x -<<二．填空题（共2小题）7．（2019秋•海淀区校级期中）不等式|2|3x -<的解集是 ．8．（2018秋•通州区期中）已知函数()||4f x x x x =-，那么不等式2()()0f x f x --<的解集为 ． 三．解答题（共4小题）9．（2019秋•海淀区校级期中）设关于x 的不等式||2x a -<的解集为A ，不等式2112x x -<+的解集为B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．10．（2018秋•海淀区校级月考）已知()|2||3|f x x ax =+--． （1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）当03a <时，若(0,2)x ∈，求证：()1f x x >-．11．（2018秋•海淀区校级月考）设函数()|3|||10f x x x a =++--． （1）当1a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）如果对任意的x ，不等式()0f x >恒成立，求a 的取值范围．12．（2017春•西城区校级期末）若实数x ，y ，m 满足||||x m y m -<-，则称x 比y 靠近m ． （Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 有取值范围．（Ⅱ）()i 对0x >，比较(1)ln x +和x 哪一个更靠近0，并说明理由． ()ii 已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+，证明：1232n a a a a e ⋯<．绝对值不等式的解法（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2019秋•海淀区期末）不等式|1|2x -的解集是( ) A ．{|3}x xB ．{|13}x xC ．{|13}x x -D ．{|33}x x -【分析】根据|1|2x -去绝对值解不等式即可． 【解答】解：|1|2x -，212x ∴--，13x ∴-，∴不等式的解集为{|13}x x -．故选：C ．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．2．（2018秋•石景山区期末）关于x 的不等式2|1|30ax x a -++的解集是(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是( ) A ．1[,)6+∞B ．1[,)3+∞C ．1[,)2+∞D ．1[,)12+∞【分析】把不等式2|1|30ax x a -++的解集是(,)-∞+∞，转化为x R ∀∈，2|1|30ax x a -++恒成立，分离参数a ，可得22|1|1||33x x ax x ++=++，构造函数令21()||3x g x x +=+，然后利用基本不等式求最值得答案．【解答】解：不等式2|1|30ax x a -++的解集是(,)-∞+∞， 即x R ∀∈，2|1|30ax x a -++恒成立， 22|1|1||33x x ax x ++∴=++， 令21()||3x g x x +=+， 当1x =-时，()0g x =； 当1x ≠-时，211()||||43121x g x x x x +==+++-+， 若10x +>，则4(1)22(1)2211x x x x ++-+-=++， 当且仅当411x x +=+，即1x =时上式“=”成立； 若10x +<，则44(1)2[(1)]22[(1)]261(1)(1)x x x x x x ++-=--++----=-+-+-+， 当且仅当4(1)(1)x x -+=-+，即3x =-时上式“=”成立．4(1)2(1x x ∴++-∈-∞+，6][2-，)+∞． ()(0g x ∴∈，1]2．12a∴． 则实数a 的取值范围是1[,)2+∞．故选：C ．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 3．（2015•北京校级模拟）已知集合2{20}A x x =-->，集合{|||3}B x x a =-<，若A B R =，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，2]B ．(1,2)-C ．[1-，2]D ．(2,1)-【分析】求出两个集合，然后利用并集求解即可． 【解答】解：集合2{20}{|1A x x x x =-->=<-或2}x >， 集合{|||3}{|33}B x x a x a x a =-<=-<<+， 若AB R =，可得31a -<-并且32a +>，解得(1,2)a ∈-． 故选：B ．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，二次不等式的解法，并集的应用，考查计算能力． 4．（2013•宣武区校级模拟）不等式|1||2|5x x -+-的解集为( ) A ．{|1x x -或4}x B ．{|1x x 或2}xC ．{|1}x xD ．{|2}x x【分析】利用绝对值的意义，|1||2|x x -+-表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|1||2|5x x -+-=的点的坐标为1-和4，从而得出结论．【解答】解：|1||2|x x -+-表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|1||2|5x x -+-=的点的坐标为1-和4，故不等式|1||2|5x x -+-的解集为{|1x x -或4}x ， 故选：A ．【点评】本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，判断数轴上满足|1||2|5x x -+-=的点的坐标为1-和4，是解题的关键．5．（2012秋•海淀区校级月考）不等式|3||1|x x a ++-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，3]B ．[1-，3]C ．(-∞，4]D ．[4，)+∞【分析】构造函数()|3||1|f x x x =++-，利用绝对值的意义可求得()min f x ，从而可得答案．【解答】解：不等式|3||1|x x a ++-对任意实数x 恒成立， 令()|3||1|f x x x =++-， 则()min a f x ．由绝对值的几何意义可得：()|3||1||3(1)|4f x x x x x =++-+--=，()4min f x ∴=．4a ∴．即实数a 的取值范围是(-∞，4]． 故选：C ．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的意义及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题． 6．（2012•房山区校级学业考试）不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．3x <B ．1x >-C ．1x <-或3x >D ．13x -<<【分析】利用||(0)x a a <>等价于a x a -<< 求得此不等式的解集． 【解答】解：由不等式|1|2x -<得212x -<-<， 13x ∴-<<，故选：D ．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，利用了||x a < 等价于a x a -<<． 二．填空题（共2小题）7．（2019秋•海淀区校级期中）不等式|2|3x -<的解集是 {|15}x x -<< ． 【分析】根据|2|3x -<，可得323x -<-<，然后解出不等式即可． 【解答】解：|2|3x -<，323x ∴-<-<， 15x ∴-<<，∴不等式的解集为{|15}x x -<<．故答案为：{|15}x x -<<．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．8．（2018秋•通州区期中）已知函数()||4f x x x x =-，那么不等式2()()0f x f x --<的解集为 {|4x x >，或40}x -<< ．【分析】要解得不等式即2(||4)(||4)0x x x x x x -+--<，化简可得即(4||)0x x -<，故有04||0x x >⎧⎨-<⎩①，或04||0x x <⎧⎨->⎩②．分别解出①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：函数()||4f x x x x =-，那么不等式2()()0f x f x --<，即2(||4)(||4)0x x x x x x -+--<，化简可得4||x x x <，即(4||)0x x -<，∴04||0x x >⎧⎨-<⎩①，或04||0x x <⎧⎨->⎩②．解①求得4x >，解求得40x -<<，故不等式的解集为{|4x x >，或40}x -<<， 故答案为：{|4x x >，或40}x -<<．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 三．解答题（共4小题）9．（2019秋•海淀区校级期中）设关于x 的不等式||2x a -<的解集为A ，不等式2112x x -<+的解集为B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）解不等式可得{|22}A x a x a =-<<+，{|23}B x x =-<<； （Ⅱ）利用A B ⊆可得22a --，23a +即可得a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）||2x a -<，22x a ∴-<-<， 22a x a ∴-<<+，{|22}A x a x a ∴=-<<+， 2112x x -<+，∴302x x -<+， (2)(3)0x x ∴+-<，23x ∴-<<， {|23}B x x ∴=-<<；（Ⅱ）A B ⊆，22a ∴--，23a +， 01a ∴，即a 的取值范围为[0，1]．【点评】本题考查了解不等式，集合的运算，属于中档题． 10．（2018秋•海淀区校级月考）已知()|2||3|f x x ax =+--． （1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）当03a <时，若(0,2)x ∈，求证：()1f x x >-． 【分析】（1）按照：①当2x <- 时；②当322x-时；③当32x >时，三种情况去绝对值分别解不等式再相并； （2）先将要证不等式转化为证：|3|3ax -<，再用不等式的基本性质可证． 【解答】解（1）2a =时，不等式化为|2||23|2x x +--> ①当2x <- 时，2232x x --+->，不等式无解； ②当322x-时，2232x x ++->，不等式无解；③当32x >时，2232x x +-+>，解得332x <<； 综上所述()2f x >的解集为3(2，3)．（2）当(0,2)x ∈时，()2|3|f x x ax =+--，即要证()(1)2|3|13|3|0f x x x ax x ax --=+---+=-->，即|3|3ax -<，03a <，02x <<，0236ax ∴<<⨯=，333ax ∴-<-<，|3|3ax ∴-<， 即()1f x x >-【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．11．（2018秋•海淀区校级月考）设函数()|3|||10f x x x a =++--． （1）当1a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）如果对任意的x ，不等式()0f x >恒成立，求a 的取值范围． 【分析】（1）分3段去绝对值解不等式，再相并；（2）先用绝对值不等式的性质得()f x 的最小值，再将不等式恒成立转化为最小值，解不等式即可．【解答】解：（1）1a =时，()0|3||1|10f x x x >⇔++->可得13110x x x ⎧⎨++->⎩或33110x x x -⎧⎨---+>⎩或313110x x x -<<⎧⎨++->⎩， 解得6x <-或4x >，所以不等式的解集为{|6x x <-，或4}x > （2）()|3|||10|(3)()|10|3|10f x x x a x x a a =++--+---=+-，所以对任意的x ，不等式()0f x >恒成立等价于|3|100a +->， 解得13a <-或7a >．所以a 的取值范围是13a <-或7a >．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．12．（2017春•西城区校级期末）若实数x ，y ，m 满足||||x m y m -<-，则称x 比y 靠近m ． （Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 有取值范围．（Ⅱ）()i 对0x >，比较(1)ln x +和x 哪一个更靠近0，并说明理由． ()ii 已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+，证明：1232n a a a a e ⋯<．【分析】（Ⅰ）根据定义可得不等式，再按照绝对值不等式的解法求解，即可求实数x 的取值范围；（Ⅱ）()i 由题意，|(1)0||0|(1)ln x x ln x x +---=+-，记()(1)f x ln x x =+-，利用导数证明()f x 在(0,)+∞内单调递减，即可得到结论；()ii 利用()i 的结论，利用放缩法，结合等比数列的求和公式，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意，|1(1)||(1)|x x +--<---，即|2||1|x x +<-． 此不等式同解于22(2)(1)x x +<-，解得12x <-；（Ⅱ）()0i x >，(1)0ln x ∴+>，|(1)0||0|(1)ln x x ln x x ∴+---=+-．记()(1)f x ln x x =+-，则(0)0f =． 1()1011xf x x x-'=-=<++， ()f x ∴在(0,)+∞内单调递减． ()(0)0f x f ∴<=，即(1)ln x x +<． (1)ln x ∴+比x 靠近0；()ii 显然120n ->．由()i 的结论，得2323()n n ln a a a lna lna lna ⋯=++⋯+121121(12)(12)(12)222n n ln ln ln ------=++++⋯++<++⋯+111112(12)211212n ------=<=--， 23n a a a e ∴⋯<．又12a =，1232n a a a a e ∴⋯<．【点评】本题通过新定义来考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，正确理解新定义是关键，是中档题．。
绝对值不等式的解法(选修4-5)2014
-1 0
3
4
原不等式的解集是 {x | 1 x 0， 或3 x 4}.
