电路原理第七章 一阶电路

特征方程
RCp+1=0
pt
特征根
1 t RC
1 p RC
22
则
uC Ae
Ae
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uc Ae

1 t RC
代入初始值 uC (0+)=uC(0－)=U0
A=U0
uc U 0e
t RC
t RC
t0
t0
t RC
uC U 0 i e R R
或
I 0e
（2）求解微分方程
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3. 电路的初始条件
(1) t = 0＋ 与 t = 0－的概念
f (0 ) f (0 )
f(t)
连续函数
认为换路在 t=0时刻进行 0－ 0＋ 换路前一瞬间 换路后一瞬间

f (0 ) f (0 )
t 0－0 0＋
f (0 ) lim f ( t )
t RC
t RC
duC i C CU 0 e dt
U0 1 ( ) e RC R
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从以上各式可以得出：
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
U0 uC
连续 函数
I0 0
i
跃变
0
t
t
（2）响应与初始状态(U0/I0)成线性关系， 其衰减快慢与RC有关； 令 =RC , 称为一阶电路的时间常数
uC (0 ) uC (0 ) 2 12 24V
iC +
3 24V

i +
-
48V 12A
+ uL
iC (0 ) (48 24) / 3 8 A
i (0 ) 12 8 20 A


2
-
uL (0 ) 48 2 12 24V
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7
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2. 动态电路的方程
应用KVL和电容的VCR得： us（t）
( t >0 ) R +
i
uC
–
C
Ri uc uS (t )
duc iC dt
有源 电阻 电路
duc RC uc uS ( t ) dt
若以电流为 变量：
一个 动态 元件
1 Ri idt uS ( t ) C di i duS ( t ) R dt C dt
－
iL(0+)= iL(0－)
注意:
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定则成立的条件。 （2）换路定律反映了能量不能跃变。
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（5）电路初始值的确定 例1 t=0时，断开K求 iC
(0+)
(1) 由0－电路求 uC(0－)或iL(0－)
+
10k 10V
iL
u
+ -
L
1 0 1 t u ( )d u ( )d L L 0

t = 0+时刻 当u为有限值时
LiL
结 论
1 t i L (0 ) u( )d 0 L 0 0 1 i L (0 ) i L (0 ) u( )d L 0 磁链 iL(0＋)= iL(0－)
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例2
1 K
t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+) 4 1
解 先求
4
i L (0 )
电 感 短 路
L
iL
+
uL
10V 0+电路
-
10V
1
4
+
10V 2A
10 i L (0 ) 2A 1 4

uL
由换路定律:
-
iL(0+)= iL(0－) =2A
电感用电 流源替代
C

+ uc -
1 C
1 i( )d C
0
1 uC ( t ) C

t

i ( )d

t 0

i ( )d
结 论
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
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1 t (3) 电感的初始条件 i L ( t ) u()d L
0.135 U0 0.05 U0
0.007 U0
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：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
几何意义
uc
U0
Uc(t1)
a Uc(t2)
0 t1
t1

t2
t
uC (t1 ) uC (t1 ) U 0e t 2 t1 t1 tan duC 1 U e t t1 0 dt ＝ t2－t1
特点：
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经 历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这 个变化过程称为电路的过渡过程。
定性分析动态电路的过渡过程：
例
+
电阻电路
i
i
（t=0）
R1
R2 0
i U S / R2
us
i U S ( R1 R2 )
-
t
过渡期为零
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电容电路
(t = 0) Us
iC(0－)=0
iC(0+)
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求初始值的步骤:
1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)； 2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3. 画0+等效电路。 a. 换路后的电路 b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 （取0+时刻值，方向与原假定的 电容电压、电感电流方向相同）。 4. 由0+电路求所需各变量的0+值。
uL (0 ) 2 4 8V
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例3
求 iC(0+) , uL(0+) L i
L
解
iC +
由0－电路得：
IS
+u –
L
K(t=0)
R
C
uC
–
IS
R
0－电路
0+电路 I S +u –
L
iL(0+) = iL(0－) = IS
iC + R IS –
uC(0+) = uC(0－) = RIS
在曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化率衰 减，则经过τ 时间为零值。
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（3）能量关系
电容不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕.
C R uC －
+
设uC(0+)=U0
库 安秒 RC 欧法 欧 欧 秒 伏 伏
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=RC
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
1 1 p RC
大 → 过渡过程时间长 小 → 过渡过程时间短
K K
i
R +
K未动作前，电路处于稳定状态
uC
–
C
i = 0 , uC= Us
K动作后很长时间，电容放电完毕， 电路达到新的稳定状态
i
R
+
uC
–
i = 0 , uC = 0
C
US R
uc
US
t2
i
0
过渡状态
第三个稳定状态
前一个稳定状态
t1第二个稳定状态 t 有一过渡期
4
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电感电路 (t = 0) Us
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一阶 电路
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应用KVL和电感的VCR得：
Ri uL uS ( t )
di Ri L uS ( t ) dt
若以电感电压为变量：
di uL L d t u （ t） s
( t >0 ) R +
i
uL
–
L
R uLdt uL uS ( t ) L R duL duS ( t ) uL L dt dt
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结论： （1）描述动态电路的电路方程为微分方程；
（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数； 一阶电路 一阶电路中只有一个动态元件,描述电 路的方程是一阶线性微分方程。
dx a1 a0 x e ( t ) t 0 dt
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动态电路分析的步骤 （1）根据KVL、KCL和VCR建立微分方程
由0＋电路得：
R
RI S iC (0 ) I s 0 R