题型二：不等式n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0) 的解集
例2 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法2：3 | 3 2 x | 5 3 | 2 x 3 | 5
方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结 合的思想).
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
-3 -2 1 2
所以原不等式的解为 x x ≥ 2或x ≤ 3
题型四：含多个绝对值不等式的解法
方法二： |x-1|+|x+2|≥5，利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,把 数轴分为三段,然后分段考虑把原不等式转化为不含绝对 值符号的不等式求解（零点分段讨论法）
小结
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不 等式（组） ，根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：
⑴ f x a (a 0) f x a或f x a；
⑵ f x a (a 0) a f x a；
⑶ f x g ( x ) f x g ( x )或f x g ( x )；
题型一：不等式|x|<a与|x|>a （a>0）的解集
例1、解不等式 （ 1） 2 x 1 3 (2) | x 2 3 x 4 | x 1
尝试 1:分类讨论去绝对值符号.
．
尝试 2:运用推广的解法公式.
题型一：不等式|x|<a与|x|>a （a>0）的解集
6.5 含绝对值的不等式
|f(2)|＝|4a＋2b＋c|＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)|≤7. ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ － － ＋ － ＋ 此与f(2)＞ ＞ 此与 矛盾． 矛盾．
变式3.已知 ＝ 定义在区间[0,1]上，x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2， 变式 已知f(x)＝x2－x＋c定义在区间 已知 ＋ 定义在区间 上 ， 证明： 证明：(1)f(0)＝f(1)；(2)|f(x2)－f(x1)|<|x1－x2|； ＝ ； － ； (3)|f(x2)－f(x1)|< － ；(4)|f(x2)－f(x1)|≤ － .
上恒成立， 故|f(x)－g(x)|≤1在x∈[2,3]上恒成立，从而两函数是接近的． － 在 ∈ 上恒成立 从而两函数是接近的． 答案： 答案：B
2．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为 ．不等式 ＜ ＋ ＜ 的解集为 的解集为( A．(0,2) ． C．(－4,0) ．－
)
B．(－2,0)∪(2,4) ．－ ∪ D．(－4，－2)∪(0,2) ．－ ， ∪ 或 0＜x＜2或－4＜x＜－ ，故选 项． ＜－2，故选D项 ＜ ＜ 或 ＜ ＜－
(3)不妨设 2>x1，由(2)知|f(x2)－f(x1)|<x2－x1.① 不妨设x 不妨设 知 － ① 而由(1)知 ＝ 而由 知f(0)＝f(1)，从而 2)－f(x1)|＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)| ，从而|f(x － ＝ － ＋ － ≤|f(x2)－f(1)|＋|f(0)－f(x1)|<|1－x2|＋|x1|＝1－x2＋x1② － ＋ － － ＋ ＝ － ①＋②得2|f(x2)－f(x1)|<1，即|f(x2)－f(x1)|< . － ， － (4)|f(x2)－f(x1)|≤f(x)最大－f(x)最小＝f(0)－f( )＝ － － ＝ .
绝对值不等式的解法
2 绝对值不等式的解法[学习目标] 1.掌握绝对值不等式的几种解法，并解决绝对值不等式求解问题.2.了解绝对值不等式的几何解法．[知识链接] 解下列不等式： (1) |x －2|≤3； (2)|x －2|＞1； (3)1＜|x －2|≤3； (4)|2x ＋5|＞7＋x .答案 (1)|x －2|≤3⇔－3≤x －2≤3⇔－1≤x ≤5.(2)|x －2|＞1⇔x －2＞1或x －2＜－1，解得x ＞3或x ＜1.(3)原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x －2|＞1，|x －2|≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1或x ＞3，－1≤x ≤5，解得－1≤x ＜1或3＜x ≤5，(4)由不等式|2x ＋5|＞7＋x ，可得2x ＋5＞7＋x 或2x ＋5＜－(7＋x )， 整理得x ＞2或x ＜－4.∴原不等式的解集是{x |x ＜－4，或x ＞2}． [预习导引]1．|x |＞a 和|x |＜a (a ＞0)型不等式的解法 |x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ；|x |＞a ⇔x ＜－a 或x ＞a . 2．|ax ＋b |≤c 和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 |ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； |ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .3．|x －a |＋|x －b |≤c 和|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式的三种解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义；(2)利用x －a ＝0，x －b ＝0的解，将数轴分成三个区间，然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之；(3)通过构成函数，利用函数的图象.要点一 绝对值不等式的解法 例1 (1)解不等式|x ＋3|＋|x －3|＞8； (2)解不等式|2x ＋1|－|x －4|＞2.解 (1)方法一 由代数式|x ＋3|、|x －3|知，－3和3把实数集分为三个区间：x ＜－3，－3≤x ＜3，x ≥3.当x ＜－3时，－x －3－x ＋3＞8，即x ＜－4，此时不等式的解集为{x |x ＜－4}．① 当－3≤x ＜3时，x ＋3－x ＋3＞8，此时不等式无解② 当x ≥3时，x ＋3＋x －3＞8，即x ＞4， 此时不等式的解集为{x |x ＞4}③ 取①②③式的并集得原不等式的解集为 {x |x ＜－4，或x ＞4}．方法二 分别画出函数y 1＝|x ＋3|＋|x －3|和y 2＝8的图象，如图所示． y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x (x ＜－3)6 (－3≤x ＜3)，2x (x ≥3)不难看出，要使y 1＞y 2，只需x ＜－4或x ＞4. ∴原不等式的解集为{x |x ＜－4，或x ＞4}． (2)令y ＝|2x ＋1|－|x －4|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5 ⎝⎛⎭⎫x ≤－123x －3 ⎝⎛⎭⎫－12＜x ＜4x ＋5 (x ≥4)，作出函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|与函数y ＝2的图象，它们的交点为(－7,2)和⎝⎛⎭⎫53，2.所以|2x ＋1|－|x －4|＞2的解集为(－∞，－7)∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞.规律方法 对含有多个绝对值符号的不等式的解法通常用分段讨论法，去掉绝对值符号，将不等式化为整式不等式求解，去掉绝对值符号的依据是绝对值的定义，找到分界点(即零值点)．令绝对值内的数为零，分成若干段，最后原不等式的解集是各段解集的并集． 跟踪演练1 已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若不等式f (x )＜|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围．解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32，(2x ＋1)＋(2x －3)≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，(2x ＋1)－(2x －3)≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－(2x ＋1)－(2x －3)≤6，解之得32＜x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x ＜－12，即不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．(2)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4， ∴|a －1|＞4，解此不等式得a ＜－3或a ＞5. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 要点二 与函数有关的绝对值不等式 例2 已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解 (1)函数的定义域满足：|x －1|＋|x －5|－a ＞0，即|x －1|＋|x －5|＞a ， 设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝|x －1|＋|5－x | ≥|x －1＋5－x |＝4，g (x )min ＝ 4，f (x )min ＝log 2 (4－2)＝1. (2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4. |x －1|＋|x －5|－a ＞0，∴a ＜4，∴a 的取值范围是(－∞，4).规律方法 解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值的不等式(组)，为此往往需要分区间进行讨论去绝对值符号；有些绝对值不等式利用绝对值的几何意义解起来更快速． 跟踪演练2 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝|x －2|＋|x －4| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为(－∞，1]∪[5，＋∞)． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12由已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎨⎧a －12＝1，a ＋12＝2.于是a ＝3.要点三 含绝对值不等式的恒成立问题 例3 已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|＞m . (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R ；(3)若不等式解集为∅.分别求出m 的范围．解方法一因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|P A|－|PB|.由图象知(|P A|－|PB|)max＝1，(|P A|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1；(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1；(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1.方法二由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，即m＜1.(2)若不等式解集为R，即m＜－1.(3)若不等式解集为∅，即m≥1.规律方法问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，都属于恒成立问题，问题(2)、(3)则属于恒成立问题．要对任意实数x，结论都成立或都不成立，都不成立也就是结论的矛盾方面都成立，都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a，f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a.跟踪演练3设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＋a.(1)当时a＝－5，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．解(1)由题设知：|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的图象(如图所示), 知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0， 即|x ＋1|＋|x －2|≥－a 由(1)|x ＋1|＋|x －2|≥3， ∴－a ≤3，∴a ≥－3.1．若集合A ＝{x ||2x －1|＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ＋13－x ＜0，则A ∩B 是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12，或2＜x ＜3， B ．{x |2＜x ＜3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜2 D ．{x |－1＜x ＜－12}答案 D解析 ∵A ＝{x |－2＜2x ＜4}＝{x |－1＜x ＜2}．B ＝{x |(2x ＋1)(x －3)＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－12，或x ＞3.∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12.2．不等式3≤|5－2x |＜9的解集是( ) A ．(－∞，－2)∪(7，＋∞) B ．[1,4] C ．[－2,1]∪[4,7] D ．(－2,1]∪[4,7) 答案 D解析 由3≤|5－2x |＜9得3≤2x －5＜9，或－9＜2x －5≤－3，即4≤x ＜7或－2＜x ≤1，所以不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)，选D. 3．不等式2|x |＋|x －1|＜4的解集为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，53解析 当x ＜0时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：－2x ＋1－x ＜4，解得－1＜x ＜0，当0≤x ≤1时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：2x ＋1－x ＜4，解得0≤x ≤1，当x ＞1时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：2x ＋x －1＜4，解得1＜x ＜53.综上不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1，53. 4．解不等式|x 2－2x ＋3|＜|3x －1|. 解 x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2＞0， |x 2－2x ＋3|＜|3x －1|⇔x 2－2x ＋3＜|3x －1| ⇔3x －1＞x 2－2x ＋3或3x －1＜－x 2＋2x －3. 由x 2－5x ＋4＜0，得1＜x ＜4，由x 2＋x ＋2＜0，得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74＜0， 该不等式解集为∅.所以原不等式的解集为(1,4)．1.解不等式|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c(1)当c ≥0时，|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，解之即可； |ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，解之即可．(2)当c ＜0时，由绝对值的定义知|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R . 2．解|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c 型的不等式的一般步骤 ①令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根； ②把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集； ④这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．绝对值不等式的解法1．不等式|x ＋1|>3的解集是( ) A ．{x |x <－4或x >2} B ．{x |－4<x <2} C ．{x |x <－4或x ≥2}D ．{x |－4≤x <2}解析：选A |x ＋1|>3，则x ＋1>3或x ＋1<－3，因此x <－4或x >2. 2．满足不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<5的所有实数解的集合是( ) A ．(－3,2) B ．(－1,3) C ．(－4,1) D.⎝⎛⎭⎫－32，72 解析：选C |x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|<5解集是(－4,1)．3．不等式1≤|2x －1|<2的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎣⎡⎦⎤1，32B.⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎦⎤1，32C.⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎝⎛⎦⎤1，32D.⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫1，32 解析：选D 由1≤|2x －1|<2，得1≤2x －1<2或－2<2x －1≤－1，因此－12<x ≤0或1≤x <32.4．若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |＞3的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(1，＋∞) C ．(－4,2)D ．[－4,1]解析：选A 由题意知，不等式|x －1|＋|x ＋m |＞3恒成立，即函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值大于3，根据绝对值不等式的性质可得|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，故只要满足|m ＋1|＞3即可，所以m ＋1＞3或m ＋1＜－3，解得m ＞2或m ＜－4，故实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．5．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．解析：∵不等式两边是非负实数，∴不等式两边可以平方，两边平方，得(x ＋2)2≥x 2， ∴x 2＋4x ＋4≥x 2，即x ≥－1， ∴原不等式的解集为{x |x ≥－1}． 答案：{x |x ≥－1}6．不等式|2x －1|－x <1的解集是__________．解析：原不等式等价于|2x －1|<x ＋1⇔－x －1<2x －1<x ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，x <2⇔0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a |，若函数f (x )的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围为________．解析：因为|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－(x －2)|＝3， 所以f (x )的最小值为3－|a 2－2a |. 由题意，得|a 2－2a |＜3，解得－1<a <3. 答案：(－1,3)8．解不等式：|x 2－2x ＋3|<|3x －1|. 解：原不等式⇔(x 2－2x ＋3)2<(3x －1)2⇔[(x 2－2x ＋3)＋(3x －1)] [(x 2－2x ＋3)－(3x －1)]<0 ⇔(x 2＋x ＋2)(x 2－5x ＋4)<0⇔x 2－5x ＋4<0(因为x 2＋x ＋2恒大于0)⇔1<x <4. 所以原不等式的解集是{x |1<x <4}．9．解关于x 的不等式|2x －1|<2m －1(m ∈R)．解：若2m －1<0，即m ≤12，则|2x －1|<2m －1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m－1>0，即m >12，则－(2m －1)<2x －1<2m －1， 所以1－m <x <m . 综上所述：当m ≤12时，原不等式的解集为∅；当m >12时，原不等式的解集为{x |1－m <x <m }．10．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0， 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}． (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43.。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2含有绝对值的
【做一做3】 解不等式|2x-5|-|x+1|<2.
分析:利用零点分区间法解题.
解:令 2x-5=0,得 x= 5 . 令x+1=0,得 x=-1.
2
(1)当 x≤-1 时,原不等式等价于-(2x-5)+(x+1)<2,
即-x+6<2,即 x>4,无解.
(2)当-1<x<
5 2
时,原不等式等价于-(2x-5)-(x+1)<2,
题型一 题型二 题型三
解法一:(几何法)如图,设数轴上与-2,1对应的点分别是A,B,则A,B 两点的距离是3,因此区间[-2,1]上的数都不是原不等式的解.为了求 出不等式的解,关键要在数轴上找出与点A,B的距离之和为5的点. 将点A向左移动1个单位到点A1,这时有|A1A|+|A1B|=5;
同理,将点B向右移动1个单位到点B1,这时也有|B1A|+|B1B|=5. 从数轴上可以看到,点A1与B1之间的任何点到点A,B的距离之和 都小于5;点A1的左边或点B1的右边的任何点到点A,B的距离之和都 大于5. 所以,原不等式的解集是(-∞,-3]∪[2,+∞).
2.2 绝对值不等式的解法
1.会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围. 2.会解|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c四种类 型的绝对值不等式.
1.(1)解绝对值不等式的主要依据 解含绝对值的不等式的主要依据为绝对值的定义、绝对值的几 何意义及不等式的性质. (2)绝对值不等式的解法
【做一做1】 解下列绝对值不等式: (1)|x|<3;(2)|x|>4.