uL(0+)= - RIS
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例4 求K闭合后瞬间各支路电流和电感电压 －电路得： 由 0 2 解 + 2 3 + 3 L uL K +
48V
-
iL
2
-
C
48V
iL
-
2 + uC －
由0+电路得：
i L (0 ) i L (0 ) 48 / 4 12 A
t 0 t 0
f (0 ) lim f ( t )
t 0 t 0
初始条件为 t = 0＋时刻动态元件的u ，i 及其各阶导数的值 在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。
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(2) 电容的初始条件
i
1 t uC (0 ) i ( )d 0 C 0 0 1 t = 0+时刻 uC (0 ) uC (0 ) i ( )d C 0 当i()为有限值时 电荷 uC (0+) = uC (0－) 守恒 q =C uC + q (0 ) = q (0－)
K
K未动作前，电路处于稳定状态
i
R +
i = 0 , uL = 0
L K接通电源后很长时间，电路达到 新的稳定状态，电感视为短路
uL
–
(t →)
R + Us
i
uL= 0, i=Us /R
L i
US
uL
–
US/R
?
0
过渡状态
UL
t1 新的稳定状态
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有一过渡期 前一个稳定状态
t
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(t →) R + Us
U0
uc
大
物理含义
C 大（R不变） R 大（ C不变） i=u/R t 0
t
电压初值不变：
0
小
t
放电时间长
5 U0 e -5
W=Cu2/2

储能大,放电电流不变 储能不变，放电电流小 2 U0 e -2 3 U0 e -3
uc U 0 e

U0 U0 e -1
U0 0.368 U0
i
K未动作前，电路处于稳定状态 L
uL
–
uL= 0, i=Us /R
K断开瞬间
i
Us
K
i = 0 , uL =
L 注意工程实际中的 过电压过电流现象 (P144 例7-2)
R
+
uL
–
6
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换路
电路结构、状态发生变化
支路接入或断开 电路参数变化
Leabharlann Baidu过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发生 变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
L (0＋)= L (0－)
守恒
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
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（4）换路定则
qc (0+) = qc (0－)
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
uC (0+) = uC (0－) 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
L (0+)= L (0 ) 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
K
K未动作前，电路处于稳定状态
i
R
+
i = 0 , uC = 0
C K接通电源后一段时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态
uC
–
(t = ∞) Us
K
i
R +
i = 0 , uC= Us
C
US R
uC
–
uc
US
?
0
过渡状态
i
t1新的稳定状态
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有一过渡期
前一个稳定状态
t
3
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(t = t2) Us (t = t2)
40k
+
uC
+
+ -
i 10k 40k 10V k
iC
+
uC
-
-
电 容 开 路
-
uC(0－)=8V
(2) 由换路定律
i 10k 10V
+
8V iC
-
uC (0+) = uC (0－)=8V
(3) 由0+等效电路求 iC(0+)
0+等效电路
10 8 iC ( 0 ) 0.2mA 10

电容用电 压源替代
第七章
重点
一阶电路
1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定； 2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响应求解；
3. 稳态分量、暂态分量求解；
4. 三要素法； 5. 一阶电路的阶跃响应和冲激响应。
1
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7.1
动态电路的方程及其初始条件
含有动态元件电容和电感的电路 称动态电路。
1. 动态电路
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例5
求K闭合瞬间流过它的电流值。 解 C （1）确定0－值 L
iL
+ uC －
100
100 K
+
200V
200 i L (0 ) i L (0 ) 1A 200 100 uC (0 ) uC (0 ) 100V

－
（2）给出0＋等效电路
－
+
1A
uL
+
100V
iC 100
200 100 ik (0 ) 1 2A 100 100

100
+
100
uL (0 ) i L (0 ) 100 100V
ik
200V
iC (0 ) uC (0 ) / 100 1 A
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7.2
零输入响应
一阶电路的零输入响应
换路后外加激励为零，仅由动态元件初 始储能所产生的电压和电流。 已知 uC (0＋)=U0
1. RC电路的零输入响应
K(t=0) C
i
R
uR uC 0
uR
– +
uC
–
+
duC i C dt
uR= Ri
duC RC uC 0 dt uC (0 ) U 0