含绝对值不等式的解法1
方法一：等价于 不等式组
| ax b | n | ax b | m
方法二：几何意义
-m
-n 0 n
m
n ax b m,或 m ax b n
推广 a f(x) b a f(x) b或-b f(x) a
题型二：不等式n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0) 的解集
∴原不等式的解集为{x | x<－2或x>－1}.
解题反思：
1、采用了整体换元。
2、归纳型如(a>0)
| f(x)|<a, |f(x)|>a 不 等式的解法。
| f(x)|<a | f(x)|>a
-a<f(x)<a
f(x)<-a或 f(x)>a
变式例题：型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中
题型四：含多个绝对值不等式的解法
练习4 解不等式 x+1 - x-3 2
解不等式
x2 x3 7
2x 4 3x 3 7
3.解不等式:| x 2 || x 1| 3
x 2
三、例题讲解
① -1 ② 3 ③
例2 解不等式|x +1| + |3－x| >2 + x.
解析原不等式变形为| X +1| + |X －3| > 2 + X.
不等式解集为 x x≥-1
推广 f x g x f x2 g x2
题型三：不等式 的解集|f(x)|> |g(x)| 练习3 解不等式 | x 2 || x 1|
四、练习
2.解不等式 x 9 x 1
解： x 9 x 1
x 92 x 12
绝对值不等式专题复习课件
令g ( x) x 1 x 4
f ( x)的 最 小 值 为 5
a
4 a 2 5a 4 由a 5 0成 立 a a 0 a 1或a 4 a (0,1] [4,)
例3、已知关于x的不等式 ax 2 ax a 2(a 0) （1）当a 1时，求此不等式的解集； （2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围。 解：（1）当a=1时，不等式为 x 2 x 1 2 由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型 不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了 数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论 的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现 了函数与方程的思想．
2．绝对值的三角不等式
当且仅当( x a)(1 x) 0 时，即 f ( x) a 1 记不等式( x a)(1 x) 0 的解集为A，则
(3,1) A故a 3
a (,3]
例2、已知关于x的不等式2x 1 x 1 log2 a （其中a 0 ） （1）当 a 4时，求不等式的解集； （2）若不等式有解，求实数a 的取值范围。 解：（1）令 f ( x) 2x 1 x 1 ，当a 4时， f ( x) 2 1 1 当 x 时， x 2 2 ，得 4 x ; 2 2 1 当 x 1 时， 3 x 2 ，得 4 x 2 ; 2 3 当 x 1 时， x 0 ，此时的x不存在。
2 x 5, x 2 1,2 x 3 2 x 5, x 3
含绝对值不等式
典型例题
例３、解不等法： （１）零点分段法；（通性通法） （２）几何意义法； （３）函数图象法．
典型例题
xa 例４、已知不等式 x 3 的解集为Ａ． 2 （１）若Ａ＝ 求实数a 的取值范围；
f ( x) a (a 0) a f ( x) a; f ( x) a (a 0) f ( x) a或f ( x) a
f ( x ) g( x ) f 2 ( x ) g 2 ( x )
3、零点分段法：如 ax b cx d k
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
二、含绝对值不等式的解法： 1、等价转化法： 2、平方法：
f ( x) a (a 0) a f ( x) a; f ( x) a (a 0) f ( x) a或f ( x) a
【思维点拨】 １、需分别证明充分性和心要性； ２、通过分类讨论利用结论：
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
若ab 0, 则 a b a b , a b a b
典型例题
例２、解不等式：
1 x 2x 2
2
【思维点拨】 本题有多种解法： （１）定义法； （２）等价转化法； （３）函数图象法. 注意： f ( x) g( x) g( x) f ( x) g( x);
高中数学第六章《不等式》 第 5 课
含绝对值不等式
问题:
a>b是a2>b2的什么条件？ 答案：既非充分又非必要条件.
知识梳理:
一、含绝对值不等式的证明：
《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)
选修4－5不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．ab≤0且|a ab≥0且|a定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、a n为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若a i，b i(i∈N*)为实数，则()()≥(i b i)2，当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1(1)(2)(3)|(4)(5)[2AC[[答案] A3．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是() A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小[解析]|a＋b|＋|a－b|≤|2a|<2.[答案] B4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为()A．1 B．C. D．2[∴([5[为－2≤a[解|(1)(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A．(－∞，4) B．(－∞，1)C．(1,4) D．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.[解题指导]切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析](1)当x<1时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等当当(2)当当当[对点训练已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．[解](1)当a＝－3时，f(x)＝当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2<x<3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当?4右|x 1.是(2)[[解析](1)∵|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x－2)|＝3，∴a2＋a＋2≤3，解得≤a≤.即实数a的取值范围是.(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于P A－PB>k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<－3时，原不等式恒成立．解法二：令y＝|x＋1|－|x－2|，则y＝要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．[答案](1)(2)(－∞，－3)解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立?a>f(x)max，f(x)>a恒成立?a<f(x)min.(1)(2)[解－a?a－3≤x≤3.故(2)f不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．[解题指导]切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明](1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.由a＋(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.———————方法规律总结————————[12条件．3．[121[解析]|2x－1|<3?－3<2x－1<3?－1<x<2.[答案](－1,2)2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝__________.[解析]∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.[答案] 23．不等式|2x＋1|＋|x－1|<2的解集为________．[解析]当x≤－时，原不等式等价为－(2x＋1)－(x－1)<2，即－3x<2，x>－，此时－<x≤－.当－<x<1时，原不等式等价为(2x＋1)－(x－1)<2，即x<0，此时－<x<0.当x≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x－1)<2，即3x<2，x<，此时不等式无解，综上，原不等式的解为－<x<0，即原不等式的解集为.[答案]4[[5．[故[6．[3a－1＋2a＝[7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是__________．[解析]∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.[答案](－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x的不等式|x－a|＋1－x>0的解集为R，则实数a的取值范围是__________．[解析]若x－1<0，则a∈R；若x－1≥0，则(x－a)2>(x－1)2对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，即(a－1)[(a＋1)－2x]>0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，所以(舍去)或对任意的x∈[1，＋∞]恒成立，解得a<1.综上，a<1.[答案](－∞，1)9．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为__________．[＝≥2[10．[即∴[11[解析]∵|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|＝(|1－x|＋|x|)＋(|1－y|＋|1＋y|)≥|(1－x)＋x|＋|(1－y)＋(1＋y)|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x)·x≥0，(1－y)·(1＋y)≥0，即0≤x≤1，－1≤y≤1时等号成立，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.[答案] 312．若不等式|x＋1|－|x－4|≥a＋，对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]只要函数f(x)＝|x＋1|－|x－4|的最小值不小于a＋即可．由于||x＋1|－|x－4||≤|(x＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x＋1|－|x－4|≤5，故只要－5≥a＋即可．当a>0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≤0，无解；当a<0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≥0，则有a≤－4或－1≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[13(1)(2)[解若若若(2)f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示．由图象可知，f(x)≥1，∴2a>1，a>，即a的取值范围为.14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.(2)a＋1,0)，C(a，a15(1)(2)[解f(x).(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件；若a<1，f(x)＝f(x)的最小值为1－a；若a>1，f(x)＝f(x)的最小值为a－1.∴对于?x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)(2)[解又(2)(42＝即a当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．故a2＋b2＋c2的最小值为.。
(完整版)含绝对值的不等式解法练习题及答案
例1 不等式｜8－3x|＞0的解集是[ ］A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83答 选C ．例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是［ ］A ．3B ．2C ．－2D ．－5 分析 列出不等式．解 根据题意得2＜｜x ｜≤5．从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5,其中最小整数为－5, 答 选D ．例3 不等式4＜｜1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形．解 原不等式可化为4＜｜3x －1|≤7,即4＜3x －1≤7或－7≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383例4 已知集合A ＝{x|2＜｜6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜｜6－2x|＜5可化为2＜|2x －6｜＜5即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62⎧⎨⎩即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4⎧⎨⎩解之得＜＜或＜＜．4x x 211212因为x ∈N,所以A ＝｛0，1，5｝． 说明：注意元素的限制条件．例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 ［ ］A ．｜a －b ｜＜|a ｜＋|b|B ．|a ＋b ｜＞|a －b|C ．｜a ＋b|＜｜a －b|D ．|a －b ｜＜｜|a ｜＋｜b ｜｜分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号,∴ ｜a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ．例6 设不等式|x －a ｜＜b 的解集为｛x ｜－1＜x ＜2｝,则a ，b 的值为[ ]A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1,b ＝－3D a b ．＝，＝1232分析 解不等式后比较区间的端点．解 由题意知，b ＞0,原不等式的解集为｛x ｜a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为｛x ｜－1＜x ＜2｝所以比较可得．a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．⎧⎨⎩1232 答 选D ．说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式｜2x －1|＜2m －1(m ∈R ） 分析 分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112式的解集为；∅若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12x ＜m ．综上所述得：当≤时原不等式解集为；当＞时，原不等式的解集为m m 1212∅｛x|1－m ＜x ＜m}．说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．例解不等式－＋≥．8 3212||||x x分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数,所以能直接去分母．解 注意到分母|x ｜＋2＞0,所以原不等式转化为2（3－｜x|)≥|x|＋2，整理得|x|x {x|x }≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343说明：分式不等式常常可以先判定一下 分子或者分母的符号，使过程简便．例9 解不等式｜6－|2x ＋1||＞1．分析 以通过变形化简，把该不等式化归为｜ax ＋b|＜c 或|ax ＋b ｜＞c 型的不等式来解． 解 事实上原不等式可化为6－|2x ＋1｜＞1①或 6－｜2x ＋1|＜－1②由①得|2x ＋1｜＜5，解之得－3＜x ＜2;由②得｜2x ＋1｜＞7，解之得x ＞3或x ＜－4．从而得到原不等式的解集为{x ｜x ＜－4或－3＜x ＜2或x ＞3｝． 说明:本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．例10 已知关于x 的不等式｜x ＋2|＋｜x －3｜＜a 的解集是非空集合,则实数a 的取值范围是________．分析 可以根据对|x ＋2｜＋|x －3｜的意义的不同理解，获得多种方法．解法一 当x ≤－2时，不等式化为－x －2－x ＋3＜a 即－2x ＋1＜a 有解，而－2x ＋1≥5, ∴a ＞5．当－2＜x ≤3时，不等式化为x ＋2－x ＋3＜a 即a ＞5．当x ＞3是，不等式化为x ＋2＋x －3＜a 即2x －1＜a 有解，而2x －1＞5，∴a ＞5． 综上所述:a ＞5时不等式有解,从而解集非空．解法二 ｜x ＋2|＋|x －3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－（－2）＝5．故可求a 的取值范围为a ＞5．解法三 利用|m|＋|n ｜＞｜m ±n|得|x ＋2|＋|x －3｜≥|(x ＋2）－(x －3）|＝5． 所以a ＞5时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性． 例11 解不等式|x ＋1｜＞2－x ．分析一 对2－x 的取值分类讨论解之． 解法一 原不等式等价于：①－≥＋＞－或＋＜－2x 0x 12x x 1x 2⎧⎨⎩或②－＜∈2x 0x R⎧⎨⎩由①得≤＞或＜－x 2x 1212⎧⎨⎪⎩⎪ 即≤＞，所以＜≤；x 2x x 21212⎧⎨⎪⎩⎪ 由②得x ＞2．综合①②得＞．所以不等式的解集为＞．x {x|x }1212分析二 利用绝对值的定义对|x ＋1|进行分类讨论解之． 解法二 因为|x 1| x 1x 1x 1x 1＋＝＋，≥－－－，＜－⎧⎨⎩原不等式等价于：①≥＞或②＜＞x x x x x x++-⎧⎨⎩+---⎧⎨⎩10121012由①得≥＞即＞；x x -⎧⎨⎪⎩⎪11212 x由②得＜－－＞即∈．x 112x ⎧⎨⎩∅所以不等式的解集为＞．{x|x }12例12 解不等式｜x －5|－|2x ＋3｜＜1．分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x 5|x 5|0x |2x 3|032所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．325x解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为 x x 502x 3032－（x －5）＋(2x ＋3）＜1,得x ＜－7,所以x ＜－7；当－＜≤时，同理不等式化为32x 5－（x －5)－（2x ＋3）＜1，解之得＞，所以＜≤；x x 51313当x ＞5时，原不等式可化为 x －5－（2x ＋3）＜1，解之得x ＞－9,所以x ＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|x x 7}13说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略． 例13 解不等式|2x －1｜＞|2x －3|．分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝 对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|a b 22⇔ 之，则更显得流畅，简捷．解 原不等式同解于(2x －1）2＞（2x －3)2，即4x 2－4x ＋1＞4x 2－12x ＋9，即8x ＞8，得x ＞1．所以原不等式的解集为{x|x ＞1}．说明：本题中，如果把2x 当作数轴上的动坐标,则|2x －1｜＞｜2x －3｜表示2x 到1的距离大于2x 到3的距离,则2x 应当在2的右边，从而2x ＞2即x ＞1．。
解含绝对值的不等式专题练习有详细答案
解“含纽对值的不等成”专題练习册级学号一•选择題:1.不等衣|x + 2|<3的解集是()(A) - 5<x<1 ( B ) x< - 5 或x>1 ( C ) x< - 5 ( D ) x>12.不等衣|2z-1 |>2的解集是()1 3 1 3(A ) x> 1 或x<- 1 ( B ) A <一一或A > - ( C ) --<x<- ( D ) - 1 <x<32 2 2 23•不等衣3v|2x —l|v5的解集为()A. {x|2<x<31B. {x|-2<x<-1}C. {x|-2<x<-1 或2<x<3}D. {x|-2<x<3}4•不等S0<|2x-l|<5的解集为( )A. {x|-2<x<3}B. {x|-2<x<2} C・(x|x<-2 或x>3} D. {x|-2<x<3 fl -}25•不等衣I2x —5I>3的解集是()(A) {x I x > 4} (B){xl 1 <x< 4}(C) {x I x<一1弧 > 4)(D) {x\x< 1 或兀 > 4)6•关于x的不等氏叱vO(“ + 〃vO)的瞬集是()b_x(A) {x\x< -a} (B){x I x < > /?}(C) {x I x < /?或x: > -a} (D){xl/?<x< -a}7•不等itlx2-xl<2的解集是( )(A) {x \ x < -lgJcx > 2) (B) {x I -1 v x v 2} (C)x e 7? (D)08•不等式(l + x)(l-lxl) >0的解集是()A. {xIOSxvl} B・{xlx vO,xH-l}C. {xl-1 <x< l)D.{xlx<9•已知集合A={x卜2<x<4},B=(x|xMa},若AnB=4>, fl AuB中不含元素5,则下列值中a可能是A. 3B. 4C. 5D. 6 ( )10•若不等直丄v2和卜|>抑时应立，呱x的取值X围是()A. —丄vxvlB. x> 丄或vv-丄C. x>-D. x> -2 3 2 3 2 3 211.设集合P={X|X2-4X-5<0},Q = {X^x\-a>0}, i 能便PflQ = 0 成立的a 的值是( ) A. {a\a>5} B. {a|a>5}C. {d|-lva<5}D. ^a\a > 1}12•不等衣奸¥+凶》0的解集是( )A. {x|-2<x<2}B. 0或0K2}C. {x|-2<x<0«lc0<J<2)D. {x|-辰x<0或0W>/T}13.E »a>o,不等此卜一 4|+卜一 3|<“在实数集R 上的解集不是空集,剧“的取值X 围是（ A. a >0B. a > 1 C ・ a>\ D. a >22、•一］14 •设集合4 = {人•卜一牛2}, 3 =杯二卜若A^B 9収的収值X 围是（x I 2A. {切0<«< ljB. {切0<a<\}C. {G |0 va v 1} D ・{a|0<a<\} 二填空題: 15•不等S|X +1|+|X-1|<2的解集是 ______________________17•不等贰|x+1 |+|x-11>2的解集是 ___________________________ ・1&若a>O,be/?,般不等j{\-3x + b\< "的解集是 _____________________ .19•不等jt|x +1|-|x-1>a 的解集是R,则a 的取值集合 __________________________________ 20•不等氏/-5^|+6<0.的解集是 _________________ 21•巳知集合 A={x||x+2>5EB={x|-屮+6乂・ 5>0},M AuB=三.解笞題：22. 解下列不等衣 （1）|1-2x>2⑵（x-1 ） 2<100(3)解不等 S X 2-9<X +3 (4)解不等式 |x-|2x+1||>1.16.x 2 +3x JV + 2>卞的解集是 -----------------------(5)l3x + 2lvlxl(6) I x2 -4x+2 | >-；2 (7 ) | x+3 | - | x - 3 | >3.23.BflA = {x||x-a|<4}1B = {x|x2-4x-5>0}, fl AuB=R.XX 数a 的取值X 围.24.M BlA = {xllx-ll<c,c>O},B = {xllx-3l>4},KAn^ = 0» 求C 皿值的XU。
绝对值不等式的解法
的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数
轴上的x.
所以-1-x+1-x=3,得 x 3 .
2
同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3，B1对应数轴 上的x,所以x-1+x-(-1)=3. 所以 x .
3 2
从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于
3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大
于3，所以原不等式的解集是 (, ] [ , ).
3 2
3 2
方法二：当x≤-1时,原不等式可以化为
-(x+1)-(x-1)≥3,解得 x 3 .
当-1＜x＜1时,原不等式可以化为
2
x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.当x≥1时,原不等式可以
化为x+1+x-1≥3.所以 x . 综上,可知原不等式的解集为 {x | x 3 或x 3}.
3 2
2
2
方法三：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.
构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即
3 3 作出函数的图象(如图).函数的零点是 , , 2 2
从图象可知当 x 或 x
3 x 2－2x 1＞x 2－4x 4 2x＞3 x＞ , 2 又2－x≥0，所以x≤2.
所以原不等式的解集为{x | ＜x 2}. 【误区警示】本题易忽视隐含条件2-x≥0而致误.
x－ 1 ＞( 2－x) (x－ 1) ＞ 2－x
2 2
2
3 2
【拓展提升】|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等 式的解法 (1)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式有三种解 法：分区间(分类)讨论法\,图象法和几何法.分区间讨论的方 法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数 据较简单的情况.
绝对值不等式题型解法练习(
一、几种常见的含绝对值不等式的解法1．类型一：形如a x f a x f ><)(,)(型不等式 (1)当0>a 时a x f a a x f <<-⇔<)()( a x f a x f >⇔>)()(或a x f -<)( (2)当0=a 时 a x f <)(，无解⇔>a x f )(使()0)()(≠=x f x f y 成立的x 的解集 (3)当0<a 时 a x f <)(，无解^⇔>a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集例1（2009年安徽理科第2题5分）若集合{}21|21|3,0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B 是（ ）A.11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或 B.{}23x x << C.122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D.112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭分析：要解决这个题，就是解两个不等式，其中312<-x 即为含绝对值的不等式，这是形如a x f <)(型的绝对值不等式，其中0>a ，则a x f a <<-)(。
解：因为312<-x ,所以3123<-<-x ，即解得)2,1(-∈x 解0312<-+x x 得，3>x 或21-<x 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-=211x x B A ，故答案选D.二,形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()(或a x f b -<<-)(。
<例2不等式311<+<x 的解集为（ ）A.（0,2）B.)4,2()0,2( - C .)0,4(-D.)2,0()2,4( --分析：原不等式是形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式，需将原不等式转化为以下的不等式求解：113311-<+<-<+<x x 或，这样就转化为解简单的不等式问题。
不等式专题：分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数
不等式专题：分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法一、分式不等式的解法解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。
设A 、B 均为含x 的多项式（1）00>⇔>AAB B（2）00<⇔<AAB B（3）000≥⎧≥⇔⎨≠⎩AB AB B （4）000≤⎧≤⇔⎨≠⎩AB AB B 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。
二、高次不等式的解法如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：1、标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；2、分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如()()()120--->…n x x x x x x 的形式，其中各因式中未知数的系数为正；3、求根：求如()()()120---=…n x x x x x x 的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）4、穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）5、得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间三、含绝对值不等式1、绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3、两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．4、绝对值不等式：（1）(0)<>x a a 的解集是{|}-<<x a x a ，如图1．（2）(0)>>x a a 的解集是{|}<->或x x a x a ，如图2．（3）(0)+<>⇔-<+<ax b c c c ax b c ．（4）(0)+>>⇔+>ax b c c ax b c 或ax b c+<-题型一解分式不等式【例1】不等式02xx ≤-的解集为（）A ．[0,2]B ．(0,2)C ．(,0)[2,)-∞+∞ D ．[0,2)【答案】D【解析】原不等式可化为()2020⎧-≤⎨-≠⎩x x x ，解得02≤<x ．故选：D ．【变式1-1】不等式2112x x +≥-的解集为（）A ．[3,2]-B ．[3,2)-C ．(,3][2,)-∞-⋃+∞D ．(,3](2,)-∞-+∞U 【答案】D【解析】∵21310022++-⇒--x x x x ，解得：2>x 或3-x ，∴不等式的解集为(,3](2,)-∞-+∞U ，故选：D.【变式1-2】解下列分式不等式：（1）123x x +-≤1；（2）211x x+-<0.【答案】（1）{3|2x x <或4x ≥}；（2）{1|2x x <-或1x >}.【解析】（1）∵123x x +-≤1，∴123x x +-－1≤0，∴423x x -+-≤0，即432x x --≥0.此不等式等价于(x －4)32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4.∴原不等式的解集为{3|2x x <或4x ≥}（2）由211x x +-<0得121x x +->0，此不等式等价于12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x －1)>0，解得x <－12或x >1，∴原不等式的解集为1{|2x x <-或1x >}.【变式1-3】解不等式：2121332x x x x ++≥--【答案】21332⎧⎫><≠-⎨⎬⎩⎭或且x x x x 【解析】通分整理，原不等式化为：2(12)0(3)(32)+>--x x x ，它等价于：(3)(32)0210-->⎧⎨+≠⎩x x x ，得到：3>x 或23<x 且12≠-x 【变式1-4】不等式()2131x x +≥-的解集是（）A ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(]1,11,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭U D ．(]1,11,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】因为()2131x x +≥-，所以213(1)x x +≥-且10x -≠，所以23720x x -+≤且10x -≠，所以123x ≤≤且1x ≠，所以不等式的解集为(]1,11,23⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，故选：C题型二解高次不等式【例2】不等式()()()21350x x x ++->的解集为___________.【答案】1(,3),52⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【解析】不等式()()()()()()2135021350++->⇔++-<x x x x x x ，由穿针引线法画出图线，可得不等式的解集为1(,3),52⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭.故答案为：1(,3),52⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭⋃.【变式2-1】解不等式（x +2）（x -1）9（x +1）12（x -3）≥0.【答案】[][)-213⋃+∞,,.【解析】根据不等式标根所以原不等式的解为[][)-213⋃+∞，，.故答案为：[][)-213⋃+∞,,.【变式2-2】不等式()()1203x x x +-≥-的解集为（）A ．{1x x ≤-或}23x ≤<B ．{1x x ≤-或}23x ≤≤C ．{3x x ≥或}12x -≤≤D ．{3x x >或}12x -≤≤【答案】A【解析】不等式(1)(2)03x x x +-≥-，化为：(1)(2)0330x x x x +-⎧≤⎪-⎨⎪-≠⎩，由穿根法可知：不等式的解集为：{1x x ≤-或}23x ≤<.故选：A.【变式2-3】解下列分式不等式：（1）23221x x x -+≥-;（2）22520(32)(11)x x x x -+≥-+;（3）2256034x x x x ++≤--;（4）222232x x x x x +-<+-．【答案】（1）[4,)+∞；（2）12(,11)[,)[2,)23-∞-+∞ ；（3）4[3,2](1,)3--- ；（4）(1,2)(3,)-⋃+∞．【解析】（1）23221x x x -+≥-，所以232201x x x -+-≥-，所以()2322101x x x x -+--≥-，即()()24154011x x x x x x ---+=≥--，解得4x ≥，故原不等式的解集为[4,)+∞；（2）22520(32)(11)x x x x -+≥-+，所以()()2120(32)(11)x x x x --≥-+等价于()()()()()()2123211032110x x x x x x ⎧---+≥⎪⎨-+≠⎪⎩，解得2x ≥或1223x ≤<或11x <-，故原不等式的解集为12(,11)[,[2,)23-∞-+∞ （3）2256034x x x x ++≤--，所以()()()()230341x x x x ++≤-+，等价于()()()()()()2334103410x x x x x x ⎧++-+≤⎪⎨-+≠⎪⎩，解得32x --≤≤或413x -<<，故原不等式的解集为4[3,2](1,)3--- ；（4）222232x x x x x +-<+-，所以2222032x x x x x +--<+-，即()2222232032x x x x x x x +--+-<+-，即()()()()201231x x x x x -+++>-,因为210x x ++>恒成立，所以原不等式等价于()()2031x x x ->-+，即()()()2310x x x --+>，解得12x -<<或3x >，故原不等式的解集为(1,2)(3,)-⋃+∞【变式2-4】关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为（）A ．{|11x x -<<或6}x >B ．{|1x x <-或16}x <<C ．{|1x x <-或23}x <<D ．{|12x x -<<或3}x >【答案】A【解析】因为关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >00a a b >⎧∴⎨+=⎩，则原式化为：()()()()()()()10061106161-->⇔>⇔-+->-+-+ax a x x x x x x x x 所以不等式的解为11x -<<或6x >.故选：A.题型三解绝对值不等式【例3】解不等式：（1）3<x ；（2）3>x （3）2≤x 【答案】（1）{|33}-<<x x （2）{|33}<->或x x x （3）{|22}-≤≤x x 【变式3-1】解不等式：（1）103-<x ；（2）252->x ；（3）325-≤x ；【答案】（1）{|713}<<x x ；（2）73{|}22><或x x x ；（3）{|14}-≤<x x 【解析】（1）由题意，3103-<-<x ，解得713<<x ，所以原不等式的解集为{|713}<<x x ．（2）由题意，252->x 或252-<-x ，解得72>x 或32<x ，所以原不等式的解集为73{|}22><或x x x ．（3）由题意，5325-<-≤x ，解得14-≤<x ，所以原不等式的解集为{|14}-≤<x x ．【变式3-2】不等式1123x <-≤的解集是___________【答案】[)(]1,01,2- 【解析】不等式可化为1213x <-≤，∴1213x <-≤，或3211x --<-≤；解之得：12x <≤或10x -≤<，即不等式1123x <-≤的解集是[)(]1,01,2- .故答案为：[)(]1,01,2- .【变式3-3】不等式111x x +<-的解集为（）A ．{}{}011x x x x <<⋃>B ．{}01x x <<C ．{}10x x -<<D ．{}0x x <【答案】D 【解析】不等式()()221111111101+<⇔+<-≠⇔+<-≠⇔<-x x x x x x x x x .故选：D.【变式3-4】解不等式：4321->+x x 【答案】1{|2}3<>或x x x 【解析】方法一：（零点分段法）（1）当34≤x 时，原不等式变为：(43)21-->+x x ，解得13<x ，所以13<x ；（2）当34>x 时，原不等式变为：4321->+x x ，解得2>x ，所以2>x ；综上所述，原不等式的解集为1{|2}3<>或x x x ．方法二：43214321->+⇔->+x x x x 或43(21)-<-+x x ，解得13<x 或2>x ，所以原不等式的解集为1{|2}3<>或x x x ．【变式3-5】不等式125-+-<x x 的解集为【答案】(1,4)-【解析】当1x ≤时，1251x x x -+-<⇒>-，故11x -<≤；当12x <<时，12515x x -+-<⇒<恒成立，故12x <<；当2x ≥时，1254x x x -+-<⇒<，故24x ≤<综上：14x -<<故不等式的解集为：(1,4)-。
专题 解含绝对值符号的不等式(解析版)
专题解含绝对值符号的不等式1．阅读：我们知道，00a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩于是要解不等式|3|4x -≤，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当30x -≥，即3x ≥时：34x -≤解这个不等式，得：7x ≤由条件3x ≥，有：37x ≤≤（2）当30x -<，即3x <时，(3)4x --≤解这个不等式，得：1x ≥-由条件3x <，有：13x -≤<∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为17x -≤≤根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）|1|2x +≤；（2）|2|1x -≥． 【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x ＜-1，两种情况分别求解可得；（2）分①x -2≥0，即x≥2，②x -2＜0，即x ＜2，两种情况分别求解可得．【详解】解：（1）|x+1|≤2，①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2，解这个不等式，得：x≤1由条件x≥-1，有：-1≤x≤1；②当x+1＜0，即 x ＜-1时：-（x+1）≤2解这个不等式，得：x≥-3由条件x ＜-1，有：-3≤x ＜-1∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1．（2）|x-2|≥1①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1解这个不等式，得：x≥3由条件x≥2，有：x≥3；②当x-2＜0，即 x ＜2时：-（x-2）≥1，解这个不等式，得：x≤1，对于含绝对值的不等式3x <，从图1的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值小于3，所以3x <的解集为33x -<<；对于含绝对值的不等式3x >，从图2的数轴上看：小于－3或大于3的数的绝对值大于3，所以3x >的解集为3x <-或3x >．(1)含绝对值的不等式2x 的解集为______；(2)已知含绝对值的不等式1x a -<的解集为3b x <<，求实数a ，b 的值；(3)已知关于x ，y 的二元一次方程1x y m +=--的解满足2x y +≤，其中m 是正数，求m 的取值范围．【答案】11x -<<##11x >>-【答案】3x >或3x <-【分析】首先算出|x |=3的解，然后根据“大于取两边”的口诀得解 ．【详解】解：由绝对值的意义可得：x =3或x =-3时，|x |=3，∴根据“大于取两边”即可得到｜x ｜＞3的解集为：x >3或 x <−3（如图），故答案为：x >3或 x <−3．【点睛】本题考查绝对值的意义及不等式的求解，熟练掌握有关不等式的求解方法是解题关键．5．若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是_____．__________.8．不等式组25x ⎧⎨-≤⎩的解集是（ ） A ．52x >- B ．37x -≤≤ C ．572x -<≤ D ．572x -≤≤ 【答案】x ＜0或x ＞4【详解】试题分析：此题是一个带绝对值的复合不等式，应分为x≤1，1＜x≤3，x ＞3，三种情况，再根据绝对值的性质化简原式，解不等式即可.试题解析：当x≤1时，原式可变形为1－x ＋3－x ＝4－2x ＞4，解得x ＜0.注意最后要合并解集．11．解不等式：（1）||2x <（2）|21|3x -≥ 【答案】（1）22x -<<；（2）2x ≥或1x ≤-．【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集；（2）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集.【详解】解：（1）∵||2x <，∴22x -<<．（2）∵|21|3x -≥，原不等式变形为：213x -≥或213x -≤-，解得：2x ≥或1x ≤-．【点睛】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握绝对值的意义进行解题.12．解下列不等式：（1）|2|30x +->（2）35572x -+<问题的重要思想方法.例如，代数式2x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=--x 1x 1，所以1x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与1-所对应的点之间的距离．⑴. 发现问题：代数式12x x ++-的最小值是多少？⑵. 探究问题：如图，点,,A B P 分别表示的是-1,2,x ，3AB =．∵12x x ++-的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和∴当点P 在线段AB 上时，+=PA PB 3;当点点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时 +>PA PB 3 ∴12x x ++-的最小值是3．⑶.解决问题：①.-++x 4x 2的最小值是 ；②.利用上述思想方法解不等式：314x x ++->③.当a 为何值时，代数式++-x a x 3的最小值是2． 【答案】①6；②3x <-或1x >；③1a =-或5a =-【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．【详解】解：(3)①设A 表示的数为4，B 表示的数为-2，P 表示的数为x ，∴|4|x -表示数轴上的点P 到4的距离，用线段PA 表示，|2||(2)|+=--x x 表示数轴上的点P 到-2的距离，用线段PB 表示，∴|4||2|x x -++的几何意义表示为PA+PB ，当P 在线段AB 上时取得最小值为AB ， 且线段AB 的长度为6，∴|4||2|x x -++的最小值为6.故答案为：6.②设A 表示-3，B 表示1，P 表示x ，小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.求绝对值不等式3x >的解集（满足不等式的所有解）.小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x 恰好是3时x 的值，并在数轴上表示为点A ，B ，如图所示.观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于3；点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于3；点B 右边的点表示的数的绝对值大于3.因此，小明得出结论，绝对值不等式3x >的解集为：3x <-或3x >.参照小明的思路，解决下列问题：（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集.①1x >的解集是；x<的解集是.② 2.5x-+>的解集. （2）求绝对值不等式359（3）直接写出不等式24x>的解集是．∴|x|＞1的解集是x＞1或x＜-1；∴|x|＜2.5的解集是-2.5＜x＜2.5；x-+>的解集为：x＞7或x＜-1；可知：359可知：不等式x2＞4的解集是x＞2或x＜-2．对于绝对值不等式||3x <，从图1的数轴上看：大于3-而小于3的数的绝对值小于3，所以||3x <的解集为33x -<<；对于绝对值不等式||3x >，从图2的数轴上看：小于3-或大于3的数的绝对值大于3，所以||3x >的解集为3x <-或3x >．(1)求绝对值不等式|3|2x ->的解集；(2)已知绝对值不等式|21|x a -<的解集为3b x <<，求2a b -的值；|21|x -<2a x ∴-<解得12a -解集为1a -⎧我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离：0x x =-，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x 和数2x 对应的点之间的距离；例1解方程2x =，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为2±，即该方程的解为2x =±．例2解不等式12x ->，如图，在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为1x <-或3x >．例3解方程125x x -++=由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和2-的距离之和为5的对应的x 的值.在数轴上，1和2-的距离为3，满足方程的x 对应的点在1的右边或2-的左边，若x 对应的点在1的右边，由下图可以看出2x =；同理，若x 对应的点在2-的左边，可得3x =-，故原方程的解是2x =或3x =-．回答问题：（只需直接写出答案）①解方程34x +=②解不等式34x -≥③解方程328x x -++=③328x x -++=，。
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文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式一、知识点回顾1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =）2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）；（4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。
4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。
（见P8）5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。
6、解一元二次不等式的步骤：（1）将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax(3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。
一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。
主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。
2、a x >与a x <型的不等式的解法。
当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。
把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。
当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ”文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.看着一个整体。
答案为{}51<<-x x 。
(解略)（3）532<+<-x (2) 392+≤-x x(1)解：原不等式等价于032<-x ，所以不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>32x x(2)解：（1）法一：原不等式⎩⎨⎧+≤-≥-⇔390922x x x ①或⎩⎨⎧+≤-<-390922x x x ② 由①解得433≤≤-=x x 或，由②解得32<≤x ∴原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或法二：原等式等价于39)3(2+≤-≤+-x x x ⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇔4323x x x 或 ∴原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或法三：设)33,9221-≥+=-=x x y x y （，由392+=-x x 解得非曲直2,3,4321=-==x x x ，在同一坐标系下作出它们的图象，由图得使21y y ≤的x 的范围是433≤≤-=x x 或，∴原不等式的解集是{342-=≤≤x x x 或（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩例2。
解不等式22x xx x >++。
分析:由绝对值的意义知，a a =⇔a ≥0，a a =-⇔a ≤0。
解:原不等式等价于2xx +＜0⇔x(x+2)＜0⇔-2＜x ＜0。
练习：x x 3232->-(1)解：原不等式等价于032<-x ，所以不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>32x x （三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。
例3、解不等式123x x ->-。
解:原不等式⇔22(1)(23)x x ->-⇔22(23)(1)0x x ---<⇔(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0⇔(3x-4)(x-2)<0 ⇔423x <<。
说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。
二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。
例4 解不等式125x x -++<。
分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。
2-和1把实数集合分成三个区间，即2-<x ，12≤≤-x ，1>x ，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。
解:当x ＜-2时，得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩，解得：23-<<-x 当-2≤x ≤1时，得21,(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨--++<⎩，解得：12≤≤-x当1>x 时，得1,(1)(2) 5.x x x >⎧⎨-++<⎩ 解得：21<<x综上，原不等式的解集为{}23<<-x x 。
说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。
三、几何法：即转化为几何知识求解。
例5 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 ( )(A)k<3(B)k<-3(C)k ≤3(D)k ≤-3分析:设12y x x =+--，则原式对任意实数x 恒成立的充要条件是min k y <，于是题转化为求y 的最小值。
解:1x +、2x -2-的几何意义为数轴上点x 到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B ）。
（3）分析：关键是去掉绝对值方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1-<x 时，01,03<+<-x x ∴1)1()3(<++--x x ∴ 4<1 φ∈⇒x ②当31<≤-x 时∴1)1()3(<+---x x ⇒21>x ，∴}321|{<<x x ③当3≥x 时1)1()3(<+--x x ⇒-4<1R x ∈⇒ ∴}3|{≥x x综上，原不等式的解集为}21|{>x x也可以这样写： 解：原不等式等价于①⎩⎨⎧<++---<1)1()3(1x x x 或②⎩⎨⎧<+---<≤-1)1()3(31x x x或 ③⎩⎨⎧<+--≥1)1()3(3x x x ，解①的解集为φ，②的解集为{x|21<x<3}，③的解集为{x|x ≥3},∴原不等式的解集为{x|x>21}方法2：数形结合从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点∴原不等式的解集为{x|x>21}变式：（1）若a x x >+++12恒成立，求实数a 的取值范围。
解：由几何意义可知，12+++x x 的最小值为1，所以实数a 的取值范围为()1,∞-。
（2）数轴上有三个点A 、B 、C ，坐标分别为-1，2，5，在数轴上找一点M ，使它到A 、B 、C 三点的距离之和最小。
解：设M （x ，0）则它到A 、B 、C 三点的距离之和()521-+-++=x x x x f即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+-<≤-+-<≤+≥-=1,6321,852,45,63x x x x x x x x x f由图象可得：当()62min ==x f x 时 四、典型题型1、解关于x 的不等式10832<-+x x解：原不等式等价于1083102<-+<-x x ，即⎩⎨⎧<-+->-+1083108322x x x x ⇒⎩⎨⎧<<--<->3621x x x 或 ∴ 原不等式的解集为)3,1()2,6(---2、解关于x 的不等式2321>-x 解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧<-≠-2132032x x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≠474523x x 3、解关于x 的不等式212+<-x x解：原不等式可化为22)2()12(+<-x x ∴ 0)2()12(22<+--x x即 0)13)(3(<+-x x解得：331<<-x∴ 原不等式的解集为)3,31(-4、解关于x 的不等式1212-<-m x )(R m ∈解：⑴ 当012≤-m 时，即21≤m ，因012≥-x ，故原不等式的解集是空集。
⑵ 当012>-m 时，即21>m ，原不等式等价于1212)12(-<-<--m x m解得：m x m <<-1 综上，当21≤m 时，原不等式解集为空集;当21>m 时，不等式解集为{}m x m x <<-15、解关于x 的不等式1312++<--x x x解：当3-<x 时，得⎩⎨⎧++-<----<1)3()12(3x x x x ，无解当213≤≤-x ，得⎪⎩⎪⎨⎧++<---≤≤-13)12(213x x x x ，解得：2143≤<-x 当21>x 时，得⎪⎩⎪⎨⎧++<-->131221x x x x ，解得：21>x 综上所述，原不等式的解集为43(-，)216、解关于x 的不等式521≥++-x x （答案：),2[]3,(+∞--∞ ） 解： 五、巩固练习1、设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .2、已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围 是 ．3、不等式121≥++x x 的实数解为 ． 4、解下列不等式 ⑴4321x x ->+； ⑵ |2||1|x x -<+； ⑶ |21||2|4x x ++->；⑷ 4|23|7x <-≤ ； ⑸ 241<--x ； ⑹ a a x <-2（a R ∈） 5、若不等式62<+ax 的解集为()1,2-，则实数a 等于 （ ） 6、若x R ∈，则()()110x x -+>的解集是（ ）.A {}01x x ≤<.B {0x x <且1}x ≠-.C {}11x x -<< .D {1x x <且1}x ≠-7、()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是 ；()2对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是 ；()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ；8、不等式x x 3102≤-的解集为（ ） 9、解不等式：221>-+-x x10、方程x x x x x x 323222++=++的解集为 ，不等式xxx x ->-22的解集是 ； 12、不等式x 0)21(>-x 的解集是（ ）11、不等式3529x ≤-<的解集是12、 已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值13、解关于x 的不等式：①解关于x 的不等式31<-mx ；②a x <-+132)(R a ∈ 14、不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）.15、 设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}21,2≤≤--==x x y y B ，则()R C A B 等于 ( ) 16、不等式211x x --<的解集是 ．17、设全集U R =，解关于x 的不等式： 110x a -+->()x R ∈（参考答案）1、 6 ； ∅ ；2、 ]4,0[3、)23,2()2,(----∞4、⑴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧><231x x x 或 ⑵ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21x x ⑶ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<121x x x 或⑷ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-527212x x x 或 ⑸ {}7315<<-<<-x x x 或 ⑹ 当0>a 时，{}a x a x 22<<-；当0≤a 时，不等式的解集为∅5、C6、D7、⑴ 3<a ； ⑵ 4>a ； ⑶ 7>a ；8、C9、⎭⎬⎫⎩⎨⎧><2521x a x x 或 10、{}023>≤<-x x x 或；{}02<>x x x 或11、D 12、 1513、① 当0=m 时，R x ∈；当0>m 时，m x m 42<<-；当0<m 时，mx m 24-<< ② 当01>+a ，即1->a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-122a x a x ；当01≤+a ，即1-≤a 时，不等式的解集为∅； 14、D 15、B 16、0(，)217、当01>-a ，即1<a 时，不等式的解集为{}a x a x x -><2或；当01=-a ，即1=a 时，不等式的解集为{}1≠x x ； 当01<-a ，即1>a 时，不等式的解集为R ；。